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1、考点3 函数的概念及性质 1.（2010陕西高考理科5）已知函数若=4，则实数=（ ）（A） （B） (C) 2 (D) 9【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性.【思路点拨】.【规范解答】选C. 因为所以2.（2010广东高考文科3）若函数f(x)=+与g(x)=的定义域均为R，则（ ）(A)f(x)与g(x)均为偶函数 (B)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(C)f(x)与g(x)均为奇函数 (D)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定.【思路点拨】 因为定义域均为R，所以只需研究与的关系和与的关系即可判断.【规范解答】选D.
2、， ， 故选D.3.（2010广东高考理科3）若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则（ ）(A)f（x）与g（x）均为偶函数 (B) f（x）为偶函数，g（x）为奇函数(C)f（x）与g（x）均为奇函数 (D) f（x）为奇函数，g（x）为偶函数【命题立意】本题考查函数奇偶性的定义及判定.【思路点拨】 因为定义域均为R，所以只需研究与的关系和与的关系即可判断.【规范解答】选.,故选.4.(2010安徽高考理科4）若是上周期为5的奇函数，且满足，则（ ）(A)1(B)1(C)2(D)2【命题立意】本题主要考查函数的奇偶性、周期性，考查考生的化归转化能力.【思路点拨
3、】是上周期为5的奇函数求.【规范解答】选A.由题意,故A正确.5.（2010 海南高考理科T8）设偶函数满足，则（ ）（A） （B）（C） （D）【命题立意】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用.【思路点拨】利用函数的奇偶性画出函数的简图，然后再利用对称性和单调性列出相关不等式求解.【规范解答】选.因为函数在上为增函数，且，由偶函数的性质可知，若，需满足，得或，故选.6.（2010山东高考文科5）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)= （ ）(A) -3 (B) -1 (C) 1 (D) 3【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生
4、的推理论证能力和运算求解能力.【思路点拨】先根据奇函数的性质求出b的值，再求出，最后根据与的关系求出.【规范解答】 选A.因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选A.7.（2010山东高考理科4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=+2x+b(b为常数)，则f(-1)= （ ）(A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3【命题立意】本题考查函数的奇偶性, 考查考生的推理论证能力和运算求解能力. 【思路点拨】先根据奇函数的性质求出b的值，再求出，最后根据与的关系求出.【规范解答】 选D.因为为定义在R上的奇函数,所以有,解得,所以当时, ,即,故选D. 8
5、.（2010天津高考文科0）设函数，则的值域是（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】考查函数的图像与性质及数形结合的思想.【思路点拨】先根据特设求分段函数中各段的x的范围，再求函数的值域.【规范解答】选D.由可得，由，即时，如图，由得图像可得：当时，2，当时，所以的值域为，故选D.9. （2010湖南高考理科4）用表示a，b两数中的最小值.若函数的图象关于直线x=对称，则t的值为（ ）（A）-2 （B）2 （C）-1 （D）1【命题立意】以新定义为出发点考查学生的接受能力，以分段函数为依托，以函数图象为明线，以函数对称性为暗线，考查学生综合运用知识的能力.同时也考查了学生避繁就简快速
6、捕捉信息的能力.【思路点拨】根据题意写出分段函数，作出已知函数y=|x|的图象，再平移y=|x+t|的图象使得整个函数的图象关于直线x=-对称.【规范解答】选D.由定义得到分段函数，作出函数y=|x|在R上的图象，由于函数y=|x+t|的图象是由y=|x|的图象平行移动而得到，向右移动显然不满足条件关于x=-对称，因此向左移动，移动到两个函数的交点为(-,)，把点(-,)代入y=|x+t|得到t=0或t=1,t=0显然不成立，因此t=1.【方法技巧】一个函数有多段，或者是多个函数的图象的处理，常常先定后动，先曲后直.10.（2010陕西高考文科3）已知函数f（x）若f（f（0）4a，则实数a
7、.【命题立意】本题考查分段函数的函数值问题，考查考生思维的逻辑性.【思路点拨】.【规范解答】因为所以【答案】211.（2010江苏高考11）已知函数则满足不等式的x的取值范围是_.【命题立意】本题考查分段函数的图象、单调性以及数形结合和化归转化的思想.xy1【思路点拨】结合函数,的图象以及的条件，可以得出与之间的大小关系，进而求解x的取值范围.【规范解答】画出,的图象，O由图象可知，若，则即得.【答案】12.（2010江苏高考5）设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函数，则实数a的值为_.【命题立意】本题考查函数的奇偶性的知识.【思路点拨】奇函数奇函数=偶函数，若y=g(x)=ex
8、+ae-x为奇函数，则g(0)=0，进而求得a.【规范解答】ae-x), ae-x , ,【答案】-113.（2010天津高考文科6）设函数f(x)=x-,对任意x恒成立，则实数m的取值范围是_.【命题立意】考查函数的性质、恒成立问题以及分类讨论的思想方法.【思路点拨】将恒成立问题转化为函数的最值问题.【规范解答】，显然，（1）当m0时，因为无最大值，故此式不成立.（2）当m0时，因为的最小值为1，故，综上m的取值范围是.【答案】【方法技巧】求解恒成立问题时，可构造我们熟悉的函数类型，然后根据函数的性质解题，求解时经常要应用变量分离的方法，应用这一方法的关键是分清参数与变量.14.（2010福
9、建高考理科15）已知定义域为（0，+ ）的函数f（x）满足：（1）对任意x （0，+ ），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x （1，2时，.给出如下结论： 对任意m Z，有f()= 0; 函数f（x）的值域为0, + ); 存在n Z，使得f（）=9； “函数f（x）在区间（a,b）上单调递减”的充要条件是“存在k Z，使得（a,b）”. 其中所有正确结论的序号是 .【命题立意】本题通过抽象函数，考查函数的周期性、单调性，考查考生的综合分析、解题能力.【思路点拨】把问题转化为区间进行求解.【规范解答】对于，又，所以正确；对于，当 时， ，又，当时，的值域为，所以正确；对于，当，又当时，
10、由得，不存在使得，所以不正确；对于，（1）：因为当，当时，单调递减；（2）：（反证法）若（a,b），设k1k2，.单调递减，恒成立，但是上式不恒成立，所以这与假设矛盾，所以（a,b）；所以正确；【答案】15.（2010广东高考文科20）已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式f(x)=x(x-2).（1）求，的值；（2）写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；（3）求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.【命题立意】本题为函数综合题，主要考查函数的性质及综合应用.【规范解答】（1），且在区间0,2时，.由得，.（2）若，则， ， 当时，.若，则， ， ， 若，则
11、， ， .，当时，,当时，由二次函数的图象可知，为增函数； 当时，由二次函数的图象可知，当时，为增函数，当时，为减函数；当时，由二次函数的图象可知，当时，为减函数；当 时，为增函数；当时，由二次函数的图象可知，为增函数.（3）由（2）可知，当时，最大值和最小值必在或处取得.（可画图分析），当时，;当时，当时，.16.（2010湖南高考文科21）已知函数其中a0,且a-1.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数=，（e是自然数的底数），是否存在a，使在a,-a上为减函数？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.【命题立意】以复杂函数和分段函数为依托考查学生用导数处理问题的能力.【思路点拨】在
12、（1）中先求导，再根据导函数研究单调性.在（2）中对分段函数的分析，先对每一段进行处理，再注意分界点.【规范解答】(1) 的定义域为（0，+），.若-1a0,则当0x0；当-ax1时，1时，0,故分别在（0，-a），（1，+）上单调递增，在（-a，1）上单调递减；若a-1，仿(1)可得分别在（0，1），（-a，+）上单调递增，在（1，-a）上单调递减.(2) 存在a，使在a,-a上为减函数.事实上，设则再设xR，则当在a,-a上单调递减时，必在a,0上单调递减，所以，由于ex0，因此m(a)0，而m(a)=a2(a+2)，所以a-2，此时显然有：在a,-a 上为减函数，当且仅当在1,-a上为减
13、函数，在a,-1上为减函数且e.由(1)可知，当a-2时，在1,-a上为减函数. 又e4a2+13a+30-3a-. 不难知道， 因令=0，则x=a，或x=-2，而a-2，于是（i） 当a-2时，若ax-2，则0；若-2x1，则0，因而在(a,-2)上单调递增，在（-2，1）上单调递减.(ii)当a=-2时，0在（-2，1）上单调递减.综合（i）(ii)可知，当a-2时，在a,1上的最大值为所以，0m(-2)0a-2 . 又对，0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即=0只有当a=-2时在x=-2取得，因此，当a-2时，在a,1上为减函数.从而由知，-3a-2.综上所述，存在a，使在a,-a上为减函数，且a的取值范围是-3,-2.【方法技巧】函数的单调性研究是高考中重点也是难点.解题的思路是：首先看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间；如果是复杂函数，常常利用导数进行研究；如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理.10