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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）ABCD2、某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆该爆竹点
2、燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h = 20 t - 5 t2，其中t的取值范围是（ ）At0B0t2C2t4D0t43、如图，抛物线与x轴交于点，对称轴为直线结合图象分析下列结论：；一元二次方程的两根分别为，；若为方程的两个根，则且其中正确的结论有（ ）个A2B3C4D54、在平面直角坐标系xOy中，抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线为（ ）ABCD5、如图为二次函数的图象，则函数值y0时，x的取值范围是（ ）A2C2D-126、已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）ABCD7、已知抛物线的解析式为，则这条抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD8
3、、已知二次函数yx22x1图象上的三点A（1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（ ）Ay1y2y3By2y1y3Cy1y3y2Dy3y1y29、已知二次函数ya（x+1）2+b（a0）有最大值1，则b的大小为（）A1B1C0D不能确定10、抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、若二次函数在时的最小值为6，那么m的值是_2、写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式_3、如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线交抛物线于另一点，点、在线段上，分别过点、作轴的垂线
4、交抛物线于、两点，连接，若四边形是矩形，则线段的长为 _4、某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足，不考虑其他因素，销售一件该商品的最大利润为_元5、抛物线的顶点坐标是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数yx2bx的图象上（1）当m-3时求这个二次函数的顶点坐标； 若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2y1，则a的取值范围是_；（2）当mn0时，求b的取值范围2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向上平移_个单位后，所得抛物线与轴只有
5、一个公共点3、在中，P是边上任意一点，PEAB交于E，PFAC交于（1）求证：；（2）若，且边上的高，设，用含x的式子表示的面积；（3）问点P在上什么位置时，的面积最大?4、在平面直角坐标系xOy中，是抛物线上两点（1）将写成的形式；（2）若，比较，的大小，并说明理由；（3）若，直接写出m的取值范围5、已知抛物线yax2+bx+3交y轴于点A，交x轴于点B(3，0)和点C(1，0)，顶点为点M（1）请求出抛物线的解析式和顶点M的坐标；（2）如图1，点E为x轴上一动点，若AME的周长最小，请求出点E的坐标；（3）点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若BFP为等腰直角三角形，请直接写
6、出点P的坐标-参考答案-一、单选题1、C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论【详解】解：A.二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，a0，一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B.二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，a0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，B错误；C.二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，a0，b0，b0，一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误；故选C【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定
7、一次函数图象经过的象限是解题的关键2、B【分析】把该函数解析式化为顶点式，进而问题可求解【详解】解：由可知该函数的顶点坐标为，对称轴为直线t=2，由题意可知t的取值范围是0t2；故选B【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3、C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可【详解】解：抛物线开口向下，因此a0，对称轴为x=10，因此a、b异号，所以b0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c0，所以abc0，故正确；当x=2时，y=4a+2b+c0，故正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x=1因此另一个
8、交点坐标为（-1，0），所以a-b+c=0，又x=-=1，有2a+b=0，所以3a+c=0，而a0，c0，因此2a+c0，故不正确；由cx2+bx+a=0可得方程的解为和，抛物线与x轴交点（3，0），（-1，0），即方程ax2+bx+c=0的两根为x1=3，x2=-1；， 当时， 3a+c=0，c=-3a，cx2+bx+a=0的两根，x2=-1，故正确；抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点（3，0），（-1，0），且a0，因此当y=-2时，相应的x的值大于3，或者小于-1，即m-1，n3，故正确；综上所述，正确的结论有：共4个，故选：C【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a、b
9、、c的值决定抛物线的位置是正确判断的关键4、D【分析】抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用平移规律直接可得答案.【详解】解：抛物线向上平移2个单位长度得到的抛物线为 故选D【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的上下平移规律”是解本题的关键.5、D【分析】根据图象可得：处在x轴下方的部分即，即可得出自变量的取值范围【详解】解：根据图象可得：处在x轴下方的部分即，此时自变量的取值范围为：，故选：D【点睛】题目主要考查二次函数图象的基本性质及利用图象求不等式的解集，结合图象得出不等式的解集是解题关键6、D【分析】由抛物线开口向下，得到a小于0，再由对称轴在y轴左侧，得到a与b同号，可
10、得出b0，又抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可判断选项A；由x=-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B；由x=-2时对应的函数值小于0，可判断选项C；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b2a，可判断选项D【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a0，-0，b0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c0，abc0，故选项A错误；x=-1时，对应的函数值大于0，a-b+c0，故选项B错误；x=-2时对应的函数值小于0，4a-2b+c0，故选项C错误；对称轴大于-1，且小于0，0-1，即0b2a，故选项D正确，故选：D【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a0），
11、a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意x=1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否7、B【分析】利用抛物线解析式即可求得答案【详解】解：，抛物线顶点坐标为，故选：B【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在ya（xh）2k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为xh8、D【分析】由二次函数图象开口向下可得离对称轴越近的点y值越大，进而求解【详解】解：y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，抛物线开口向下，且对称轴为直线x=1，4-11-(-1)2-1，y2y1y3，故选：
12、D【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，根据二次函数图象作答，不需要求函数值9、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b即可【详解】解：二次函数ya（x+1）2+b（a0），抛物线开口向下，又最大值为1，即b1，b1故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键10、A【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可【详解】解：抛物线的顶点坐标是故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键二、填空题1、或【分析】由题意易得二次函数的对称轴为直线，则有该二次函数的最小值为4，然后由题意可分当m0时，则有y随
13、x的增大而减小，当m1时，则y随x的增大而增大，进而根据函数的性质可进行求解【详解】解：由二次函数可知对称轴为直线，当x=1时，二次函数有最小值，最小值为，二次函数在时的最小值为6，然后可分当m+11时，即m0，则有y随x的增大而减小，当x=m+1时，函数有最小值，即为，解得：（正根舍去），当m1时，则y随x的增大而增大，当x=m时，函数有最小值，即为，解得：（负根舍去），综上所示：m的值是或；故答案为或【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键2、（答案不唯一）【分析】根据题意，写出一个的解析式即可【详解】解：根据题意，故符合题意故答案为：（答案不唯一
14、）【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键3、2【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，设点横坐标为，点C（m,4），根据四边形是矩形，可证EFx轴，F、E两点纵坐标相同，根据、两点在抛物线上，得出F，E关于y轴对称，可证点C与点D关于y轴对称，得出点D的坐标为(-m，4)根据，求出点坐标为，根据函数解析式列方程，解方程即可【详解】解：把代入中得，解得，设点横坐标为，点C（m,4），四边形是矩形，EFCD即EFAB，过点A作轴的垂线交抛物线于另一点，ABx轴，EFx轴，F、E两点纵坐标相同，、两点在抛物线上，F，E关于y轴对称，点C与点D关于y
15、轴对称，点D的坐标为(-m，4)，则，点坐标为，解得（舍或故答案为：2【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，矩形性质，轴对称判定与性质，根据矩形性质得出FEx轴，利用点F的坐标特征列方程是解题关键4、2【分析】知的最大值在时取得，值为【详解】解：根据函数图像性质可知在时，最大且取值为故答案为：【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题解题的关键将二次函数化成顶点式5、【分析】利用配方法把函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可【详解】解：（x1）2+1，顶点坐标是；故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，化一般式为顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用三、解答题1、（1）
16、；或；（2）【分析】（1）将点（1，-3）代入yx2bx求出b的值，得出函数关系式，再进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；根据函数的图象，结合函数性质可得出a的取值；（2）用含有b的代数式分别表示出m，n，根据mn0分类讨论即可【详解】解：（1）当m-3时把点（1，-3）代入yx2bx，得b-4，二次函数表达式为yx2 -4x（x-2）2 -4所以顶点坐标为（2，-4）根据题意得抛物线yx2 -4x开口向上，对称轴为直线x=2，y2y1，i)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴左侧时，有；ii)当点（-1，y1），（a，y2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知；所以a的取值范围是：a
17、-1或a5故答案为：a-1或a5（2）将点（1，m），（3，n）代入yx2bx，可得m1b ，n93b当mn0时，有两种情况：若 把m1b ，n93b代入可得 此时不等式组无解若 把m1b ，n93b代入可得解得-3b-1 所以-3b-1【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的特点，能结合题意确定b的取值范围是解题的关键2、（1）；（2）1【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可【详解】（1）解： 抛物线经过点（2，1）， 解得： 该抛物线的表达式为 （2）解：抛物线的顶点为（3，
18、），若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3,0），此时满足题意【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像的平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键3、（1）见解析；（2）（3）点位于的中点时，最大【分析】（1）根据两组对边分别平行，证明四边形是平行四边形即可得证；（2）根据已知条件先求得，根据平行线可得，根据面积比等于相似比，表示出，进而根据列出代数式即可；（3）根据（2）的结论，根据二次函数的性质即可求解【详解】（1）证明：PEAB，PFAC四边形是平行四边形；（2）解：，且边上的高
19、， PEAB，四边形是平行四边形即（3）时，面积最大值为即点位于的中点时，最大【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求二次函数最值问题，根据题意分别表示出是解题的关键4、（1）；（2）；（3）或【分析】（1）利用完全平方公式可直接得出；（2）当时，确定函数解析式，将点，代入确定，然后比较大小即可；（3），代入函数解析式，令，当时，求解可得，结合函数图象可得时，m的取值范围，即为时，m的取值范围【详解】解：（1），；（2）当时，；（3）由题意可得：，令当时，解得：，结合函数图象可得：当时，或，当时，m的取值范围为：或【点睛】题目主要考查二次函数化为顶点式，函数值比较大
20、小解不等式等，理解题意，熟练运用顶点式是解题关键5、（1）y=-x2-2x+3；顶点M的坐标为（-1，4）；（2）点E（-，0）；（3）点P的坐标为（2，-5）或（1，0）【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后将点A的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；（2）作A关于x轴的对称点A（0，-3），连接MA交x轴于E，此时AME的周长最小，则根据题意即可求得E的坐标；（3）如图2，先求直线AB的解析式为：y=x+3，根据解析式表示点F的坐标为（m，m+3），分三种情况进行讨论：当PBF=90时，由F1Px轴，得P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式可
21、得结论；当BF3P=90时，如图3，点P与C重合，当BPF4=90时，如图3，点P与C重合，从而得结论【详解】解：（1）当x=0时，y=3，即A（0，3），设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，M（-1，4）；（2）如图1，作点A（0，3）关于x轴的对称点A（0，-3），连接AM交x轴于点E，则点E就是使得AME的周长最小的点，设直线AM的解析式为：y=kx+b，把A（0，-3）和M（-1，4）代入得：，解得：，
22、直线AM的解析式为：y=-7x-3，当y=0时，-7x-3=0，x=-，点E（-，0）；（3）如图2，同理求得直线AB的解析式为：y=x+3，设点F的坐标为（m，m+3），当PBF=90时，过点B作BPAB，交抛物线于点P，此时以BP为直角边的等腰直角三角形有两个，即BPF1和BPF2，OA=OB=3，AOB和AOB是等腰直角三角形，F1BC=BF1P=45，F1Px轴，P（m，-m-3），把点P的坐标代入抛物线的解析式y=-x2-2x+3中得：-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），P（2，-5）；当BF3P=90时，如图3，F3BP=45，又F3BO=45，点P与C重合，故P（1，0）；当BPF4=90时，如图3，F4BP=45，又F4BO=45，点P与C重合，故P（1，0），综上所述，点P的坐标为（2，-5）或（1，0）【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，周长最短问题，等腰直角三角形的性质和判定等知识解题的关键是注意数形结合和分类讨论思想的应用