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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 年级初三学优秀学习资料欢迎下载本人教新课标版科数学版课程标题中考其次轮复习 几何动态问题审核王百玲编稿老师巩建兵黄楠一校林卉二校一、学习目标：明白几何动态问题的特点,学会分析变量与其他量之间的内在联系,探究图形运动的特点和规律,把握动态问题的解题方法二、考点分析：近几年在中考数学试卷中动态类题目成了压轴题中的常选内容,有点动、 线动、图形运动等类型, 出现方式丰富多彩,强化各种学问的综合与联系,有较强的区分度,且所占分值较高,具有肯定的挑战性几何动态问题是指：在图形中,当某一个元素,如点、线或图形等运动变化时,问题的结论随之转变或保持不变的几何
2、问题它是用运动变化的观点,创设一个由静止的定态到按某一规章运动的动态情形,通过观看、 分析、 归纳、 推理, 动中窥定, 变中求静, 以静制动,从中探求本质、规律和方法,明确图形之间的内在联系几何动态问题关怀“ 不变量”,所表达的数学思想方法是数形结合思想,这里常把函数与方程、函数与不等式联系起来,实际上是一般化与特别化的方法当求变量之间的关系时,通常建立函数模型或不等式模型求解；当求特别位置关系或数值时,常建立方程模型求解必要时, 多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好方法学问点一：动点问题例 1. 如下列图,在直角梯形ABCD 中, CD AB ,A 90 , AB 28cm,DC 24
3、cm,名师归纳总结 AD 4cm,点 M 从点 D 动身,以 1cm/s 的速度向点C 运动,点 N 从点 B 同时动身, 以 2cm/s第 1 页,共 11 页的速度向点A 运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动就四边形 ANMD 的面积 y（cm 2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）DMCANB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 56ycm256优秀学习资料欢迎下载56ycm2ycm256ycm22814AtsOB28tsO28 Ct s2814DtsOO思路分析 ：1）题意分析 ：此题涉及到的学问点主要有直角
4、梯形、函数及其图象等2）解题思路 ：当 N 从 B 运动到 A 共用时28 2 14（s）,当 M 从 D 运动到 C 共用时 24 124（s）,由于 t0 或 14 时,ANMD 是三角形, 所以 t 的取值范畴为0t14y1 2 AD （DMAN ）1 2 4 （ t282t） 2t56所以其图象为D解答过程 ：D 解题后的摸索：此题中有两个动点,在答应的范畴内某一时刻四边形 ANMD 是固定不 动的,可用含 t 的式子表示出面积 y,再依据 y 与 t 之间的关系式确定函数图象例 2. 如图, E、F 分别是边长为4 的正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点, CE1,CF4 3,
5、直线 FE 交 AB 的延长线于G过线段 FG 上的一个动点H 作 HM AG ,HN AD ,垂足分别为 M 、N设 HM x,矩形 AMHN 的面积为 y（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；识（2）当 x 为何值时,矩形 AMHN 的面积最大,最大面积是多少？D F CENBHGAM思路分析 ：1）题意分析 ：此题通过点 H 的运动变化,综合考查四边形、线段的比、二次函数等知2）解题思路 ：解答此题的关键是用含 x 的式子表示出 AM ,而 AM AB BM 4BM BM 又可看作是 BG 与 MG 的差, 运用 CEF 和 BEG 的关系可求出 BE 和 BG 的长,运用 MHG 和
6、 BEG 的关系可表示出 MG 解答过程 ：（1）正方形ABCD 的边长为 4,CE1,CF4 3, CF AG ,BE3名师归纳总结 BGCE BE, BG 4 HM AG ,CBAG , HM BE MG BG HM BE MG 4 3x y第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x（444 3x）4 3x 28x优秀学习资料欢迎下载（2） y4 3x 28x43（x3）212 x3 时, y 最大,最大面积是 12解题后的摸索：此题中有一个动点, 点 H 的变化引起 AM 和 HM 的变化, 但 AM 与 HM之间总有一种不变的
7、关系,正是利用这种不变的关系求出 AM ,从而确定四边形 AMHN 的面积 y 与 x 的函数关系式例 3. 如下列图,已知直线 y3 x1 与 x 轴、 y 轴分别交于点 3 A、B,以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰 Rt ABC , BAC 90 ,且点 P（1,a）为坐标系中的一个动点（1）求 S ABC ；（2）证明不论a 取任何实数,BOP 的面积是一个常数；a 的值C（3）要使得ABC 和 ABP 的面积相等,求实数yBOAx思路分析 ：1）题意分析 ：此题中动点 P 的位置没有给出来,依据点 P 的坐标特点,它应当在一条直线上,这条直线与 y 轴平行,在 y 轴的右侧,到
8、 y 轴的距离是 1点 P 的位置随 a 的变化而在直线 x1 上运动2）解题思路 ：（1）由于 ABC 为等腰直角三角形,所以只要求出 AB 即可 又由于 A 、B 两点是已知直线与 x 轴、 y 轴的交点,所以两点坐标可求,这样 OA 、OB 的长可求,在Rt OAB 中,利用勾股定理可求得 AB （ 2）求 BOP 的面积可以以 OB 为底,点 P 到 y轴的距离为高底边 OB 不变,高为点 P 的横坐标 1,所以 S BOP 为常数（3）留意满意条件的点 P 可能在第四象限,也可能在第一象限解答过程 ：（1）在 y3 3 x1 中,令 x0,得点 B 坐标为（ 0,1）；令 y 0,得
9、点 A名师归纳总结 坐标为（3,0）由勾股定理可得AB 2,所以 S ABC 1 2 AB AC2第 3 页,共 11 页（2）不论 a 取任何实数,BOP 都可以以 BO 1 为底,点P 到 y 轴的距离1 为高,所以 S BOP1 2为常数（3）当点 P 在第四象限时,由于S ABO 3 2,S APO3 2 a,所以 S ABPS ABO S APO S BOPS ABC2即3 23 2 a2 2,解得 a1 5 3 3当点 P 在第一象限时,因为 S ABO 3 22,所以点 P 肯定在直线AB 的上方,此时S ABPS APOS BOPS ABO ,- - - - - - -精选学习
10、资料 - - - - - - - - - 即3 2 a1 23 22,可得 a1优秀学习资料欢迎下载3解题后的摸索：求 ABC的面积实质是求它的两条直角边长,此题的（1）和（ 2）问比较简洁,（ 3）问难度略微大一些,应留意分情形争论小结 ：解答动点问题要“ 以静制动”,即把动态问题变为静态问题来解一般方法是抓住变化中的“ 不变量”,第一依据题意理清题目中变量的变化情形并找出相关常量,其次,依据图形中的几何性质及相互关系,找出一个基本关系式,把相关的量用一个自变量的表达式表示出来,然后再依据题目的要求,依据几何、代数学问求解学问点二：动线问题例 4. 小明在争论垂直于直径的弦的性质的过程中（如
11、下列图,直径 AB 弦 CD 于 E）,设 AEx,BE y,他用含 x、y 的式子表示图中的弦 CD 的长度,通过比较运动的弦 CD 和与之垂直的直径 AB 的大小关系,发觉了一个关于正数 x、y 的不等式,你也能发觉这个不等式吗？写出你发觉的不等式 _CAxOEyBD思路分析 ：1）题意分析 ：关于 x、y 的不等式是通过比较运动的弦CD 和与之垂直的直径AB 的大小关系得出的,解此题的关键是找出AB 与 CD 的某种数量关系2）解题思路 ：连接 AC、BC,易得 ACE CBE ,得CECE EB,即 CE2xy,CExyCD2xy AB CD, xy2 xy解答过程 ：xy2 xy解题
12、后的摸索：在这个问题中,弦CD 是变化的,直径AB （即 xy）是不变的,弦CD 无论怎样变化都不会超过直径,正是依据这一点确定了此题的不等关系式例 5. 如图,已知平行四边形ABCD 及四边形外始终线l,四个顶点A、B、C、D 到直线l 的距离分别为a、b、 c、d（1）观看图形,猜想得出a、b、 c、d 满意怎样的关系式？证明你的结论（2）现将 l 向上平移,你得到的结论仍肯定成立吗？请分情形写出你的结论C DA aA 1D 1dbBC 1clB 1思路分析 ：1）题意分析 ：此题是线动平移问题,问题的结论具有开放性,需要同学有肯定的类比名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,
13、共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载才能和绘图才能2）解题思路 ：解答此题时可以从特别位置开头,比如当直线 c、d 之间的关系式,再把它进行推广解答过程 ：（1） acbd证明：如图所示,连结l 过点 A 时,找出 a、b、AC 、BD ,且 AC 、BD 相交于点 O,OO1 为点 O 到 l 的距离, OO1 为直角梯形 BB 1D 1D 的中位线, 2OO1DD 1BB 1bd；同理： 2OO 1AA 1CC 1ac a cbdCDOlClBDOAAA 1D1O1BC1lA 1D 1O1B1C 1B1（2）不肯定成立分别有以下情形：直线l
14、过 A 点时, cbd；如图所示,直线过 A 点与 B 点之间时, ca bd；直线 l 过 B 点时, c ad；直线 l 过 B 点与 D 点之间时, acbd；直线 l 过 D 点时, acb；直线 l 过 C 点与 D 点之间时, a cbd；直线 l 过 C 点时, abd；直线 l 过 C 点上方时, acbd解题后的摸索：在此题中,直线l 做上下平移运动,直线l 的位置变化引起a、b、c、d的变化,不变的是它们所在图形的中位线重叠,通过这一不变性找出 系式a、b、c、d 之间的关小结 ：线动问题的基本特点是：在一个运动变化过程中,某些直线或线段保持一种位置关系不变,如垂直、平行,
15、而一些线段的长度发生变化这类问题通常用直角三角形、四边形、全等形、相像形等学问建立线段之间的数量关系,从而解决问题学问点三：图形运动问题例 6. 如下列图, A、 B 的圆心 A、B 在直线 l 上,两圆半径都为 1cm,开头时圆心距AB 4cm,现 A、 B 同时沿直线 l 以每秒 2cm 的速度相向移动,就当两圆相切时,A运动的时间为 _秒ABl思路分析 ：1）题意分析 ：这两个圆是等圆,只能形成外切,但应留意外切有两种状态名师归纳总结 2）解题思路 ：相切的两种情形是：点A 在点 B 左边时,这两个圆各移动了1cm,用时第 5 页,共 11 页1 2秒；点 A 在点 B 右边时,两圆各移
16、动了3cm,用时3 2秒解答过程 ：1 2或3解题后的摸索：此题有两种解题策略：确定两圆相切时A 和 B 的移动距离, 再求运动时间；设A 运动 t 秒时,两圆相切点A 和点 B 重合以前, A 和 B 相切一次,此时 AB 42t2t44t；点 A 和点 B 重合以后, A 和 B 相切一次,此时AB 2t2t44t4两圆相切时AB 2,即 44t2 或 4t4 2解得 t2或3 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 7. 如图所示,矩形ABCD 中, AB 3,BC 4,将矩形 ABCD 沿对角线 AC 平移,平移后的矩形为
17、 EFGH（A 、E、C、G 始终在同一条直线上） ,当点 E 与 C 重合时停止移动 平移中 EF 与 BC 交于点 N,GH 与 BC 的延长线交于点M ,EH 与 DC 交于点 P,FG 与 DC 的延长线交于点 Q设 S 表示矩形 PCMH 的面积, S 表示矩形 NFQC 的面积（1）S 与 S 相等吗？请说明理由（2）设 AE x,写出 S 和 x 之间的函数关系式,并求出 值是多少？x 取何值时 S 有最大值,最大（3）如图所示,连结EBE,当 AE 为何值时,ABE 是等腰三角形ADADPHEPHSBNSCMBNCMGGFQFQ思路分析 ：1）题意分析 ：此题的运动过程比较简洁
18、,矩形 矩形、平移、函数、等腰三角形等2）解题思路 ：（ 1）S 与 S 的关系可通过矩形EFGH 沿 AC 平移,考查的学问点有：EFGH 中各三角形面积的和差关系确定；（2）在 EPC 和 CGM 中用含 x 的式子表示出PC 和 CM ,SPCCM ,留意 AE CG可由平移的性质得出； （3）留意ABE 是等腰三角形可能有多种情形解答过程 ：（1）相等理由是：四边形 ABCD 、EFGH 是矩形, S EGH S EGF,SECNSECP,SCGQSCGM, SEGHSECPSCGMSEGFSECN SCGQ,即： SS （2） AB 3,BC 4, AC 5设 AE x,就 EC5x
19、,PC3 5（5x）,MC 4x, SPC MC 12 25x（5x）,即 S 12 25x 2 12 5 x（0x5）配方得 S 12 25（x5 2）23,所以当 x5 2时, S 有最大值 3（3）如下图所示, 当 AE AB 3 或 AE BE 5 2或 AE 3.6 时, ABE 是等腰三角形A A AEEEB B B解题后的摸索：函数是刻画图形运动问题的正确数学模型,解决这类问题时,要从观看入手,抓住图形运动时各量之间的关系,防止找不准图形运动过程中的关键图形而导致出错小结 ：图形运动问题一般与图形变换结合,图形在运动过程中只是位置发生变化,大小、外形一般不变所以解答这类问题往往可
20、运用平移、旋转、对称、平行、全等、等腰三角形等学问名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解答几何动态问题大致可分为三步：（1）审清题意, 明确争论对象 （2）明确运动过程,抓住关键时刻的动点,如起点,终点（3）将运动元素看作静止元素,运用数学学问解决问题（答题时间： 60 分钟）一、挑选题1. 如下列图,在ABC 中, AB AC2, BAC 20 动点 P、Q 分别在直线BC 上运动, 且始终保持 PAQ100 ,设 BP x,CQy,就 y 与 x 之间的函数关系用图象大致可以表示为（）Ax
21、yOyAxOPBxByCCQxOyDxyO2. 如图,ABC 和 DEF 是等腰直角三角形,C F90 , AB 2、DE4点 B与点 D 重合,点 A,B（D）,E 在同一条直线上,将ABC 沿 AE 方向平移,至点 A 与点E 重合时停止设点 B、D 之间的距离为 x, ABC 与 DEF 重叠部分的面积为 y,就以下能精确反映 y 与 x 之间对应关系的图象是（）F FC CA E A EB D D By y y yO x O x O x O xA B C D二、填空题名师归纳总结 3. 如图,正方形ABCD 的边长为 4,点 M 在边 DC 上,且 DM 1,N 为对角线 AC 上任第
22、 7 页,共 11 页意一点,就DN MN 的最小值为 _- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载A DMNB C*4. 锐角 ABC 中, BC6,SABC12,两动点 M 、N 分别在边 AB 、AC 上滑动,且MN BC,以 MN 为边向下作正方形 MPQN ,设其边长为 x,正方形 MPQN 与 ABC 公共部分的面积为 y（y0）,当 x_时,公共部分面积 y 最大, y最大值_ABMDNCPQPQ三、解答题*5. 如图,形如量角器的半圆O 的直径 DE12cm,形如三角板的ABC 中, ACB 90 , ABC 30 , B
23、C 12cm半圆 O 以 2cm/s 的速度从左向右运动,在运动过程中,点 D、E 始终在直线BC 上设运动时间为t（ s）,当 t0s 时,半圆O 在 ABC 的左侧,OC8cm（1）当 t 为何值时,ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切？（2）当 ABC 的一边所在的直线与半圆 O 所在的圆相切时,假如半圆 O 与直径 DE围成的区域与ABC 三边围成的区域有重叠部分,求重叠部分的面积ADOECB*6 、如图（ 1）,在矩形 ABCD 中, AB 20cm,BC 4cm,点 P 从点 A 开头沿折线 ABCD 以 4cm/s 的速度移动,点 Q 从点 C 开头沿 CD 边以 1
24、cm/s 的速度移动,假如点 P、Q 分别从点 A、C 同时动身,当其中一点到达点 D 时,另一点也随之停止运动设运动时间为 t（s）（1）t 为何值时,四边形 APQD 为矩形？（2）如图（ 2）,假如 P 和 Q 的半径都是2 cm,那么 t 为何值时, P 和 Q 外切？DP1QCDP2QCABAB*7 、如图所示, 矩形 ABCD 中,AB 12cm,BC24cm,直线 PQ 从 AB 动身,以 1cm/s 的速度向 CD 做匀速运动, PQ 与 AD 、BC 分别交于 P、 Q；点 M 从点 C 动身,沿 CD名师归纳总结 ABC 方向逆时针运动,点M 与 P、 Q 同时动身,当点M
25、 运动到 D 后转变速度；当点第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载M 运动路线长y（ cm）与运动时间M 与 Q 相遇后,点 M 与直线 PQ 都停止运动图是点t（s）的函数关系图象（ 1）点M 在 CD 上运动的速度为_cm/s；点M转变速度后的速度为_cm/s；（2）求 y 关于运动时间 t 的函数关系式及 P、 M 相遇的时间, M 、Q 相遇的时间；（3）求当 0t8 时,PQM 的面积 S 关于运动时间 t 的函数关系式及当 S60cm2时, t 的值；（4）当 PM QM 时,此时的时间为_s20y
26、/cmAPD12名师归纳总结 BQMCO46t/s第 9 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载一、挑选题：1. A 解析： BAC 20 ,AB AC, ABC ACB 80 , PAB P80 ,ABP ACQ 100 PAQ100 , PAB QAC 80 , P QAC , PAB AQC ,PB ACAB CQ,即 x 22 y, y4 x应选 A2. B 解析：当点 D 在线段 AB 上时, y14x 2,此时的图象是抛物线的一部分,这条抛物线开口向上, 顶点是原点 当点 A、点 B 都在线段 DE 上时,
27、 y2当点 E 在线段 AB 上时,y1 4x 2所以可排除A、 C、D,选 B二、填空题：3. 5 解析：能否将 DN 和 NM 进行转化,建立三角形两边之和大于第三边的问题时,很自然地想到轴对称,由于 ABCD 为正方形,连结 BN ,明显有 ND NB ,就问题就转化为BNNM 的最小值问题了,一般情形下：BN NM BM ,只有在 B、 N、 M 三点共线时,BNNM BM ,因此 DN MN 的最小值为 BM BC 2CM 254. 3, 6 解析：当正方形的 P、 Q 两点在ABC 内部时,其公共部分的面积不会取得最大值 只有当 P、Q 两点在 BC 边上或在ABC 外部时, y
28、可能有最大值, 此时设 MP 与 BC相交于点 P,NQ 与 BC 相交于点 Q MN BC,AM ABMN BC,即 AB BMMN BC, 1BM ABx 6,有BM AB1 x 6MP AD ,MP ADBM AB由 BC6 和 S ABC12 可得 AD 4MP4（16） 42 3x yMN MP x（423x）23x 24x2 3（x3）26,当 x3 时, y 最大值 6三、解答题：5. 解：（1）如图所示, t86 2 1（s）；如图所示, t8 24（s）；如图所示, t867（s）；如图所示,t8 121216（ s）（2）图和有重叠部分,图中重叠部22分的面积是 9 cm
29、2；图中重叠部分的面积是 60 63601 2 6 （ 6 sin60 ）（ 69 3） cm 2A AD O E C B D O C E B名师归纳总结 第 10 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载AADCOEBCBDOE6. 解：（1）依据题意, 当 APDQ 时,由 AP DQ ,A90o,得四边形 APQD 为矩形 此时, 4t 20t解得 t4（s） t 为 4 s 时,四边形APQD 为矩形（ 2）当 PQ4 时,P 与 Q 外切 假如点 P 在 AB 上运动, 只有当四边形 APQD 为矩形时, PQ
30、4由（1）,得 t4（s）假如点 P 在 BC 上运动,此时,t5就 CQ5,PQ CQ54, P与 Q 外离假如点 P 在 CD 上运动,且点 P 在点 Q 的右侧 可得 CQt,CP4t 24当CQCP4 时, P 与 Q 外切此时, t（ 4t24） 4解得 t203（s）假如点 P在 CD 上运动,且点 P 在点 Q 的左侧当 CPCQ4 时, P 与 Q 外切,此时, 4t 24t4解得 t28 3（s）点 P 从点 A 开头沿折线 A BCD 移动到点 D 需要 11s,点Q 从点 C 开头沿 CD 边移动到点 D 需要 20s,而 28 3 11,当 t 为 4s, 20 3 s
31、,283 s 时, P 与Q 外切7. 解：（1）3,4；（2）当 0t4 时, y3t；当 4t52 3（52 3是 M 、 Q 相遇,停止运动的时间）时, y124（t4） 4t4如 P、M 相遇有 APPDDC36,即 t124（t4） 36,解得 t8如 M 、 Q 相遇有折线 CDA B Q 的长减去 BQ 的长 ABAD DC ,即 124（t4） t48,解得 t52 3 P、M 相遇的时间为 8s,M 、Q 相遇的时间是52 3 s（3）当 0t4 时,点 M 在 CD 上, S12 12 （ 24t） 6t144；当 4t8 时,点 M 在 PD 上, S1 2 12 24t4（t4） 30t240；当 S 60cm 2 时,6t14460,解得 t14（舍）, 30t 24060,解得 t6（ s）（4）当点 M 在 CD 上时,如 PM QM ,就有 DM CM 3t12 3t, t2（s）当点 M 在 AB 上时,如 PM名师归纳总结 QM ,就有 AM BM 124（t4） 1224121 2, t11.5（s）第 11 页,共 11 页- - - - - - -