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1、寒假课程高一数学1 第六讲函数与方程一、课标解读：1.了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；2.能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；3.根据具体的函数图象，能够用二分法求相应方程的近似解；4.体会函数与方程的内在联系，初步建立用函数方程思想解决问题的思维方式二、知识梳理：方程的根与函数的零点1.函数零点的概念：对于函数yfxxD 把使0fx成立的实数x叫做函 yfxxD 的零点 . 2.函数零点的意义：函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标. 即方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图
2、象与x轴有交点函数)(xfy有零点3.二次函数的零点：二次函数)0(2acbxaxy0时，方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点0，方程02cbxax有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点0，方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点三、方法归纳：1、函数零点的求法：1 代数法求方程0)(xf的实数根；2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点2、对于一元二次方程根的分布问题，可以利用一元二次方程和二次函数的关系，借助图象来处理
3、. 四、课堂例题精讲：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页寒假课程高一数学21.假设函数2fxxaxb 的两个零点是2 和 3，则函数21g xbxax的零点是 _答案：12和13解析：由题意，得22220330abab，解得56ab. 2651g xxx，令0g x，很容易得到其零点为12和13. 2.求函数132)(3xxxf零点的个数为. 答案： 3 解析：因332( )2312212 (1)(1)f xxxxxxx xx2(1)(221)xxx，又22210 xx显然有两个实数根，故132)(3xxxf共三个零
4、点 . 3.已知11yx xx的图象如下列图，今考虑110.01fxx xx，则方程0fx有三个实根；当1x时，恰有一实根有一实根且仅有一实根；当10 x时，恰有一实根；当01x时，恰有一实根；当1x时，恰有一实根则正确结论的编号为. 答案：解析：22310.015.990f，10.010f，即210ff，在2, 1 内有一个实根由图中知，方程0fx在, 1 上只有一个实根，所以正确；又00.010f，由图知0fx在1,0 上没有实数根，所以不正确；又0.50.50.51.50.010.3650f，10.010f，即0.510ff，所以0fx在0.5,1 上必有一个实根，又0.500ff，0f
5、x在 0,0.5 上也有一个实根0fx在 0,1 上有两个实根，不正确；由10f且 fx 在 1,上是增函数，0fx在 1,上没有实根不正确并且由此可知也正确4.假设函数xfxaxa 0a且1a有两个零点，则实数a 的取值范围是. 答案：1a解析：设函数(0,xyaa且1a和函数yxa，则由函数xfxaxa0a且1a有两个零点，知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页寒假课程高一数学3函数(0,xyaa且1a与函数yxa有两个交点，由图象可知当10a时两函数只有一个交点，不符合，当1a时，函数(1)xyaa的图象过点0,
6、1 ，而直线yxa所过的点一定在点0,1 的上方，所以一定有两个交点. 所以实数a 的取值范围是1a.5.当关于x的方程的根满足以下条件时，求实数a的取值范围：1方程2340axxa的两根都小于1；2方程022axx至少有一个实根小于1解析： 1当0a时，0 x满足题意当0a时，设2( )34f xaxxa. 假设要方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005aaaaaafaa或或304a综上，方程的根都小于1 时，304a2设2( )2f xxax，假设方程的两个实根都小于1，则有2802 22 21223( 1)0aaaaaaf或2 23a假设方程的两个根一个大于1，
7、另一个小于1，则有( 1)30fa，3a假设方程的两个根中有一个等于1，由根与系数关系知另一根必为2，12a，3a综上，方程至少有一实根小于1时，22a6.已知二次函数2( )f xaxbxc和一次函数( )g xaxb，其中abc，且(1)0f，1求证：两函数( )f x、( )g x的图象交于不同两点A、B；2求线段AB在x轴上投影11A B长度的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页寒假课程高一数学4解析： 1(1)0fabc，abc，0a，0c由2yaxbxcyaxb得2()0axba xcb，因为2()
8、40baac，所以两函数( )f x、( )g x的图象必交于不同的两点；2设11(,)A xy，22(,)B xy，则211|A B2212()(2)4cxxa0abc，abc，122ca，11|A B23，32 7.关于 x 的二次方程2110 xmx在区间0,2 上有解，求实数m 的取值范围解析：设211fxxmx，0,2x，假设0fx在区间0,2 上有一解，010f，则应有20f，又222121fm，解得32m. 假设0fx在区间0,2 上有两解，则0102220mf，即21403141210mmm，解得312m由可知1m. 五、课堂训练：1.已知函数2xfxexa 有零点，则a 的取
9、值范围是_答案：,2ln 22解析：设xg xe ，2h xxa ，当两条曲线相切时，函数有零点，再通过图像即可得到答案. 2.设全集为R，集合|sin(2),642Ay yxx，集合|RBa关于 x 的方程012axx的根一个在0,1 上，另一个在1,2 上 . 求RA RB. 解析：由2422xx得，512,sin(2)136626xx，即1|1 2Ayy，RA1|12y yy或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页寒假课程高一数学5又关于 x 的方程012axx的根一个在0,1 上，另一个在1,2 上，设函数1)(
10、2axxxf，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,fafaf即，522a5|22RBaaa或RARB15|2122xxxx或或3.设1x与2x分别是实系数方程20axbxc和20axbxc的一个根，且1212,0,0 xxxx，求证：方程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间 . 解析：令2( ),2af xxbxc由题意可知2211220,0axbxcaxbxc故221122,bxcaxbxcax则2222111111(),222aaaf xxbxcxaxx22222222223(),222aaaf xxbxcxaxx因为120,0,0axx12()()0f xf x，即方
11、程202axbxc有且仅有一根介于1x和2x之间 . 4.已知函数421xxfxm有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点解析：421xxfxm有且仅有一个零点，即方程22210 xxm仅有一个实根设 20 xt t，则210tmt. 当 0 时，即 m240，2m，当 m 2 时， t1；m2 时， t 1不合题意，舍去 ，2x1，解得 x0 符合题意当 0时，即 m2 或 m0 的解集是 _3.假设函数2( )4f xxxa的零点个数为3，则a_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页寒假课程高一数学64.
12、当关于x的方程的根满足以下条件时，求实数a的取值范围：1方程2270 xaxa的两个根一个大于2，另一个小于2；2方程22(4)2530 xaxaa的两根都在区间 1,3上；3方程227(13)20 xaxaa的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；5.已知 a 是实数，函数f x 2ax22x3 a.如果函数yf x在区间 1，1上有零点，求a 的取值范围参考答案：1.6m或2m2. x|32x0，即 4x22x60? 2x2x30，故解集为x|32x13. 答案： 3 解析：作出函数24yxx与函数4y的图象，发现它们恰有3个交点 . 4. 解析：1设22( )70f xxa
13、xa，其图象为开口向上的抛物线假设要其与x轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f，即24270aa，13a2设22( )(4)253f xxaxaa则方程两个根都在 1,3上等价于：222( 1)0340(3)004136224(32)0()02faafaaaaaaf01a3设22( )7(13)2f xxaxaa，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页寒假课程高一数学7则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价22220(0)0(1)0280(2)030aaffaafaa122403aaaaa或或21a或34a5.解析：当0a时，( )23f xx，显然在1 , 1上没有零点，所以0a. 令248382440aaaa， 解得372a 当372a时，yfx恰有一个零点在1,1上； 当05111aaff，即15a时，yfx在1,1上也恰有一个零点. 当yfx在1,1上有两个零点时，则208244011121010aaaaff或208244011121010aaaaff解得5a或352a.综上所求实数a的取值范围是1a或352a. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页