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1、读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 02. 函数知识要点一、本章知识网络结构： 性质图像反函数F:AB对数指数对数函数指数函数二次函数具体函数一般研究函数定义映射二、知识回顾：（一）映射与函数1.映射与一一映射2.函数函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数反函数的定义设函数)(Axxfy的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把 x 表示出，得到x=(y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过x=(y)，x 在 A 中都有唯一的值和它
2、对应， 那么， x=(y)就表示 y是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数x=(y) (yC) 叫做函数)(Axxfy的反函数，记作)(1yfx,习惯上改写成)(1xfy（二）函数的性质函数的单调性定义：对于函数f(x) 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,若当 x1x2时，都有f(x1)f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是增函数；若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间 .此时也说函数是这一区
3、间上的单调函数. 2.函数的奇偶性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：（ 1）定义域在数轴上关于原点对称是函数)(xf为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（ 2）)()(xfxf或)()(xfxf是定义域上的恒等式。2奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增减性相反. 4如果)( xf是偶函数，则|
4、)(|)(xfxf，反之亦成立。若奇函数在0 x时有意义，则0)0(f。7. 奇函数，偶函数：偶函数：)()(xfxf设（ba,）为偶函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 偶函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于y 轴对称，例如：12xy在)1, 1 上不是偶函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)( xf时，1)()(xfxf. 奇函数：)()(xfxf设（ba,）为奇函数上一点，则（ba,）也是图象上一点. 奇函数的判定：两个条件同时满足定义域一定要关于原点对称，例如：3xy在) 1, 1上不是奇函数. 满足)()(xfxf，或0)()(xfxf，若0)(xf时
5、，1)()(xfxf. 8. 对称变换： y = f（x）（轴对称xfyyy =f（x）（轴对称xfyxy =f（x）（原点对称xfy9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：22122212122222121)()()(bxbxxxxxbxbxxfxfx）（精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思xy在进行讨论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如：已知函数f（x）= 1+xx1的定义域为A，函数 ff（x）的定义域是B，则集合 A 与集
6、合 B 之间的关系是. 解：)(xf的值域是)(xff的定义域B，)(xf的值域R， 故RB， 而 A1| xx， 故AB. 11. 常用变换：)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf. 证：)()()()()()()(yfyxfyyxfxfxfyfyxf)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf证：)()()()(yfyxfyyxfxf12. 熟悉常用函数图象：例：|2xy| x关于 y 轴对称 .|2|21xy|21xy| 2|21xyxyxy(0,1)xy(-2,1)|122|2xxy| y 关于x轴对称 . 熟悉分式图象：例：372312xxxy定义域, 3|Rx
7、xx，值域,2|Ryyy值域x前的系数之比 .（三）指数函数与对数函数xy23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思指数函数)10(aaayx且的图象和性质a1 0a0时， y1;x0 时， 0y0时， 0y1;x1. （5）在 R 上是增函数（ 5）在 R上是减函数对数函数y=logax 的图象和性质 : 对数运算：nanaaacbabbaNanaanaaaaaaaaaaaacbaNNNaMnMMnMNMNMNMNMna1121loglog.loglog1loglogloglog
8、logloglog1loglogloglogloglogloglog)(log32log)12)1(推论：换底公式：（以上10且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,Mn21）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思a1 0a1a0 )1 , 0(x时0y), 1(x时0y（5）在（ 0，+）上是增函数在（ 0， +）上是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进
9、,熟读而精思解：求)(xf的导数：21)(xxf，由此得切线l的方程：)(1)1(1211xxxxaxy。（）分析：要求2x的变化范围，则须找到使2x产生变化的原因，显然，2x变化的根本原因可归结为1x的变化，因此，找到2x与1x的等量关系式，就成；欲比较2x与1x的大小关系，判断它们的差的符号即可。证：依题意，切线方程中令y0，axaxxxaxxx20)2()1(1111112，其中. 由aaxaxxaxxxax1)1(, 0),2(,2021221121及有axaxax11,10212时，当且仅当. axxaxxxaxax1)2(112111211，且由，因此，时，当axx121所以。点评
10、： 本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和解决问题的能力。例 2、 函数 y111x的图象是（）解析一：该题考查对f（x）x1图象以及对坐标平移公式的理解，将函数yx1的图形变形到y11x， 即向右平移一个单位，再变形到y11x即将前面图形沿x 轴翻转，再变形到y11x1，从而得到答案B. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解析二：可利用特殊值法，取x 0，此时 y 1，取 x 2，此时 y 0.因此选 B. 答案： B点评： 1、选择题要注意
11、利用特值排除法、估值排除法等。例 3设二次函数f xaxbxc a20，方程f xx0的 两 个根xx12,满 足0112xxa. 当xx01,时， 证 明xf xx1. 分析：在已知方程f xx0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数xxf的表达式，从而得到函数)(xf的表达式 . 证明：由题意可知)()(21xxxxaxxf. axxx1021，0)(21xxxxa，当xx01,时，xxf)(. 又)1)()()(211211axaxxxxxxxxxaxxf，,011,0221axaxaxxx且1)(xxf，综上可知，所给问题获证. 点 评 ： 本 题 主 要 利 用 函 数
12、与 方 程 根 的 关 系 ， 写 出 二 次 函 数 的 零 点 式.21xxxxay。例 4、设 f(x)是定义在（ 0，）上的增函数，且对任意的 x，y（ 0，），都有f(xy )f(x)f(y)。（1）求证：当x（ 1，）时， f(x)0；且 f(yx)f(x)f(y). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）若 f(2) 1，解不等式f(x2)f(2x)2. 分析：由f(xy)f(x)(y)，不难想到f(x)应为对数函数形式，所以f(1)0，由题意条件， f(x)为
13、增函数，据此不难求解。解：（ 1）令 xy1，则由 f(xy)f(x) f(y)得 f(11)f(1)f(1). 即 f(1)2f(1)，f(1)0，又由于函数f(x)在（ 0，）上为增函数，所以对任意x（1，），有f(x)f(1)0，故 f(x)0. 设 x，y（ 0，），于是f(x)f(yxy) f(yx) f(y)，即 f(yx)f(x)f(y). （2）由于f(2)1，所以f f(2)f(2)f(22)f(4)，由 f(x2)f(2x)2，f(x 2)f(2x)f(4)， f(x2)f(8x)，又因为函数f(x)在（0，）上为增函数，所以x28x，因 x（ 0，）所以0 x72 . 例
14、 5 设函数22( )21(0)f xtxt xtxtR，（）求( )f x的最小值( )h t；（）若( )2h ttm对(0 2)t，恒成立，求实数m的取值范围解：（）23( )()1(0)f xt xtttxtR，当xt时，( )f x取最小值3()1fttt，即3( )1h ttt（）令3( )( )( 2)31g th ttmttm，由2( )330g tt得1t，1t（不合题意，舍去）当t变化时( )g t，( )g t的变化情况如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读
15、而精思t (0 1)，1 (12)，( )g t0 ( )g t递增极大值1m递减( )g t在(0 2)，内有最大值(1)1gm( )2h ttm在(0 2)，内恒成立等价于( )0g t在(0 2)，内恒成立，即等价于10m，所以m的取值范围为1m19. 已知定义域为R的函数12( )2xxbf xa是奇函数。（）求,a b的值；（）若对任意的tR，不等式22(2 )(2)0f ttftk恒成立，求k的取值范围；解： （）因为( )f x是奇函数，所以(0)f0，即111201( )22xxbbf xaa又由 f（1）f（ 1）知111 222.41aaa（）由（）知11211( )222
16、21xxxf x，易知( )f x在(,)上为减函数。又因( )f x是奇函数，从而不等式：22(2 )(2)0f ttftk等价于222(2 )(2)(2)f ttftkf kt，因( )f x为减函数，由上式推得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2222ttkt即对一切tR有：2320ttk，从而判别式14120.3kk20. 已 知 定 义 在 正 实 数 集 上 的 函 数21( )22f xxax，2( )3lng xaxb，其中0a设两曲线( )yf x，( )
17、yg x有公共点，且在该点处的切线相同（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：( )( )fxg x（0 x）解：（）设( )yf x与( )(0)yg xx在公共点00()xy，处的切线相同( )2fxxa，23( )ag xx，由题意00()()f xg x，00()()fxgx即22000200123ln232xaxaxbaxax，由20032axax得：0 xa，或03xa（舍去）即有222221523ln3ln22baaaaaaa令225( )3ln (0)2h tttt t，则( )2 (13ln )h ttt于是当(13ln )0tt，即130te时，( )0h t；当(
18、13ln )0tt，即13te时，( )0h t故( )h t在130e，为增函数，在13e ， 为减函数，于是( )h t在(0)， 的最大值为123332h ee（）设221( )( )( )23ln(0)2F xf xg xxaxaxb x，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思则( )Fx23()(3 )2(0)axaxaxaxxx故( )F x在(0)a，为减函数，在()a ， 为增函数，于是函数( )F x在(0)， 上的最小值是000( )()()()0F aF xf xg x故当0 x时，有( )( )0f xg x，即当0 x时，( )( )f xg x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页