《2022年苏教版八年级上册全等三角形全章复习与巩固 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年苏教版八年级上册全等三角形全章复习与巩固 .pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质要点二、全等三角形的证明思路SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边
2、要点三、角平分线的性质1. 角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 一般三角形直角三角形判定边角边（ SAS ）角边角（ ASA ）角角边（ AAS ）边边边（ SSS ）两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边、直角边定理（HL）性质对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2. 角的平分线的判定
3、定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 3. 三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等. 4. 与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点. 运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题 . 可以适当总结证明方法. 1 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (
4、2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质 . 2 证明角相等的方法：(1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等 . 3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4 辅助线的添加: (1) 作公共边可构造全等三角形；(2) 倍长中线法；(3) 作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4) 利用截长 ( 或补短 ) 法作旋转变换的全等三角形.
5、 5. 证明三角形全等的思维方法: （ 1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （ 2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （ 3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1) 倍长中线法1、已知，如图， ABC 中，D是 BC中点，DE DF,试判断BE CF与 EF的大小关系
6、，并证明你的结论. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - FEDCBA【思路点拨】因为 D是 BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF，使 DG DF,证明EDG EDF ，FDC GDB ，这样就把BE 、CF与 EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案与解析】BECFEF；证明：延长FD到 G ，使 DG DF,连接 BG 、EG D 是 BC中点BD CD 又DE DF在 EDG 和
7、EDF中EDEDEDGEDFDGDF EDG EDF （SAS ）EG EF 在FDC与GDB中DGDFBDCD21FDC GDB(SAS)CF BG BG BE EG BE CFEF 【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）. 举一反三：【变式】已知：如图所示，CE 、CB分别是 ABC与 ADC的中线，且 ACB ABC 求证： CD 2CE 【答案】证明：延长 CE至 F使 EFCE ，连接 BF EC 为中线，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
8、- - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - AE BE 在 AEC与BEF中，,AEBEAECBEFCEEFAEC BEF （SAS ） AC BF ， AFBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACB ABC ， DBC ACB A， FBC ABC A AC AB ， DBC FBC AB BF 又 BC 为 ADC的中线， AB BD 即 BFBD在FCB与DCB中，,BFBDFBCDBCBCBCFCB DCB （SAS ） CF CD 即 CD 2CE (2) 作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形2、已知：如图所示，在ABC中， C2B， 1 2求证：
9、 AB AC CD 【答案与解析】证明：在AB上截取 AE AC 在AED与ACD中，()12()()AEACADAD已作 ，已知 ，公用边 ，AED ACD （SAS ） ED CD AED C(全等三角形对应边、角相等) 又 C 2B AED 2B由图可知： AED B EDB ， 2 BB EDB BEDB BE ED 即 BE CD AB AE BE AC CD(等量代换 ) 【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB AC 故用截长补短法在 AB上截取 AE AC 这样 AB就变成了 AE BE， 而 AE AC 只需证 BE CD即可从名师资料总结 - -
10、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 而把 AB AC CD转化为证两线段相等的问题举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线， H，G分别在 AC ，AB上，且 HD BD. (1) 求证： B与 AHD互补；(2) 若 B2DGA 180，请探究线段AG与线段AH 、HD之间满足的等量关系，并加以证明 . 【答案】证明：（1）在 AB上取一点 M, 使得 AM AH, 连接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD AMD.
11、 HDMD, AHD AMD. HD DB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180 , AHD B 180 . 即 B 与AHD互补 . （2）由（ 1）AHD AMD, HD MD, AHD B180 . B2DGA 180 , AHD 2DGA. AMD 2DGM. AMD DGM GDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG. HD MG. AG AMMG, AG AHHD. （3）. 利用截长 ( 或补短 ) 法作构造全等三角形3、如图所示，已知ABC中 AB AC ，AD是 BAC的平分线， M是 AD上任意一点，求证： MB MC ABAC 【
12、思路点拨】因为 AB AC ，所以可在AB上截取线段AE AC ，这时 BE AB AC ，如果连接EM ，在 BME 中，显然有MB ME BE 这表明只要证明ME MC ，则结论成立【答案与解析】MGHDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 证明：因为AB AC ，则在 AB上截取 AE AC ，连接 ME 在 MBE 中， MB ME BE （三角形两边之差小于第三边）在 AMC 和 AME 中，()()
13、()ACAECAMEAMAMAM所作 ，角平分线的定义，公共边 ，AMC AME （SAS ） MCME （全等三角形的对应边相等）又 BE ABAE ， BE AB AC ， MBMC AB AC 【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键. 举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线， AB AC,求证： AB AC BD DC 【答案】证明：在AB上截取 AE AC,连结 DE AD是ABC的角平分线，BAD CAD在AED与ACD中ADADCADBADACAEAED ADC （ SAS ）DE DC 在BED中， BE BD DC 即 AB AE BD DC AB AC
14、BD DC （4）. 在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段4、如图所示，已知E为正方形 ABCD 的边 CD的中点，点F在 BC上，且 DAE FAE 求证： AFAD CFEDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【思路点拨】四边形 ABCD 为正方形，则D 90而 DAE FAE说明 AE为 FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到 AD的距离已有，只需作E到AF的距离EM即可，由
15、角平分线性质可知ME DE AE AE RtAME与 RtADE全等有 ADAM 而题中要证AF AD CF根据图知AFAM MF 故只需证MF FC 即可从而把证AF AD CF转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明：作 ME AF于 M ，连接 EF 四边形 ABCD为正方形，CD EMA 90又 DAE FAE ， AE 为FAD的平分线， ME DE 在 RtAME 与 RtADE中，()()AEAEDEME公用边 ，已证 ， Rt AME Rt ADE(HL) AD AM( 全等三角形对应边相等) 又 E 为 CD中点， DE EC ME EC 在 RtEMF与 RtECF中，
16、()(MECEEFEF已证 ，公用边 )， Rt EMF Rt ECF(HL) MF FC(全等三角形对应边相等) 由图可知： AFAM MF ， AF AD FC(等量代换 )【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段. 5、如图所示，在ABC中，AC=BC ，ACB=90 ， D是 AC上一点，且AE垂直 BD的延长线于 E，12AEBD，求证： BD是 ABC的平分线名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -
17、- 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【答案与解析】证明：延长AE和 BC ，交于点F，AC BC ，BE AE ， ADE= BDC （对顶角相等） ， EAD+ ADE= CBD+ BDC 即 EAD= CBD 在 RtACF和 RtBCD中所以 RtACF RtBCD （ASA ） 则 AF=BD （全等三角形对应边相等）AE=BD ， AE=AF ，即 AE=EF 在 Rt BEA和 RtBEF中，则 Rt BEA RtBEF （SAS ） 所以 ABE= FBE （全等三角形对应角相等），即 BD是ABC的平分线【总结升华】 如果由题目已知无法直接得到三角
18、形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法. 类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习5】6、在 ABC中， ACB 90， AC BC ，直线l经过顶点C，过 A，B两点分别作l的垂线 AE ，BF ，垂足分别为E，F. （1）如图 1 当直线l不与底边 AB相交时，求证：EFAE BF. （2）将直线l绕点 C顺时针旋转，使l与底边 AB相交于点D，请你探究直线l在如下位置时， EF、AE 、BF之间的关系，AD BD ； AD BD ； ADBD. 【答案与解析】证明：（1）AE l，B
19、Fl， AEC CFB 90， 1 290 ACB 90， 2390名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 1 3。在 ACE和CBF中，13AECCFBACBC ACE CBF （AAS ）AE CF，CEBF EFCE CF，EFAE BF。（2） EFAE BF，理由如下：AE l，BF l， AEC CFB 90， 1 290 ACB 90， 2390， 1 3。在 ACE和CBF中13AECCFBACBC A
20、CE CBF （AAS ）AE CF，CEBF EFCFCE，EFAE BF。EFAE BF EFBFAE 证明同 . 【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起着至关重要的作用；(2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化. 举一反三：【变式】已知：在ABC中， BAC 90，AB AC，点 D为射线 BC上一动点，连结AD ，以AD为
21、一边且在AD的右侧作正方形ADEF （1）当点 D在线段 BC上时（与点B不重合），如图 1，求证： CFBD （2）当点 D运动到线段BC的延长线上时，如图2，第（ 1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 【答案】证明： （1）正方形ADEF AD AF ， DAF 90 DAF DAC BAC DAC ，即 BAD CAF 在 ABD和 ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF （SAS ） BD CF （2）当点 D运动到线段BC的延长线上时，仍有BD CF 此时 DAF DAC BAC DAC ，即 BAD CAF 在 ABD和 ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF （SAS ） BD CF 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -