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1、优秀学习资料欢迎下载年级初三学科数学版本人教新课标版课程标题中考第二轮复习 几何动态问题编稿老师巩建兵一校林卉二校黄楠审核王百玲一、学习目标：了解几何动态问题的特点，学会分析变量与其他量之间的内在联系，探索图形运动的特点和规律，掌握动态问题的解题方法二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容，有点动、 线动、图形运动等类型， 呈现方式丰富多彩，强化各种知识的综合与联系，有较强的区分度，且所占分值较高，具有一定的挑战性几何动态问题是指：在图形中，当某一个元素，如点、线或图形等运动变化时，问题的结论随之改变或保持不变的几何问题它是用运动变化的观点，创设一个由静止的定态到按
2、某一规则运动的动态情景，通过观察、 分析、 归纳、 推理， 动中窥定， 变中求静， 以静制动，从中探求本质、规律和方法，明确图形之间的内在联系几何动态问题关心“不变量”，所体现的数学思想方法是数形结合思想，这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来，实际上是一般化与特殊化的方法当求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特殊位置关系或数值时，常建立方程模型求解必要时， 多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法知识点一：动点问题例 1. 如图所示，在直角梯形ABCD 中， CDAB ，A90， AB28cm，DC 24cm，AD 4cm，点 M 从点 D 出发，以 1cm/s
3、的速度向点C 运动，点 N 从点 B 同时出发， 以 2cm/s的速度向点A 运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动则四边形 ANMD 的面积 y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）ABCDMN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载O145628t(s)y(cm2)O2856t(s)y(cm2)O2856t(s)y(cm2)O145628t(s)y(cm2)ABCD思路分析 ：1）题意分析 ：本题涉及到的知识点主要有直角梯形、函数及其图象等2）解题思路
4、：当 N 从 B 运动到 A 共用时282 14（s） ，当 M 从 D 运动到 C 共用时24124 （s） ， 因为 t0 或 14 时，ANMD 是三角形， 所以 t 的取值范围为0t14 y12 AD （DMAN ）124（ t282t） 2t56所以其图象为D解答过程 ：D解题后的思考：本题中有两个动点，在允许的范围内某一时刻四边形ANMD 是固定不动的，可用含t 的式子表示出面积y，再根据y 与 t 之间的关系式确定函数图象例 2. 如图， E、F 分别是边长为4 的正方形ABCD 的边 BC、CD 上的点， CE1，CF43，直线 FE 交 AB 的延长线于G过线段 FG 上的一
5、个动点H 作 HM AG ，HNAD ，垂足分别为 M、N设 HM x，矩形 AMHN 的面积为y（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当 x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？EHFCNMGBAD思路分析 ：1）题意分析 ：本题通过点H 的运动变化，综合考查四边形、线段的比、二次函数等知识2）解题思路 ：解答本题的关键是用含x 的式子表示出AM ，而AM AB BM 4BM BM 又可看作是BG 与 MG 的差， 运用 CEF 和 BEG 的关系可求出BE 和 BG 的长，运用 MHG 和 BEG 的关系可表示出MG解答过程 ： （1）正方形ABCD 的边长为4，C
6、E1，CF43， CF AG，BE3CFBGCEBE， BG 4 HM AG ，CBAG ， HM BEMGBGHMBE MG 43x y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载x（4443x）43x28x（2） y43x28x43（x3）212 x3 时， y 最大，最大面积是12解题后的思考： 本题中有一个动点，点 H 的变化引起AM 和 HM 的变化， 但 AM 与 HM之间总有一种不变的关系，正是利用这种不变的关系求出AM ，从而确定四边形AMHN的面积 y 与 x 的函数关系式例 3. 如图
7、所示，已知直线y33x1 与 x 轴、 y 轴分别交于点A、B，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰RtABC ， BAC 90，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点（1）求 SABC； （2）证明不论a 取任何实数，BOP 的面积是一个常数；（3）要使得 ABC 和 ABP 的面积相等，求实数a 的值ABCOxy思路分析 ：1）题意分析 ：本题中动点P 的位置没有给出来，根据点P 的坐标特征，它应该在一条直线上，这条直线与y 轴平行，在y 轴的右侧，到y 轴的距离是1点 P 的位置随 a 的变化而在直线x1 上运动2）解题思路 ： （1）因为 ABC 为等腰直角三角形，所以只要求出AB 即
8、可 又因为 A、B 两点是已知直线与x 轴、 y 轴的交点，所以两点坐标可求，这样OA 、OB 的长可求，在Rt OAB 中，利用勾股定理可求得AB （2）求 BOP 的面积可以以OB 为底，点P 到 y轴的距离为高底边OB 不变，高为点P 的横坐标1，所以 SBOP为常数（3）注意满足条件的点 P可能在第四象限，也可能在第一象限解答过程 ： （1）在 y33x1 中，令 x0，得点 B 坐标为（ 0，1） ；令 y 0，得点 A坐标为（3，0） 由勾股定理可得AB 2，所以 SABC12AB AC2（2）不论 a 取任何实数，BOP 都可以以 BO1 为底，点P 到 y 轴的距离1 为高，所
9、以 SBOP12为常数（3）当点 P 在第四象限时，因为SABO32，SAPO32a，所以 SABPSABOSAPO SBOPSABC2即3232a12 2，解得a1533当点 P 在第一象限时，因为 SABO322，所以点P 一定在直线AB 的上方，此时SABPSAPOSBOPSABO，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载即32a12322，可得 a13解题后的思考：求 ABC的面积实质是求它的两条直角边长，本题的（1）和（ 2）问比较容易，（ 3）问难度稍微大一些，应注意分情况讨论小结 ：解答
10、动点问题要“以静制动”，即把动态问题变为静态问题来解一般方法是抓住变化中的“不变量” ，首先根据题意理清题目中变量的变化情况并找出相关常量，第二，按照图形中的几何性质及相互关系，找出一个基本关系式，把相关的量用一个自变量的表达式表示出来，然后再根据题目的要求，依据几何、代数知识求解知识点二：动线问题例 4. 小明在研究垂直于直径的弦的性质的过程中（如图所示，直径AB弦 CD 于 E） ，设 AEx，BE y，他用含 x、y 的式子表示图中的弦CD 的长度，通过比较运动的弦CD 和与之垂直的直径AB 的大小关系，发现了一个关于正数x、y 的不等式，你也能发现这个不等式吗？写出你发现的不等式_AB
11、CDOExy思路分析 ：1）题意分析 ：关于 x、y 的不等式是通过比较运动的弦CD 和与之垂直的直径AB 的大小关系得出的，解本题的关键是找出AB 与 CD 的某种数量关系2） 解题思路 ： 连接 AC、 BC， 易得 ACE CBE ， 得AECECEEB， 即 CE2xy， CExy CD2xy AB CD， xy2 xy解答过程 ：xy2 xy解题后的思考：在这个问题中，弦CD 是变化的，直径AB （即 xy）是不变的，弦CD 无论怎样变化都不会超过直径，正是根据这一点确定了本题的不等关系式例 5. 如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l，四个顶点A、B、C、D 到直线l 的
12、距离分别为a、b、 c、d（1）观察图形，猜想得出a、b、 c、d 满足怎样的关系式？证明你的结论（2）现将 l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论ABCDB1A1C1D1labcd思路分析 ：1）题意分析 ：本题是线动平移问题，问题的结论具有开放性，需要学生有一定的类比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载能力和绘图能力2）解题思路 ：解答本题时可以从特殊位置开始，比如当直线l 过点 A 时，找出 a、b、c、d 之间的关系式，再把它进行推广解答过程 ： （1） acbd证明
13、：如图所示，连结AC 、BD ，且 AC 、BD 相交于点 O，OO1为点 O 到 l 的距离， OO1为直角梯形BB1D1D 的中位线， 2OO1DD1BB1bd；同理： 2OO1AA1CC1ac a cbdABCDB1A1C1D1lOO1ABCDB1A1C1D1lOO1（2）不一定成立分别有以下情况：直线l 过 A 点时， cbd；如图所示，直线l过 A 点与 B 点之间时， ca bd；直线 l 过 B 点时， c ad；直线 l 过 B 点与 D 点之间时， acbd；直线 l 过 D 点时， acb；直线 l 过 C 点与 D 点之间时， a cbd；直线 l 过 C 点时， abd
14、；直线 l 过 C 点上方时， acbd解题后的思考：在本题中，直线l 做上下平移运动，直线l 的位置变化引起a、b、c、d的变化，不变的是它们所在图形的中位线重叠，通过这一不变性找出a、b、c、d 之间的关系式小结 ：线动问题的基本特征是：在一个运动变化过程中，某些直线或线段保持一种位置关系不变，如垂直、平行，而一些线段的长度发生变化这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相似形等知识建立线段之间的数量关系，从而解决问题知识点三：图形运动问题例 6. 如图所示， A、 B 的圆心 A、B 在直线 l 上，两圆半径都为1cm，开始时圆心距AB4cm，现 A、 B 同时沿直线l 以每秒 2cm
15、 的速度相向移动，则当两圆相切时，A运动的时间为 _秒ABl思路分析 ：1）题意分析 ：这两个圆是等圆，只能形成外切，但应注意外切有两种状态2）解题思路 ：相切的两种情况是：点A 在点 B 左边时，这两个圆各移动了1cm，用时12秒；点 A 在点 B 右边时，两圆各移动了3cm，用时32秒解答过程 ：12或32解题后的思考：本题有两种解题策略：确定两圆相切时A 和 B 的移动距离， 再求运动时间；设A 运动 t 秒时，两圆相切点A 和点 B 重合以前， A 和 B 相切一次，此时 AB 42t2t44t；点 A 和点 B 重合以后， A 和 B 相切一次，此时AB 2t2t44t4两圆相切时A
16、B 2，即 44t2 或 4t4 2解得 t12或32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载例 7. 如图所示，矩形ABCD 中， AB 3，BC 4，将矩形ABCD 沿对角线 AC 平移，平移后的矩形为EFGH （A、 E、 C、 G 始终在同一条直线上） ， 当点 E 与 C 重合时停止移动 平移中 EF 与 BC 交于点 N，GH 与 BC 的延长线交于点M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积， S 表示矩形NFQC 的面积（1）S
17、与 S 相等吗？请说明理由（2）设 AE x，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S有最大值，最大值是多少？（3）如图所示，连结BE，当 AE 为何值时， ABE 是等腰三角形ABCDEFGHQPMNABCDEFGHQPMNSS思路分析 ：1）题意分析 ：本题的运动过程比较简单，矩形EFGH 沿 AC 平移，考查的知识点有：矩形、平移、函数、等腰三角形等2）解题思路 ： （ 1）S 与 S 的关系可通过矩形EFGH 中各三角形面积的和差关系确定；（2）在 EPC 和 CGM 中用含x 的式子表示出PC 和 CM，SPCCM ，注意 AECG可由平移的性质得出； （3）注意 A
18、BE 是等腰三角形可能有多种情况解答过程 ： （1）相等理由是：四边形ABCD 、EFGH 是矩形， SEGH SEGF，SECNSECP，SCGQSCGM， SEGHSECPSCGMSEGFSECN SCGQ，即： SS （2） AB3，BC 4， AC 5设 AEx，则 EC5x，PC35（5x） ，MC45x， SPCMC 1225x（5x） ，即 S1225x2125x（0 x5） 配方得 S1225（x52）23，所以当x52时， S 有最大值3（3） 如下图所示， 当 AEAB 3 或 AEBE52或 AE3.6 时，ABE 是等腰三角形ABEABEABE解题后的思考：函数是刻画图
19、形运动问题的最佳数学模型，解决这类问题时，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，避免找不准图形运动过程中的关键图形而导致出错小结 ： 图形运动问题一般与图形变换结合，图形在运动过程中只是位置发生变化，大小、形状一般不变所以解答这类问题往往可运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等知识精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载解答几何动态问题大致可分为三步：（1）审清题意， 明确研究对象 （2）明确运动过程，抓住关键时刻的动点，如起点，终点（3）将运动元素看作静止元素，运用数学知识解决问题（答
20、题时间： 60分钟）一、选择题1. 如图所示，在ABC 中， AB AC2， BAC 20动点P、Q 分别在直线BC 上运动， 且始终保持 PAQ100，设 BP x，CQy，则 y 与 x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（）APQBCxyOxyOxyOxyOxyABCD2. 如图， ABC 和 DEF 是等腰直角三角形，C F90， AB2、DE4点 B与点 D 重合，点A，B（D） ，E 在同一条直线上，将ABC 沿 AE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止设点B、D 之间的距离为x， ABC 与 DEF 重叠部分的面积为y，则下列能准确反映y 与 x 之间对应关系的图象是（）ABC
21、(D)EFABCDEFxyOxyOxyOxyOABCD二、填空题3. 如图，正方形ABCD 的边长为4，点 M 在边 DC 上，且 DM 1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN MN 的最小值为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载ABCDMN*4. 锐角 ABC 中， BC6，SABC12，两动点M、N 分别在边AB 、AC 上滑动，且MN BC，以 MN 为边向下作正方形MPQN ，设其边长为x，正方形MPQN 与 ABC 公共部分的面积为y（y0） ，当 x_时，公共部分面积y 最大，
22、y最大值_ABCMNPQDPQ三、解答题*5. 如图，形如量角器的半圆O 的直径DE12cm，形如三角板的ABC 中， ACB 90， ABC 30， BC 12cm半圆 O 以 2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点 D、E 始终在直线BC 上设运动时间为t（ s） ，当 t0s 时，半圆O 在 ABC 的左侧，OC8cm（1）当 t 为何值时， ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切？（2）当 ABC 的一边所在的直线与半圆O 所在的圆相切时，如果半圆O 与直径DE围成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分，求重叠部分的面积ABCEDO*6 、如图（ 1） ，在矩形ABC
23、D 中， AB20cm，BC 4cm，点 P从点 A 开始沿折线ABCD 以 4cm/s 的速度移动，点Q 从点 C 开始沿 CD 边以 1cm/s 的速度移动，如果点P、Q 分别从点A、C 同时出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动设运动时间为 t（s） （1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形？（2）如图（ 2） ，如果 P 和 Q 的半径都是2 cm，那么 t 为何值时， P 和 Q 外切？ABCDPQABCDPQ(1)(2)*7 、如图所示， 矩形 ABCD 中，AB12cm， BC24cm，直线 PQ 从 AB 出发，以 1cm/s的速度向CD 做匀速运动， PQ 与
24、AD 、BC 分别交于P、 Q；点 M 从点 C 出发，沿CDABC 方向逆时针运动，点M 与 P、 Q 同时出发，当点M 运动到 D 后改变速度；当点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载M 与 Q 相遇后，点M 与直线 PQ 都停止运动图是点M 运动路线长y（ cm）与运动时间t（s）的函数关系图象（ 1）点M 在CD 上运动的速度为_cm/s；点M改变速度后的速度为_cm/s；（2）求 y 关于运动时间t 的函数关系式及P、 M 相遇的时间， M、Q 相遇的时间；（3）求当 0t8 时， PQ
25、M 的面积 S 关于运动时间t 的函数关系式及当S60cm2时， t 的值；（4）当 PMQM 时，此时的时间为_sABCDPQ(M)y/cmOt/s461220精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载一、选择题：1. A 解析： BAC 20， AB AC， ABC ACB 80， PAB P80，ABP ACQ 100 PAQ100， PAB QAC 80， PQAC ， PAB AQC，PBACABCQ，即x22y， y4x故选 A2. B 解析：当点D 在线段 AB 上时， y14x2，此时的
26、图象是抛物线的一部分，这条抛物线开口向上， 顶点是原点 当点 A、点 B 都在线段DE 上时， y2当点 E 在线段 AB 上时，y14x2所以可排除A、 C、D，选 B二、填空题：3. 5 解析：能否将DN 和 NM 进行转化，建立三角形两边之和大于第三边的问题时，很自然地想到轴对称，由于ABCD为正方形，连结BN ，显然有ND NB ，则问题就转化为BNNM 的最小值问题了，一般情况下：BN NM BM ，只有在B、 N、 M 三点共线时，BNNM BM ，因此 DNMN 的最小值为BMBC2CM254. 3， 6 解析：当正方形的P、 Q 两点在 ABC 内部时，其公共部分的面积不会取得
27、最大值 只有当 P、Q 两点在 BC 边上或在 ABC 外部时， y 可能有最大值， 此时设 MP 与 BC相交于点P ，NQ 与 BC 相交于点Q MN BC，AMABMNBC，即AB BMABMNBC， 1BMABx6， 有BMAB1x6 MPAD ， MPADBMAB 由 BC6 和 SABC12 可得 AD 4 MP 4（1x6） 423x yMN MPx（423x）23x24x23（x3）26，当 x3 时， y最大值6三、解答题：5. 解： （1）如图所示， t862 1 （s） ；如图所示， t824 （s） ；如图所示， t8627（s） ；如图所示，t8 1212216（ s
28、） （2）图和有重叠部分，图中重叠部分的面积是9cm2；图中重叠部分的面积是6062360126（ 6sin60）（ 693） cm2ABCEDOABCEDO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载ABCEDOABCEDO6. 解： （1） 根据题意， 当 APDQ 时，由 APDQ， A90o， 得四边形 APQD 为矩形 此时， 4t 20t解得 t4（s） t 为 4 s 时，四边形APQD 为矩形（ 2）当 PQ4 时，P与 Q 外切 如果点P 在 AB 上运动， 只有当四边形APQD 为矩
29、形时， PQ4由（1） ，得 t4（s） 如果点P 在 BC 上运动，此时，t5则 CQ5，PQ CQ54， P与 Q 外离如果点P在 CD 上运动，且点 P 在点 Q 的右侧 可得 CQt， CP4t 24 当CQCP4 时， P 与 Q 外切此时， t（ 4t24） 4解得t203（s） 如果点P在 CD 上运动，且点P 在点 Q 的左侧当CPCQ4 时， P 与 Q 外切，此时， 4t 24t4解得 t283（s） 点 P 从点 A 开始沿折线ABCD 移动到点D 需要 11s，点Q 从点 C 开始沿 CD 边移动到点D 需要 20s，而283 11，当 t 为 4s，203s，283s
30、 时， P 与Q 外切7. 解： （1）3，4； （2）当 0t4 时， y3t；当 4t523（523是 M、 Q 相遇，停止运动的时间）时， y124（t4） 4t4若 P、M 相遇有APPDDC36，即 t124（t4） 36，解得 t8若 M、 Q 相遇有折线CDABQ 的长减去BQ 的长 ABAD DC，即 124（t4） t48，解得 t523 P、M 相遇的时间为8s，M、Q 相遇的时间是523s （3）当 0t4 时，点 M 在 CD 上， S1212（ 24t） 6t144；当 4t8 时，点 M 在 PD 上， S121224t4（t4） 30t240；当 S 60cm2时，6t14460，解得 t14（舍），30t 24060，解得 t6（ s） （4）当点 M 在 CD 上时，若 PMQM ，则有 DM CM 3t12 3t， t2（s） 当点 M 在 AB 上时，若 PMQM ，则有 AM BM 124（t4） 12241212， t11.5（s） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页