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1、学习必备 欢迎下载 全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【全等三角形单元复习，知识要点】要点一、全等三角形的判定与性质 要点二、全等三角形的证明思路 SASHLSSSAASSASASAAASASAAAS找夹角已知两边 找直角找另一边边为角的对边找任一角找夹角的另一边已知一边一角边为角的邻边 找夹边的另一角找边的
2、对角找夹边已知两角找任一边 要点三、角平分线的性质 1.角的平分线的性质定理 角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 学习必备 欢迎下载 2.角的平分线的判定定理 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.3.三角形的角平分线 三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.4.与角平分线有关的辅助线 在角两边截取相等的线段，构
3、造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.(3)等式性质.2 证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的
4、判定进行证明.(4)同角（等角）的余角（补角）相等.(5)对顶角相等.3 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 辅助线的添加:(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5.证明三角形全等的思维方法:（1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.（2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图
5、形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.（3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1)倍长中线法 1、已知，如图，ABC中，D是 BC中点，DEDF,试判断BE CF与 EF的大小关系，并证明你的结论.角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边
6、上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 FEDCBA【思路点拨】因为 D是 BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段 DF，使 DG DF,证明EDG EDF，FDCGDB，这样就把 BE、CF与 EF线段转化到了BEG中，利用两边之和大于第三边可证.【答案
7、与解析】BE CFEF；证明：延长 FD到 G，使 DG DF,连接 BG、EG D是 BC中点 BD CD 又DEDF 在EDG和EDF中 EDEDEDGEDFDGDF EDG EDF（SAS）EG EF 在FDC与GDB中 DGDFBDCD21 FDCGDB(SAS)CFBG BG BE EG BE CFEF【总结升华】有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法（或倍长过中点的线段）.举一反三：【变式】已知：如图所示，CE、CB分别是ABC与ADC的中线，且ACB ABC 求证：CD 2CE 【答案】证明：延长 CE至 F使 EFCE，连接 BF EC 为中线，角形中的对应元素探索三角形全等的判
8、定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 AE B
9、E 在AEC与BEF中，,AEBEAECBEFCEEF AEC BEF（SAS）AC BF，AFBE （全等三角形对应边、角相等）又 ACB ABC，DBC ACB A，FBC ABC A AC AB，DBC FBC AB BF 又 BC 为ADC的中线，AB BD 即 BFBD 在FCB与DCB中，,BFBDFBCDBCBCBC FCB DCB（SAS）CF CD 即 CD 2CE (2)作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形 2、已知：如图所示，在ABC中，C2B，12求证：AB AC CD 【答案与解析】证明：在 AB上截取 AE AC 在AED与ACD中，()12()()AEAC
10、ADAD 已作，已知，公用边，AED ACD（SAS）ED CD AED C(全等三角形对应边、角相等)又 C2B AED 2B 由图可知：AED BEDB，2 BBEDB BEDB BE ED 即 BE CD AB AE BE AC CD(等量代换)【总结升华】本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现 AB AC 故用截长补短法 在 AB上截取 AE AC 这样 AB就变成了 AE BE，而 AE AC 只需证 BE CD即可 从角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质
11、会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 而把 AB AC CD转化为证两线段相等的问题 举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，H，G分别在 AC，AB上，且
12、HD BD.(1)求证：B与AHD 互补；(2)若B2DGA 180，请探究线段 AG与线段 AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.【答案】证明：（1）在 AB上取一点 M,使得 AM AH,连接 DM.CADBAD,AD AD,AHDAMD.HDMD,AHDAMD.HDDB,DB MD.DMBB.AMDDMB 180,AHDB 180.即 B与AHD 互补.（2）由（1）AHDAMD,HDMD,AHDB180.B2DGA 180,AHD2DGA.AMD2DGM.AMD DGMGDM.2DGMDGMGDM.DGMGDM.MDMG.HD MG.AG AMMG,AG AHHD.（3）.利用截长
13、(或补短)法作构造全等三角形 3、如图所示，已知ABC中 AB AC，AD是BAC的平分线，M是 AD上任意一点，求证：MB MC AB AC 【思路点拨】因为 AB AC，所以可在 AB上截取线段 AE AC，这时 BE AB AC，如果连接EM，在BME 中，显然有 MB ME BE 这表明只要证明 ME MC，则结论成立【答案与解析】MGHDCBA角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应
14、边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 证明：因为 AB AC，则在 AB上截取 AE AC，连接 ME 在MBE 中，MB ME BE（三角形两边之差小于第三边）在AMC 和AME 中，()()()ACAECAMEAMAMAM 所作，角平分线的定义，公共边
15、，AMC AME（SAS）MCME（全等三角形的对应边相等）又 BE AB AE，BE AB AC，MBMC AB AC 【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.举一反三：【变式】如图，AD是ABC的角平分线，AB AC,求证：AB AC BD DC 【答案】证明：在 AB上截取 AE AC,连结 DE AD是ABC的角平分线，BADCAD 在AED与ACD中 ADADCADBADACAE AEDADC（SAS）DE DC 在BED中，BE BD DC 即 AB AE BD DC AB AC BD DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 4、如图所示，已知 E为正方形
16、 ABCD 的边 CD的中点，点 F在 BC上，且DAE FAE 求证：AF AD CF EDCBA角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢
17、迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 【思路点拨】四边形 ABCD 为正方形，则D90而DAE FAE说明 AE为FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E到 AD的距离已有，只需作 E到AF的距离 EM即可，由角平分线性质可知 ME DE AE AE RtAME 与 RtADE全等有 ADAM 而题中要证 AF AD CF根据图知 AF AM MF 故只需证 MF FC 即可从而把证AF AD CF转化为证两条线段相等的问题【答案与解析】证明：作 ME AF于 M，连接 EF 四边形
18、 ABCD 为正方形，CDEMA 90 又 DAE FAE，AE 为FAD的平分线，MEDE 在 RtAME 与 RtADE中，()()AEAEDEME公用边，已证，Rt AME RtADE(HL)ADAM(全等三角形对应边相等)又 E 为 CD中点，DE EC MEEC 在 RtEMF与 RtECF中，()(MECEEFEF已证，公用边)，Rt EMF RtECF(HL)MFFC(全等三角形对应边相等)由图可知：AF AM MF，AF AD FC(等量代换)【总结升华】与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.5、如图所示，在AB
19、C中，AC=BC，ACB=90，D是 AC上一点，且 AE垂直 BD的延长线于 E，12AEBD，求证：BD是ABC的平分线 角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角
20、的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载【答案与解析】证明：延长 AE和 BC，交于点 F，AC BC，BE AE，ADE=BDC（对顶角相等），EAD+ADE=CBD+BDC 即EAD=CBD 在 RtACF和 RtBCD中 所以 RtACF RtBCD（ASA）则 AF=BD（全等三角形对应边相等）AE=BD，AE=AF，即 AE=EF 在 RtBEA和 RtBEF中，则 RtBEA RtBEF（SAS）所以ABE=FBE（全等三角形对应角相等），即 BD是ABC的平分线【总结升华
21、】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法.类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111 直角三角形全等的判定，巩固练习 5】6、在ABC中，ACB 90，AC BC，直线l经过顶点 C，过 A，B两点分别作l的垂线 AE，BF，垂足分别为 E，F.（1）如图 1 当直线l不与底边 AB相交时，求证：EFAE BF.（2）将直线l绕点 C顺时针旋转，使l与底边 AB相交于点 D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系，AD BD；AD BD；AD BD.【答案与解析】证明：（1）A
22、E l，BFl，AEC CFB 90，1290 ACB 90，2390 角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角
23、的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习必备 欢迎下载 13。在ACE和CBF中，13AECCFBACBC ACE CBF（AAS）AE CF，CE BF EFCE CF，EFAE BF。（2）EFAE BF，理由如下：AE l，BFl，AEC CFB 90，1290 ACB 90，2390，13。在ACE和CBF中 13AECCFBACBC ACE CBF（AAS）AE CF，CE BF EFCFCE，EFAE BF。EFAE BF EFBFAE 证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说
24、理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程，其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】已知：在ABC中，BAC 90，AB AC，点 D为射线 BC上一动点，连结 AD，以AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF （1）当点 D在线段 BC上时（与点 B不重合），如图 1，求证：CFBD （2）当点 D运动到线段 BC的延长线上时，如图 2，第（1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由.角形中的对
25、应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一学习
26、必备 欢迎下载【答案】证明：（1）正方形 ADEF AD AF，DAF 90 DAF DAC BAC DAC，即BAD CAF 在ABD和ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS）BD CF （2）当点 D运动到线段 BC的延长线上时，仍有 BD CF 此时DAF DAC BAC DAC，即BAD CAF 在ABD和ACF中，ABACBADCAFADAF ABD ACF（SAS）BD CF 角形中的对应元素探索三角形全等的判定方法能利用三角形全等进行证明掌握综合法证明的格式会作角的平分线了解角的平分线的性质能利用三角形全等证明角的平分线的性质会利用角的平分线的性质进行证明知识网络要点梳理全应边相等对应角相等其他对应元素也相等如对应边上的高相等备注判定三角形全等必须有一组对应边相等两直角边对应相等一边一锐角对应相等斜边直角边定理判定性质要点二全等三角形的证明思路找夹角已知两边找直角找另一边任一边要点三角平分线的性质角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等学习必备欢迎下载角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上三角形的角平分线三角形角平分线交于一