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1、 3.1.1 方程的根与函数的零点设计者：数应系07 徐忠星2007211866 教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系 .本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是： “ 数形结合 ” 思想和 “ 转化 ” 思想 .本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法。学情分析：学生程度差异
2、性;中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。知识、 心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会话简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容， 学生应该有较好的基础，对于它的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有太大问题，这也为我们归纳方程的根与函数的零点的联系提供了知识基础，但是学生对其他函数的图象和性质认识不深（比如抽象函数），对于高次方程还
3、不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出方程的根与函数的零点的内在联系，跨度较大， 学生理解比较抽象。因此了解函数的零点、方程的根与函数的零点的联系应该是学生的学习的难点， 也是我们教学的重点。另外， 函数零点存在性定理的表示对学生而言是比较抽象难懂的， 故而我们在教学过程中应联系生活事例，加强师生互动， 尽可能多地给学生思考的时间，并提供不同类型的充分的二次函数让学生观察，研讨，从而真正理解教学内容。三维目标知识目标： 让学生明确 “ 方程的根 ” 与“ 函数的零点 ” 的密切联系， 学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点；技能目标： 通过
4、本节学习让学生掌握“ 由特殊到一般” 的认知规律， 在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界；情感目标： 通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“ 数学语言 ” 的严谨性， “ 数学思想方法 ” 的科学性 ,体会这些给他们带来的快乐。教学重难点重点： 理解函数的零点概念，理解并掌握方程的根与函数的零点的关系；难点： 发现并探究零点存在性定理，进一步理解掌握及应用。课时安排： 1 课时教学过程：一、导入新课 ( 直接导入 ) 教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。 1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函
5、数的图象：方程2230 xx与函数223yxx；精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 方程2210 xx与函数221yxx；方程2230 xx与函数223yxx；教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x轴交点坐标的关系。容易知道，中方程的两个根为121;3xx，函数图象与x 轴有两个交点（-1,0 ） ,(3,0),中方程的两个实数根为121xx，函数图象与x 轴有一个交点 （
6、1,0 ） ，中方程无实数根，函数图象与x 轴无交点。在上面的三个例子中，我们发现：方程有根，函数图象与x 轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表）000方程12bxa，22bxa122bxxa无根函数（2ba，0）（2ba，0）（2ba， 0）无交点学生自行验证上述结论，结论成立。3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？函数 y=f(x)与 x 轴的交点在x 轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0 的根。若方程有根，则说明所求的横坐标
7、存在，即函数图象与x精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x 轴的交点横坐标相等。结论依然成立。二、构建概念由上述结论可知， 函数图象与x 轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。那么，怎样用数学语言来描述零点呢？请看课本第87 页的定义：定义（教师板书） ：对于函数y=f(x)，我们把使 f(x)= 0 的实数 x 叫做函数y=f(x)的零点。说明： 1、零点不是点
8、，而是实数；2、零点就是方程的根。我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论：方程 f(x)= 0 有根函数 y=f(x)图象与 x 轴有交点函数 y=f(x)有零点三、例题演练例 1、已知f(x)=2|23|xxa有两个零点，求实数a的取值范围。若有三个零点，四个呢？变式：判断|1|yxa的零点个数。（学生易漏掉0 个的情况）四、诱导启发 1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？（求相应方程的根，利用函数图象求交点） 2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？请同学们看课本例二。例 2、求函数 f(x)=ln26xx的零点的个数。
9、 （不易求根，不易画图）学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数223yxx的图象（之前已在黑板上画出）。我们发现223yxx在区间 -2,1上有零点，计算 f(-2) f(1)在区间 2,4上呢？可以发现， f(-2) f(1)0, 函数223yxx在区间（-2 ，1）内有零点x=-1 ，它是方程2230 xx的一个根，同样地，f(2) f(4)0，函数223yxx在区间 2,4上有零点x=3，它也是方程2230 xx的一个根。请同学们自己举例观察，看有没有同样的规律存在。教师给出零点存在性定理，在黑板上板书。如果函数y=f(x)
10、在区间 a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 fa) f(b)0，那么，函数 y=f(x)在区间（ a,b）上有零点，及存在c（a,b） ，使得fc)=0，这个 c 也就是方程f(x) =0 的根。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 五、理解归纳1、一只蚂蚁要从A点到B点，而A、B之间有一条直线，蚂蚁可以不穿过直线到达B点吗？2、将直线作为x 轴，建立适当的直角坐标系，请作一个函数图象，要求A（a，y1） 、B（b，y2）都在
11、图象上，问（a，b）上可能有几个零点？学生可以通过画图直观地认识到（a，b）上可能有零个、奇数个、偶数个、无穷多个零点。教师特别强调零个零点时，函数图像与其它图像的本质区别：函数图像不连续。在有零点个数的不确定， 可以让雪深深刻、直观地理解零点存在性定理只能判定区间上零点的存在，而不能确定零点个数。因此，对零点存在性定理做两点特别说明：1、 “连续不断”的必要性；2、 “存在性”的深层理解。六、解决疑问再请同学们看课本例2。例 2、求函数 f(x)=ln26xx的零点的个数。解：用计算机或计算器做出x，f(x)的对应值表（如课本） ，x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x)-4 -1.
12、3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.079 14.197 由表可知：函数在（2,3 ）上有零点。（零点到底有几个呢？此处可让学生先行思考一下）设其中一个零点为0 x，则有 f(x0)=0。而 f(x)=ln26xx在定义域上单调递增，因此， 0 x0 x时， f(x) 0 x时， f(x) f(x0) =0。即函数只有0 x一个零点。分析归纳： 1、零点存在性定理判断零点在某区间上是否存在零点； 2、利用函数的单调性或函数图象确定零点的个数。另一种解法：解：令 f(x)=ln26xx=0，则有ln62xx，绘图知：y x x b y A A B
13、 O x y b a o B a y x O a b A B 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - - 在（ 2,3）上方程有一个根，即函数有一个零点。七、课堂小结1、我们今天学习了函数零点的概念，并探究了方程的根与函数零点的关系；2、求函数零点的一般方法：求方程的根，函数图象； 3、研究学习了零点存在性定理并学会定理的应用； 4、在判断零点个数时可以采取的方法：单调性、函数图象； 5、进一步学习、应用了数形结合的思想、转化思想，由特殊到一般的数学方法。九、作业布置绿色通道课时作业二十一附板书设计3.1.1方程的根与函数的零点零点：零点存在性定理：例题演练例1 问题解决例2探索研究诱导启发课堂小结作业：精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -