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1、第 8 讲函数与方程【2013年高考会这样考】1考查具体函数的零点的取值范围和零点个数2利用函数零点求解参数的取值范围3利用二分法求方程的近似解【复习指导】(1)准确理解函数零点的概念，方程的根、函数与x 轴的交点，三者之间的区别与联系，能够实现彼此之间的灵活转化，并能利用特殊点的函数值， 根据零点存在性定理来判断函数零点所在的区间；(2)灵活运用函数图象，将函数零点转化为两个函数图象的交点，注重数形结合思想的应用基础梳理1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 yf(x)，我们把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点(2)几个等价关系方程 f(x)0 有实数根 ? 函数 yf
2、(x)的图象与 x 轴有交点 ? 函数 yf(x)有零点(3)函数零点的判定 (零点存在性定理 ) 如果函数 yf(x)在区间 a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数 yf(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根2二次函数 yax2bxc(a0)零点的分布根的分布 (mnp 为常数 )图象满足条件x1x2m 0b2amf m 0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1
3、页，共 11 页 - - - - - - - - - mx1x2 0b2amf m 0 x1mx2f(m)0 mx1x2n 0mb2anf m 0f n 0mx1nx2p f m 0f n 0f p 0只有一根在(m，n)之间 0mb2an或f(m) f(n) 0 3.二分法求方程的近似解(1)二分法的定义对于在区间 a， b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)， 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)给定精确度 ，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：确定区间 a，b，验证 f(a)f(
4、b)0，给定精确度 ；求区间 (a，b)的中点 c；计算 f(c)；()若 f(c)0，则 c 就是函数的零点；()若 f(a) f(c)0，则令 bc(此时零点 x0(a，c)；()若 f(c) f(b)0，则令 ac(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度 .即：若|ab| ，则得到零点近似值a(或 b)；否则重复名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - . 一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中
5、点，中值计算两边看同号去，异号算，零点落在异号间周而复始怎么办？精确度上来判断两个防范(1)函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是数不是点(2)若函数 yf(x)在闭区间 a，b上的图象是连续不间断的， 并且在区间端点的函数值符号相反，即 f(a)f(b)0，满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点如图，f(a) f(b)0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个所以说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函
6、数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性 )才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点双基自测1(2011 福建)若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ()A(1,1) B(2,2) C(， 2)(2， ) D(， 1)(1， ) 解析由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：判别式 0，即 m24名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
7、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 0，解得 m2 或 m2，故选 C. 答案C 2若函数 yf(x)在 R 上递增，则函数yf(x)的零点 ()A至少有一个B至多有一个C有且只有一个D可能有无数个答案B 3如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是()ABCD答案B 4(2011 新课标全国 )在下列区间中，函数f(x)ex4x3 的零点所在的区间为()A. 14，0B. 0，14C.14，12D.12，34解析因为 f14e144143e1420，f12e124123e1210，所
8、以 f(x)ex4x3 的零点所在的区间为14，12. 答案C 5(人教 A 版教材习题改编 )已知函数 f(x)x2xa 在区间 (0,1)上有零点， 则实数 a 的取值范围是 _解析函数 f(x)x2xa 在(0,1)上递增由已知条件f(0)f(1)0，即 a(a2)0，解得 2a 0，x1x22a0，x1 x2a20，解得 a2. (2)由已知条件 0，1a0，f 3 0，解得 2a115. (3)由已知条件 f(2)2. (4)由已知条件 f(1)f(3)0 解得115a3. 检验：当 f(3)0，a115时，方程的两解为x75，x3，当 f(1)0，即 a3 时，方程的两解为x1，x
9、5，可知115a3.当 0，1a3? a2. 即 a2 时 f(x)x24x4(x2)2方程的解 x1x22 a2，综上有 a2 或115a0，其中 e 表示自然对数的底数 )(1)若 g(x)m有零点，求 m 的取值范围；(2)确定 t 的取值范围，使得g(x)f(x)0 有两个相异实根分析： (1)可结合图象也可解方程求之(2)利用图象求解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 审题视点 画出函数图象，利用数形结合
10、法求函数范围解(1)法一g(x)xe2x2 e22e，等号成立的条件是xe. 故 g(x)的值域是 2e， )，因而只需 m2e，则 g(x)m 就有零点法二作出 g(x)xe2x的图象如图：可知若使 g(x)m 有零点，则只需 m2e. 法三解方程由 g(x)m，得 x2mxe20. 此方程有大于零的根，故m20 m24e20等价于m0m2e或m2e，故 m2e. (2)若 g(x)f(x)0 有两个相异的实根， 即 g(x)f(x)中函数 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)xe2x(x0)的图象f(x)x22ext1 (xe)2t1e2. 其对称轴为 xe，开口向下，
11、最大值为t1e2. 故当 t1e22e，即 te22e1 时，g(x)与 f(x)有两个交点，即 g(x)f(x)0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 有两个相异实根t 的取值范围是 (e22e1， )此类利用零点求参数的范围的问题，可利用方程，但有时不易甚至不可能解出，而转化为构造两函数图象求解，使得问题简单明了，这也体现了，当不是求零点， 而是利用零点的个数， 或有零点时求参数的范围， 一般采用数形结合法求解【
12、训练 3】 已知函数 f(x)ax32ax3a4 在区间 (1,1)上有一个零点(1)求实数 a 的取值范围；(2)若 a3217，用二分法求方程f(x)0 在区间 (1,1)上的根解(1)若 a0，则 f(x)4 与题意不符， a0，f(1)f(1)8(a1)(a2)0，1a2. (2)若 a3217，则 f(x)3217x36417x2817，f(1)0，f(1)0，f(0)28170，零点在 (0,1)上，又 f120，f(x)0 的根为12. 难点突破 6如何利用图象求解函数零点问题数形结合是重要的思想方法之一，也是高考考查的热点问题， 利用函数图象判断方程是否有解， 有多少个解是常见
13、常考的题型， 数形结合法是求函数零点个数的有效方法，其基本思路是把函数分成两个函数的差，分析的基本思想是分析后的函数图象比较容易做出，则函数零点个数就是两函数图象交点的个数一、判定函数零点的个数【示例】 ? (2011陕西)函数 f(x)xcos x 在0，)内()A没有零点B有且仅有一个零点C有且仅有两个零点D有无穷多个零点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 二、判断零点的范围【示例】 ? (2011山东)已知函数 f(x)logaxxb(a0，且 a1)当 2a3b4 时，函数 f(x)的零点 x0(n，n1)，nN*，则 n_. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -