《2022年高三数学：专题六函数与导数、不等式-第2讲-基本初等函数、函数与方程 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学：专题六函数与导数、不等式-第2讲-基本初等函数、函数与方程 .pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第 2 讲基本初等函数、函数与方程高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题. 真 题 感 悟1.(2017 全国 卷)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a() A.12B.13C.12解析f(x)(x1)2a(ex1e1x)1，令 tx1，则 g(t)f(t1)t2a(etet)1. g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数 g(t)为偶函数 . f(x)有唯一零点， g(t)也有唯一零点 . 又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g
2、(0)0，2a10，解得 a12. 答案C 2.(2018 天津卷 )已知 alog2e，bln 2，clog1213，则 a，b，c 的大小关系是 () A.abcB.bacC.cbaD.cab解析clog1213log23，alog2e，由 ylog2x 在(0，) 上是增函数，知cabln 2ab. 答案D 3.(2018 全国卷)已知函数 f(x)ex，x0，ln x，x0，g(x)f(x)xa.假设 g(x)存在 2个零点，则 a 的取值范围是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页A.1，0) B.0
3、，)C.1，) D.1，)解析函数 g(x)f(x)xa 存在 2个零点，即关于 x 的方程 f(x)xa 有 2 个不同的实根，即函数 f(x)的图象与直线 yxa 有 2 个交点，作出直线yxa 与函数 f(x)的图象，如下图，由图可知， a1，解得 a1. 答案C 4.(2017 江苏卷 )某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 _. 解 析一 年 的 总 运 费 与 总 存 储 费 用 之 和 为y 6600 x 4x3 600 x4x23 600 x 4x240，当且仅当
4、3 600 x4x，即 x30 时，y 有最小值 240. 答案30 考 点 整 合(1)am anamn；(2)(am)namn；(3)loga(MN)logaMlogaN；(4)logaMNlogaMlogaN；(5)logaMnnlogaM；(6)alogaNN；(7)logaNlogbNlogba(注：a，b0 且 a，b1 ，M0，N0). 指数函数 yax(a0， a1) 与对数函数 ylogax(a0， a1) 的图象和性质，分 0a1 两种情况，当 a1 时，两函数在定义域内都为增函数，当0a0，且 a1) 的值域为 y|y1，则函数 yloga|x|的图象大致是 () (2)
5、(2018 济南质检 )已知 a(a1) 0，假设函数 f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，且函数 g(x)4x，x12，log|a|x，x12在 R 上有最大值，则a 的取值范围为 () A. 22，12B.1，12C. 22，12D. 22，0 0，12解析(1)由于 ya|x|的值域为 y|y1，a1，则 ylogax 在(0，) 上是增函数，又函数 yloga|x|的图象关于 y轴对称 . 因此 yloga|x|的图象应大致为选项B. (2)f(x)log2(ax1)在(3，2)上为减函数，a12在R 上有最大值，则当x12时，log|a|x2，且|a|12，1 ，log
6、|a|122，|a|212，则|a|22，又 a12，22a12. 答案(1)B(2) A 探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围 . f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2 与函数 yln t 的单调性，无视 t0 的限制条件 . 【训练 1】 (1)函数 yln |x|x2的图象大致为 () (2)(2018 西安调研 )设函数 f(x)34x54，x0 时，yln xx2，则 y 1x2x，当 x0，22时，y1x2x0，yln xx2单调递增，排除 C.A 项满足 . (2)假
7、设 f(t)1，显然成立，则有t1，34t541或t1，2t1，解得 t13. 假设 f(t)0，函数 f(x)x22axa，x0，x22ax2a，x0.假设关于x 的方程 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则a 的取值范围是 _. 解析当 x0 时，由 x22axaax，得 ax2ax；当 x0 时，由x22ax2aax，得 2ax2ax.令 g(x)x2ax，x0，x2ax，x0.作出 ya(x0)，y2a(x0)，函数 g(x)的图象如下图， g(x)的最大值为a24a22a24，由图象可知，假设 f(x)ax 恰有 2 个互异的实数解，则aa242a，解得 4a0)的交点个数问题
8、： 常见的错误是误认为 y2a，ya 是两条直线，无视x 的限制条件 . 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解. 【训练 3】 (2018 湖北七校联考 )已知 f(x)是奇函数且是R 上的单调函数，假设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页函数 yf(2x21)f( x)只有一个零点，则实数 的值是 _. 解析令 yf(2x21)f( x)0，则 f(2x21)f( x)f(x )，因为 f(x)是 R 上的单调函数，所以2x21x
9、 ，只有一个实根，即 2x2x1 0 只有一个实根，则 18(1 )0，解得 78. 答案78热点三函数的实际应用【例 3】 C(单位： 万元 )与隔热层厚度 x(单位： cm)满足关系：C(x)k3x5(0 x10，k 为常数 )，假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消消耗用之和 . (1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小？并求最小值 . 解(1)当 x0 时，C8，k40，C(x)403x5(0 x10)，f(x)6x20 403x56x8003x5(0 x10). (2)由(1)得 f(
10、x)2(3x5)8003x510. 令 3x5t，t5，35，则 y2t800t1022t800t1070(当且仅当 2t800t，即 t20 时等号成立)，此时 x5，因此 f(x)的最小值为 70. 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f(x)到达最小，最小值为70 万元. 探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题. (2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系， 建立相应的函数模型， 最终求解数学模型使实际问题获解 . 精选
11、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页【训练 4】 (2018 大连质检 )某海上油田 A 到海岸线 (近似直线 )的垂直距离为10海里，垂足为 B，海岸线上距离 B 处 100海里有一原油厂 C，现计划在 BC 之间建一石油管道中转站M.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田 A 处到原油厂 C 修建管道的费用最低，则中转站M 到 B 处的距离应为() 2海里B.522海里C.5 海里解析设中转站 M 到 B 处的距离为 x 海里， 修造管道的费用为 y，陆地上单位长度修建管道的费用为a，依题意，
12、y a(3x2102 100 x) ， 0 x100 ， 则y 312 2xx21001a 3xx21001a.令 y 0，得 3xx2100，解得 x5 22.当 x5 22时，y 取得最小值 . 答案B a(a0，且 a1) 的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约. 2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“ 点” ，而是函数图象与 x 轴交点的横坐标. (2)零点存在性定理注意两点：满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)别离参数后转化为求
13、函数的值域(最值)问题求解 . (3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法. (3)构建 f(x)xax(a0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 一、选择题1.(2017 北京卷 )根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为 1080
14、.则以下各数中与MN最接近的是 () (参考数据： lg 3 0.48)33537393解析M3361，N1080，MN33611080，则 lgMNlg33611080lg 3361lg1080361lg 38093. MN1093. 答案D 2.(2018 潍坊三模 )已知 a2323， b3423， clog3423， 则 a， b， c 的大小关系是 () A.abcB.bacC.cabD.acb解析yx23在(0，) 上是增函数， ab1.由于 023ba. 答案A f(x)ln xex(e 为自然对数的底数 )的零点所在的区间是 () A.0，1eB.1e，1C.(1，e) D.(
15、e，)解析函数 f(x)ln xex在(0，) 上单调递增，因此函数f(x)最多只有一个零点. 当 x0时，f(x) ；又 f 1eln1ee1ee1e10，函数 f(x)ln xex(e为自然对数的底数 )的零点所在的区间是0，1e. 答案A 4.(2018 全国卷)设 alog0.3，blog20.3，则() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页A.abab0 B.abab0 C.ab0abD.ab0ab解析由 alog1alog0.2，由 blog21blog2，所以1a1blog0.2log2log0.4，所
16、以 01a1b1，得 00，b0，所以 ab0，所以 abab0. 答案B 5.(2018 北京燕博园联考 )已知函数 f(x)lnx1，x0，x33x，x0，假设函数 yf(x)k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是 () A.(2，2) B.(2，1) C.(0，2) D.(1，3) 解析当 x0 时，f(x)x33x，则 f(x)3x23，令f(x)0，x 1(舍去正根 )， 故 f(x)在( ， 1)上单调递增，在(1，0)上单调递减，又f(x)ln(x1)在 xf(x)图象如下图 .f(x)极大值f(1)132，且 fk(0，2)时，yf(x)k 有三个不同零点 . 答案C 二
17、、填空题6.(2018 浙江卷改编 )已知 R，函数 f(x)x4，x ，x24x3，x .假设函数 f(x)恰有 2个零点，则 的取值范围是 _. 解析令 f(x)0，当 x 时，xx 时，x24x30，则 x1 或 xf(x)恰有 2 个零点，结合如图函数的图象知，14. 答案(1，3(4，)a L 水缓慢注入空桶乙中， t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线 yaent.假设过 5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页假设再过 m min 甲桶中的水只有a4L，则 m
18、的值为 _. 解析5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，函数 yf(t)aent满足 f(5)ae5n12a，可得 n15ln12，f(t)a12t5，因此，当 k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f(k)a12k514a，即12k514，k10，由题可知 mk55. 答案5 8.(2018 广州模拟 )已知函数 f(x)ln x，x0，2x1，x0，假设方程 f(x)ax 有三个不同的实数根，则 a 的取值范围是 _. 解析在同一坐标系内，作函数yf(x)与 yax 的图象，当yax 是 yln x 的切线时， 设切点 P(x0，y0)，y0ln x0，a(ln x)|xx01x0，y0a
19、x01ln x0，x0e，故 a1e.故 yax与 yf(x)的图象有三个交点时，0a1，log25x，x1.(1)求方程 f(x)3f(2)的解集；(2)讨论函数 g(x)f(x)a(aR)的零点的个数 . 解(1)f(2)log331，当 x1 时，由 f(x)3f(2)3 得 x127，即 x26. 当 x1 时，由 f(x)3 得 5x8，即 x3. 故方程 f(x)3f(2)的解集为 3，26. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页(2)当 x1 时，f(x)log3(x1)递增，且 f(x)(log32
20、，).当 x1 时，f(x)log2(5x)递减，且 f(x)2，).由 g(x)f(x)a0 得 f(x)a，故当 a( ，log32时，g(x)的零点个数为 0；当 a(log32，2)时，g(x)的零点个数为 1；当 a2，) 时，g(x)的零点个数为 2. 10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为 vablog3Q10(其中 a，b 是实数 ).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出 a，b 的值；(2)假设这种鸟
21、类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？解(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有 ablog330100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为1 m/s，故有 ablog390101，整理得 a2b1. 解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，v1log3Q10. 所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有 v2，即1log3Q102，即 log3Q103，解得 Q270. 所以假设这种鸟类为赶路程， 飞行的速度不能低于2 m/s， 则其耗氧量至少要270个单位 . 11.(2018 江苏卷选
22、编 )记 f(x)，g(x)分别为函数 f(x)，g(xx0R，满足 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个 “ S点”.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页(1)证明：函数 f(x)x 与 g(x)x22x2 不存在 “ S点” ；(2)假设函数 f(x)ax21 与 g(x)ln x 存在“ S点” ，求实数 a 的值. (1)证明函数 f(x)x，g(x)x22x2，则 f(x)1，g(x)2x2. 由 f(x)g(x)且 f(x)g(x)，得xx22x2，
23、12x2，此方程组无解，因此， f(x)与 g(x)不存在 “ S点”.(2)解函数 f(x)ax21，g(x)ln x，则 f(x)2ax，g(x)1x. 设 x0为 f(x)与 g(x)的“ S点” ，由 f(x0)g(x0)且 f(x0)g(x0)，得ax201ln x0，2ax01x0，即ax201ln x0，2ax201，(*) 得 ln x012，即 x0e12，则 a12 e122e2. 当 ae2时，x0e12满足方程组 (*)，即 x0为 f(x)与 g(x)的“ S点”.因此， a 的值为e2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页