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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数单元测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）ABCD2、如图，在边长为2的正方
2、形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将BCF沿BF对折，得到BPF，延长FP交BA延长线于点Q下列结论错误的是（）AAEBFBQBQFCcosBQPDS四边形ECFGSBGE3、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan的值是（ ）A12B43C35D454、如图，在平地上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为如果在坡度为的山坡上种植树，也要求株距为，那么相邻两树间的坡面距离约为（ ）ABCD5、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（ ）ABCD6、如图，一辆小车沿斜坡向上行驶米，小车上升的高度米，则斜坡的坡度是（）A：B：C：D：7、如图，
3、在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）ABCD8、如图，在RtABC中，C90，BC1，以下正确的是（ ）ABCD9、在RtABC中，C90，BC3，AC4，那么cosB的值等于（）ABCD10、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且NAD30，AB2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60至BQ，连CQ，CQ的最小值是 _2、如图，中，点D、点E分别在
4、AB、AC上，连接CD、ED，则_3、如图，在RtABC中，C90，AC2，BC2以点A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为_4、如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF，给出下列结论：AGD110.5；2tanAED2；SAGDSOGD；四边形AEFG是菱形；BFOF；SOGF1，则正方形ABCD的面积是128，其中正确的是_（只填写序号）5、如图，AB是半圆O的直径，AB4，点C，D在半圆上，
5、OCAB，点P是OC上的一个动点，则BPDP的最小值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、图1、图2分别是某型号拉杆箱的实物图与示意图，小张获得了如下信息：滑杆DE，箱长BC，拉杆AB的长度都相等，B，F在AC上，C在DE上，支杆DF30cm，CE：CD1：3，DCF45，CDF30，请根据以上信息，解决下列问题（1）求AC的长度：（2）直接写出拉杆端点A到水平滑杆ED所在直线的距离 cm2、（1）计算：2cos30（1）2021；（2）解方程组：3、已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3），现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P
6、沿线段AD向终点D运动，速度为每秒1个单位长度，点Q沿折线CBA向终点A运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒（1）求AD，BC之间的距离和sinDAB的值；（2）设四边形CDPQ的面积为S求S关于t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若存在某一时刻，点P，Q同时在反比例函数的图象上，直接写出此时四边形CDPQ的面积S的值4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，与BD交O一点，直线EF过点O分别交直线AB，CD，BC于E，F，H（1）求证：BOEDOF；（2）若OC2HCBC，OC：BH3，求sinBAC；（3）在AOF中，若AF8，AOOF4，求平行四边形ABCD的
7、面积5、如图，在ABC中，B30，AB4，ADBC于点D且tanCAD，求BC的长-参考答案-一、单选题1、B【分析】根据锐角三角函数求解即可【详解】解：在RtABC中，C90，BC5，AC12，所以tanB，故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键2、C【分析】BCF沿BF对折，得到BPF，利用角的关系求出QF=QB，即可判断B；首先证明ABEBCF，再利用角的关系求得BGE=90，即可得到AEBF即可判断A；利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解即可判断C；可证BGE与BCF相似，进一
8、步得到相似比，再根据相似三角形的性质即可求解即可判断D【详解】解：四边形ABCD是正方形，C=90，ABCD，由折叠的性质得：FPFC，PFBBFC，FPB=C90，CDAB，CFBABF，ABFPFB，QFQB，故B选项不符合题意；E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，CD=BC，ABE=C=90，CFBE，在ABE和BCF中， ，ABEBCF（SAS），BAECBF，又BAE+BEA90，CBF+BEA90，BGE90，AEBF，故A选项不符合题意；令PFk（k0），则PB2k，在RtBPQ中，设QBx，x2（xk）2+4k2，x，cosBQP，故C选项符合题意；BGEBCF，GB
9、ECBF，BGEBCF，BEBC，BFBC，BE：BF1：，BGE的面积：BCF的面积1：5，S四边形ECFG4SBGE，故D选项不符合题意故选C【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解3、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义4、A【分析】根据坡度为0.5，即可求出相邻两棵树的垂直
10、距离为2m，根据勾股定理即可求出相邻两树间的坡面距离【详解】解：坡度i= ，相邻两棵树的垂直距离为40.5=2m，相邻两树间的坡面距离约为故选：A【点睛】本题考查了坡度的定义，解直角三角形的应用，熟知坡度的定义“坡度=垂直距离：水平距离”是解题关键5、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出AOB=60AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OGAB，可得OG平分AOB，得出AOC=，根据锐角三角函数求解即可【详解】解：如图连结OA，OB，OG，六边形ABCDEF为圆外切正六边形，AOB=3606=60，AOB为等边三角形，点G为切点，OGAB，OG平分
11、AOB，AOC=，cos30=，故选择B【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键6、A【分析】直接用勾股定理求出水平距离为12，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可【详解】解：由勾股定理得，水平距离，斜坡的坡度：，故选A【点睛】本题主要考查了坡度和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义7、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直
12、角三角形中，是解题的关键8、C【分析】根据勾股定理求出AB，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断【详解】解：在RtABC中，C90，BC1，根据勾股定理AB=，cosA=，选项A不正确；sinA，选项B不正确；tanA，选项C正确；cosB，选项D不正确故选：C【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键9、D【分析】根据题意画出图形，求出AB的值，进而利用锐角三角函数关系求出即可【详解】解：如图，在RtABC中，C90，BC3，AC4，cosB故选：D【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟知余弦函数的定义是解题关键10、D【分析】由AFECFD90得
13、，根据折叠的定义可以得到CBCF，则，即可求出的值，继而可得出答案【详解】AFECFD90，由折叠可知，CBCF，矩形ABCD中，ABCD，故选：D【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CBCF二、填空题1、#【解析】【分析】如图，连接交于 则 先证明 把绕顺时针旋转得到 证明 可得三点共线，在上运动，过作于 则重合时，最短，再求解 从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于 则 是等边三角形， 正方形 把绕顺时针旋转得到 则 三点共线， 在上运动，过作于 则重合时，最短， 是等边三角形，记交于 所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相
14、似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.2、【解析】【分析】如图，过作于 过作于 作于 证明四边形为矩形，再求解 证明 设 则 再表示 利用列方程，再解方程可得答案.【详解】解：如图，过作于 过作于 作于 四边形为矩形， 设 则 由 同理： 解得： 故答案为：【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的运用“锐角三角函数建立方程”是解本题的关键.3、【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出B和A的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出ACB和扇形ACD、扇形BDE的面积，最后求出答案即
15、可【详解】解：ACB90，AC2，BC2，由勾股定理得：AB=4，B30，A60，由题意，AC=AD=2，则BD=AB-AD=2，阴影部分的面积SSABCS扇形ACDS扇形BDE，故答案为：【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键4、【解析】【分析】由四边形ABCD是正方形，可得GADADO45，又由折叠的性质，可求得ADG的度数，从而求得AGD；利用GAD与ADG度数求得AED度数可得；证AEGFEG得AGFG，由FGOG即可得；由折叠的性质与平行线的性质，易得AEG是等腰三角形，由AEFE、AGFG即可
16、得证；设OFa，先求得EFG45，从而知BFEFGFOF；由SOGF1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论【详解】解：四边形ABCD是正方形，GADADO45，由折叠的性质可得：ADGADO22.5，AGD180GADADG112.5，故错误AED180EADADE67.5，tanAED1，则2tanAED2，故错误；由折叠的性质可得：AEEF，EFDEAD90，在AEG和FEG中，AEGFEG（SAS），AGFG，在RtGOF中，AGFGGO，SAGDSOGD，故错误；AGEGADADG67.5AED，AEAG，又AEFE、AGFG，AEEFGFAG，四边形
17、AEFG是菱形，故正确；设OFa，四边形AEFG是菱形，且AED67.5，FEGFGE67.5，EFG45，又EFO90，GFO45，GFEFa，EFO90，EBF45，BFEFGFa，即BFOF，故正确；SOGF1，OG21，即a21，则a22，BFEFa，且BFE90，BE2a，又AEEFa，ABAEBE2aa（2）a，则正方形ABCD的面积是（2）2a2（64）2128，故正确；故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用5、【解析】【分析】如图，连接A
18、D，PA，PD，OD首先证明PA=PB，再根据PD+PB=PD+PAAD，求出AD即可解决问题【详解】解：如图，连接AD，PA，PD，ODOCAB，OA=OB，PA=PB，COB=90，DOB=90=60，OD=OB，OBD是等边三角形，ABD=60AB是直径，ADB=90，AD=ABsinABD=2，PB+PD=PA+PDAD，PD+PB2，PD+PB的最小值为2，故答案为：2【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题三、解答题1、（1）（40+40）cm；（2）（20）cm【解析】【分析】（1）过点F作FGDE于点G，分别利用
19、三角函数求出FG和DG，然后求出CD，进而求出CE，即可求出DE，最后根据AC2DE即可求出AC；（2）作AHED延长线于H，根据AHACsin45求出AH即可【详解】解：（1）过点F作FGDE于点G，FGDFGC90，在RtDGF中，CDF30，FGFDsin303015（cm），DGFDcos303015（cm），在RtCGF中，DCF45，CGFG15（cm），CDCG+DG15+15（cm），CE：CD1：3，CECD（15+15）5+5（cm），DEEC+CD5+5+15+1520+20（cm），DEBCAB，ACAB+BC2DE2（20+20）40+40（cm），即AC的长度为（4
20、0+40）cm（2）作AHED延长线于H，在RtAHC中，ACH45，AHACsin45（40+40）20+20（cm），故答案为：（20）【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，一般步骤为（1）弄清题中的名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型（2）将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形（3）寻找直角三角形，并解这个三角形2、（1）1；（2）【解析】【分析】（1）利用二次根式性质，负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果；（2）利用代入消
21、元法求出解即可【详解】解：（1）原式222（1）22+11；（2），由得：x2y3，把代入得：6y9y+5，解得：y2，把y2代入得：x1，则方程组的解为【点睛】本题考查了实数计算和解方程组，解题关键是熟记特殊角三角函数值，熟练运用负指数、二次根式和解二元一次方程组的方法求解3、（1）4.8；（2），；，；（3）16【解析】【分析】（1）过点B作，由已知可得，再根据菱形的性质得到，得到，得到即可得；（2）当时，可得，则，根据梯形面积表示即可；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据面积表示即可；（3）首先根据题意求得t的值，然后代入（2）中的式子计算即可；【详解】解：（1）过点B作，C，D
22、两点的坐标分别为（4，0），（0，3），四边形ABCD是菱形，则，；（2）如图，当时，依据题意可得，则，；当时，过点Q作，并反向延长交BC于点M，根据题意得，则，；（3）点P，Q同时在反比例函数的图象上，则需P，Q分别位于第二、四象限，此时，则，则，点P的横坐标为：，纵坐标为：，点P的坐标为，同理可求，点，解得：或（舍去），【点睛】此题考查了反比例函数的性质、菱形的性质、勾股定理、三角函数等知识此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用4、（1）证明见解析；（2）；（3）80【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然
23、后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形是菱形，再根据菱形的性质可得，然后设，从而可得，代入解一元二次方程可得，由此可得，最后在中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后利用勾股定理可得，设，从而可得，在中，利用勾股定理可得，最后利用平行四边形的面积公式即可得【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，在和中，；（2），平分，平行四边形是菱形，设可得，由得：，解得或（不符题意，舍去），在中，；（3）由（1）已证：，即，又，即，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，设，则，在中，即，解得，即，则平行四边形的面积为【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键5、【解析】【分析】在中求出，在中，由求出，即可得出的长【详解】于点D，为直角三角形，在中，在中，【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形，掌握直角三角形中，角所对的边是斜边的一半是解题的关键