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1、精品文档精品文档高三数学第二轮专题复习-平面向量一、本章知识结构：二、高考要求1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。4、了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。 5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。7、掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。 8、通过解三角形的应用的教学，继续
2、提高运用所学知识解决实际问题的能力。三、热点分析对本章内容的考查主要分以下三类：1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题. 2.以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主 . 3.向量在空间中的应用（在B 类教材中） .在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质. 在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向
3、量的基本运算。对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。考查的重点是基础知识和基本技能。四、复习建议由于本章知识分向量与解斜三角形两部分，所以应用本章知识解决的问题也分为两类：一类是根据向量的概念、定理、法则、公式对向量进行运算，并能运用向量知识解决名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 28 页
4、- - - - - - - - - 精品文档精品文档平面几何中的一些计算和证明问题；另一类是运用正、余弦定理正确地解斜三角形，并能应用解斜三角形知识解决测量不可到达的两点间的距离问题。在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段
5、，通过学习提高解决实际问题的能力。五、典型例题平面向量【例 1】在下列各命题中为真命题的是( ) 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则ab=x1y1+x2y2若 A(x1,y1)、B(x2,y2)，则AB=221221)()(yyxx若a=(x1,y1)、b=(x2,y2),则ab=0 x1x2+y1y2=0 若a=(x1,y1)、b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 A、 B、 C、 D、解： 根据向量数量积的坐标表示；若a=(x1,y1), b=(x2,y2)，则ab=x1x2+y1y2，对照命题 (1)的结论可知，它是一个假命题、于是对照选择支的结论、可以排除(A)
6、与(D) ，而在 (B) 与(C)中均含有 (3)、故不必对(3)进行判定，它一定是正确的、对命题(2)而言，它就是两点间距离公式，故它是真命题，这样就以排除了 (C)，应选择 (B) 、说明： 对于命题 (3)而言，由于ab=0a=0或b=0或abx1x2+y1y2=0，故它是一个真命题、而对于命题(4)来讲，abx1x2+y1y2=0、但反过来，当x1x2+y1y2=0 时，可以是x1=y1=0，即a=0，而我们的教科书并没有对零向量是否与其它向量垂直作出规定，因此x1x2+y1y2=0ab)，所以命题 (4)是个假命题、【例 2】已知a=(3,1), b=(1, 3)，那么a，b的夹角
7、=( ) A、30 B、60 C、120 D、150名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：ab=(3,1)(1，3)=23a=22) 1()3(=2 b=22)3(1=2 cos=baba=2232=23【例 3】已知a=(2,1), b=(1,3),若存在向量c使得：ac=4, bc=9，试求向量c的坐标、解： 设c=(x,y),则由ac=4 可得：2x+y=4；又由bc=9可得： x+3y=9
8、 于是有：9342yxyx)2()1 (由(1)+2(2) 得 7y=14,y=2,将它代入 (1)可得： x=3 c=(3,2)、说明： 已知两向量a，b可以求出它们的数量积ab，但是反过来，若已知向量a及数量积ab，却不能确定b、【例 4】求向量a=(1,2)在向量b=(2， 2)方向上的投影、解： 设向量a与b的夹角 、有 cos=baba =2222)2(221)2(221=1010a在b方向上的投影 =acos=5(1010)=22【例 5】已知 ABC 的顶点分别为A(2 ，1)，B(3，2)，C(3， 1)，BC 边上的高 AD ，求AD及点 D 的坐标、解： 设点 D 的坐标为
9、 (x,y) AD 是边 BC 上的高，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档AD BC，ADBC又 C、B、D 三点共线，BCBD又AD=(x2,y1), BC=(6,3) BD=(x3,y2) 0)3(3)2(60)1(3)2(6xyyx解方程组，得x=59,y=57点 D 的坐标为 (59，57)，AD的坐标为 (51，52) 【例 6】设向量a、b满足：ab=1，且a+b=(1，0)，求a，b
10、、解： ab=1，可设a=(cos,sin), b =(cos,sin)、a+b=(cos+cos,sin+sin)=(1,0) ，)2(0sinsin) 1(1coscos由(1)得： cos=1cos (3) 由(2)得： sin=sin (4) cos=1cos=21sin=23,sin=2323,2123,21ba或23,2123,21ba【例 7】对于向量的集合A=v=(x,y)x2+y21 中的任意两个向量1v、2v与两个非负实数、；求证：向量 1v+2v的大小不超过 +、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -
11、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档证明： 设1v=(x1,y1)，2v =(x2,y2) 根据已知条件有：x21+y211,x22+y221 又因为 1v+2v=221221)()(yyxx=)(2)()(21212222221212yyxxyxyx其中 x1x2+y1y22121yx2222yx1 所以 1v+2v222=+ =+【例 8】已知梯形ABCD中，ABCD，CDA=DAB=90 ,CD=DA=21AB 、求证： AC BC 证明： 以 A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系、如
12、图，设AD=1 则 A(0 ，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1) BC=(1,1), AC=(1,1) BCAC=11+11=0 BCAC 、【例 9】已知A(0 ，a),B(0,b),(0 ab)，在x 轴的正半轴上求点C，使ACB 最大，并求出最大值、解，设 C(x,0)(x0) 则CA=(x,a), CB=(x,b) 则CACB=x2+ab、cosACB=CBCACBCA=22222bxaxabx令 t=x2+ab 故 cosACB=11)(1)(1222tbatbaab当t1=ab21即 t=2ab时， cosACB 最大值为baab2、名师资料总结 - - -精品资料欢迎
13、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档当 C 的坐标为 (ab,0)时， ACB 最大值为 arccosbaab2、【例 10】如图，四边形ABCD 是正方形， P是对角线BD 上的一点， PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF (2)PA EF 证明： 建立如图所示坐标系，设正方形边长为1，OP= ,则 A(0，1)，P(22，22)，E(1，22)，F(22，0) PA=(22,122), EF=(221,22) (1)PA2
14、=(22)2+(122)2=22+1 EF2=(221)2+(22)2=22+1 PA2=EF2,故 PA=EF (2) PAEF=(22)(221)+(122)(22)=0 PAEFPAEF、【例 11】已知).1 ,2(),0, 1(ba求|3|ba；当 k 为何实数时 ,kab与ba3平行 , 平行时它们是同向还是反向？解：ba3= (1,0) + 3(2,1) = ( 7,3) , |3|ba= 2237=58. kab= k(1,0) (2,1)=(k 2,1). 设 kab=(ba3),即(k2,1)= (7,3), 3172k3131k . 故 k= 31时, 它们反向平行 .
15、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【例 12】已知,1| ,2|baa与b的夹角为3,若向量bka2与ba垂直, 求 k. 解：3cos|baba=2 121=1. bka2与ba垂直 , (bka2)(ba= 0, 20222bkbakbaa k = 5. 【例 13】如果 ABC 的三边 a、b、c 满足 b2+ c 2 = 5a2,BE、CF 分别为 AC 边与 AB 上的中线 , 求证：
16、BECF. 解：,0)5(81)5(81)(21)(21)(2141)(41)(21),(2122222222222222222acbBCACABBACBCABCBCACABACBCBACACBBCACABBCBACFBECACBCFBCBABE BECF, 即 BECF . 【例 14】是否存在4 个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直? 解： 如图所示，在正ABC 中， O 为其内心， P为圆周上一点，满足PA，PB，PC，PO两两不共线，有(PA+PB)(PC+PO) =(PO+OA+PO+OB)(PO+OC+PO) =(2PO+OA+OB)(2PO+OC)
17、 =(2POOC)(2PO+OC) =4PO2OC2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档=4PO2OC2=0 有(PA+PB)与(PC+PO)垂直、同理证其他情况、从而PA，PB，PC，PO满足题意、故存在这样4 个平面向量、平面向量的综合应用1利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题【例1】已知向量321,OPOPOP满足条件0321OPOPOP，1321OPOPOP，求证：
18、321PPP是正三角形解：令 O 为坐标原点，可设333222111sin,cos,sin,cos,sin,cosPPP由321OPOPOP，即332211sincossin,cossin,cos321321sinsinsincoscoscos两式平方和为11cos2121，21cos21，由此可知21的最小正角为0120，即1OP与2OP的夹角为0120，同理可得1OP与3OP的夹角为0120，2OP与3OP的夹角为0120，这说明321,PPP三点均匀分部在一个单位圆上，所以321PPP为等腰三角形 . 【例2】求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角
19、形的两直角边为x轴、y轴 建 立直 角坐 标系， 设aBaA2,0,0 ,2， 则aCaD,0,0,，从而可求：aaBDaaAC2,2, aaaaaaBDACBDAC552,2cos=545422aa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档54arccos. 2利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题【例 3】已知ABC，AD 为中线，求证2222221BCACABAD证明：以 B 为坐标原点，以
20、BC 所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系，设0,cCbaA，0,2cD，则222222402baaccbacAD，222221BCACAB. =442122222222cacbacbacba，从而2AD222221BCACAB，2222221BCACABAD. 3利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量【例 4】已知点O是，内的一点，0090BOC150AOBABC,OAcOCbOBa设且, 3, 1, 2cba试用.,cba表示和解：以 O 为原点， OC，OB 所在的直线为x轴和y轴建立如图3 所示的坐标系 . 由 OA=2 ，0120AOx，所以,31-A,120sin2,120co
21、s200，即A，易求3,0C1-0B，设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档.31-3-331-3,01-031-,OA21122121，即OCOBcba313. 【例 5】如图，的夹角为与，的夹角为与5OC,30OAOC120OB, 100OAOBOA用OBOA，表示.OC解：以O 为坐标原点，以OA 所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则0, 1A，即，所以由25235C,30sin5,
22、5cos30C30COA00023,21B同理可求23,21-0125235,OC2121，即OBOA.3353310232521-23521221，OBOAOC3353310. 4利用向量的数量积解决两直线垂直问题【例 6】如 图 ， 已 知 平 行 六 面 体ABCD A1B1C1D1的底面ABCD 是菱形，且C1CB=C1CD=BCD. (1)求证： C1CBD. (2)当1CCCD的值为多少时，能使A1C平面 C1BD？请给出证明 . (1)证明：设CD=a,CB=b,1CC=c,依题意， |a|=|b|，CD、CB、1CC中两两所成夹名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
23、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档角为 ，于是DBCDBD=ab，BDCC1=c(ab)=cacb=|c|a|cos|c|b|cos=0,C1CBD. (2)解：若使A1C平面 C1BD，只须证 A1CBD，A1CDC1，由)()(1111CCCDAACADCCA=(a+b+c)(ac)=|a|2+abbc|c|2=|a|2|c|2+|b|a|cos|b|c|cos=0,得当|a|=|c|时， A1CDC1，同理可证当 |a|=|c|时，A1C
24、BD，1CCCD=1 时，A1C平面 C1BD. 【例 7】如图，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC 中， CA=CB=1， BCA=90， AA1=2，M、N 分别是A1B1、A1A 的中点 . (1)求BN的长；(2)求 cos的值；(3)求证： A1BC1M. 解： (1)如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系Oxyz. 依题意得： B(0，1，0)，N(1，0，1) |BN|=3)01() 10()01(222. (2)解：依题意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). 1BA=1),2, 1, 1(CB=(0，1，2) 11CBBA=10+(1)1+22=3
25、 |1BA|=6)02()10()01(2225)02()01()00(|2221CB.1030563|,cos111111CBBCCBBACBBA(3)证明：依题意得：C1(0，0，2)，M(2,21,21) )2, 1 , 1(),0,21,21(11BAMC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档,00)2(21121)1(1111MCBAMCBAA1BC1M.5利用向量的数量积解决有关距离的问
26、题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离，点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离. 【例8】求平面内两点),(),(2211yxByxA间的距离公式解：设点),(),(2211yxByxA，),(1212yyxxAB212212)()(|yyxxAB ,而|ABAB点A与点B之间的距离为：212212)()(|yyxxAB6.利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题. 【例 9】证明 : sinsincoscos)cos(证明：在单位圆O上任取两点BA,，以Ox为始边，以OBOA,为 终 边 的 角 分 别 为,， 则A点 坐 标 为),sin,(cosB点坐标为)
27、sin,(cos；则向量OA),sin,(cosOB)sin,(cos，它们的夹角为，, 1|OBOAsinsincoscosOBOA,由向量夹角公式得：|)cos(OBOAOBOAsinsincoscos,从而得证 . 注：用同样的方法可证明)cos(sinsincoscos7.利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题.【例 10】证明柯西不等式2212122222121)()()(yyxxyxyx证明：令),(),(2211yxbyxa（1）当0a或0b时，02121yyxxba，结论显然成立；（2）当0a且0b时，令为ba,的夹角，则,0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
28、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档cos|2121bayyxxba. 又1|cos|baba（当且仅当ba /时等号成立）222221212121|yxyxyyxx2212122222121)()()(yyxxyxyx.（当且仅当2211yxyx时等号成立）【例11】求xxxxy22cos3cossin2sin的最值解：原函数可变为xxy2cos2sin2，所以只须求xxy2cos2sin的最值即可，构造1 , 1,2cos,2sinbxxa，
29、那么22cos2sinbabaxx. 故22,22minmaxyy. 【例12】三角形ABC 中， A(5， 1)、B(1，7)、C(1，2)，求： (1)BC 边上的中线AM 的长； (2)CAB 的平分线 AD 的长； (3)cosABC 的值 . 解： (1)点 M 的坐标为 xM=)29,0(,29227; 0211MyM.2221)291()05(|22AM5)21() 15(| ,10)71()15(|)2(2222ACABD 点分BC的比为 2. xD=31121227,3121121Dy.2314)3111()315(|22AD(3)ABC 是BA与BC的夹角，而BA=(6，8
30、），BC=(2， 5）. 1452629291052) 5(2)8(6)5()8(26|cos2222BCBABCBAABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解斜三角形【例1】已知ABC的三个内角A、B、C满足A+C=2B.BCAcos2cos1cos1，求 cos2CA的值 . 解法一：由题设条件知B=60，A+C=120. 设=2CA，则 AC=2，可得 A=60+，C=60 ，,43cos
31、cossin43cos41cossin23cos211sin23cos211)60cos(1)60cos(1cos1cos1222CA所以依题设条件有,cos243coscos2B.2243coscos,21cos2B整理得 42cos2+2cos32=0(M) (2cos2)(22cos+3)=0，22cos+30，2cos2=0.从而得 cos222CA. 解法二：由题设条件知B=60，A+C=12022cos1cos1,2260cos2CA，把式化为cosA+cosC=22cosAcosC，利用和差化积及积化和差公式，式可化为)cos()cos(22cos2cos2CACACACA，将
32、cos2CA=cos60=21，cos(A+C)= 21代入式得：)cos(2222cosCACA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档将 cos(AC)=2cos2(2CA)1 代入： 42cos2(2CA)+2cos2CA 32=0，(*) ，.222cos:,022cos2,032cos22, 0)32cos22)(222cos2(CACACACACA从而得【例2】在海岛 A 上有一座海拔1
33、千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11 时，测得一轮船在岛北30东，俯角为60的 B 处，到11 时 10 分又测得该船在岛北60西、俯角为30的 C 处。(1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？解： (1)在 RtPAB 中， APB=60 PA=1， AB=3 (千米 ) 在 RtPAC 中， APC=30， AC=33 (千米 ) 在 ACB 中， CAB=30+60=90)/(30261330330)3()33(2222时千米ABACBC(2)DAC=90 60=30sinDCA=sin(180 ACB)=s
34、inACB=101033303BCABsinCDA=sin(ACB30)=sin ACBcos30 cosACBsin3010103. 2010)133()10103(121232在 ACD 中，据正弦定理得CDAACDCAADsinsin，13392010)133(1010333sinsinCDADCAACAD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档答：此时船距岛A 为1339千米 . 【例3】已知
35、 ABC 的三内角A、B、C 满足A+C=2B，设x=cos2CA，f(x)=cosB(CAcos1cos1). (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域. 解： (1)A+C=2B， B=60，A+C=120,3421221)cos()cos(2cos2cos2coscoscoscos21)(22xxxxCACACACACACAxf0 |2CA|60， x=cos2CA(21，1又 4x2 30， x23，定义域为 (21，23)(23，1. (2)设 x1x2， f(x2)f(x1)=342342211222xxxx=)34)(34(
36、)34)(222212121xxxxxx，若x1，x2(23,21)，则4x1230，4x2230，4x1x2+30，x1x20， f(x2)f(x1)0 即 f(x2)f(x1)，若 x1，x2(23，1，则 4x1230. 4x22 30，4x1x2+30，x1x20，f(x2) f(x1) 0. 即 f(x2)f(x1)，f(x)在(21,23)和 (23，1上都是减函数 . (3)由(2)知， f(x)f(21)=21或 f(x)f(1)=2. 故 f(x)的值域为 (，21)2，+). 【例4】在ABC中 ， 角CBA、所 对 的 边 分 别 为cba、 若Cacb6 0c o s2
37、，求角A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解：由正弦定理，将已知等式中的边转化为角可得CACB60cossin2sinsin. 因为CBA，故有CACACCAsinsin3cossinsinsin，CACCAsinsin3sinsincos. 又0sinC, 1sin3cosAA, 即216sin A，由A0，可解得32A【例5】在ABC中，已知CBACy2coscoscos2. （1）若任意交
38、换CBA,的位置，y的值是否会发生变化?试证明你的结论；（2）求y的最大值 . 解：（ 1）CBACy2coscoscos2CBABA2coscoscos2CBA2cos2cos2cos212CBA222cos1cos21cos2212CBA222coscoscos3CBA222sinsinsin， 任意交换CBA,的位置，y的值不会发生变化（2）解法 1：将y看作是关于Ccos的二次函数 . CBACy2coscoscos22cos41cos21cos22BABAC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
39、理 - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档所以，当BACcos21cos，且BA2cos取到最大值1 时，也即3CBA时，y取得最大值49解法 2：用调整的方法, 也即对于每个固定的C的值，去调整BA,，求出y取得最大值时BA,所满足的条件对于CBACy2coscoscos2，如果固定C，则可将y看作是关于BAcos的一次或常数函数为了讨论其最大值，显然应该考虑Ccos的符号，并由此展开讨论若0cosC，则2BA，所以，0cosBA，所以，CCCyCCCCCCCCCBACCBAy,2,2cos22coscos2coscos2
40、cos2cos2coscoscos2,22222所以，只需考虑0cosC的情形此时y是关于BAcos的常数函数或单调递增的一次函数，因此，最大值必可在1cosBA（即2 CBA）时取得所以，CBACy2coscoscos2494921coscoscos222CCC，等号当且仅当3CBA时取得六、专题练习【平面向量练习】一、选择题：1、下列各式中正确的是（ C ）（1）(a) b=(a b)=a (b), （2）|ab|=|a|b|, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1
41、8 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档（3）(a b) c=a (b c), （4）(a+b) c= ac+bcA（ 1）（ 3）B（2）（4）C（ 1）（ 4）D以上都不对. 2、在 ABC 中,若(CA+CB)(CACB)=0,则ABC 为（ C ）A正三角形B直角三角形C等腰三角形D无法确定3、若 |a|=|b|=|ab|,则 b 与 a+b 的夹角为（A ）A30B60C150D1204、已知 |a|=1,|b|=2 ,且(ab)和 a 垂直,则 a 与 b 的夹角为（ D ）A60B30C135D455、若ABBC + 2AB= 0,则ABC 为（
42、 A ）A直角三角形B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形6、设 |a|= 4,|b|= 3, 夹角为 60, 则|a+b|等于（ C ）A37 B13 C37D137、己知 |a|=1,|b|=2, a 与 b 的夹角为600,c =3a+b, d =ab ,若cd,则实数 的值为（ C ）A74B75C47D578、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（ D ）(ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b 不与 c垂直(3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2其中真命题是（）ABCD二、填空题：9、已知 e是单位向量 ,求满足 ae
43、且 ae=18 的向量 a=_.18e10、设 a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则 m=_.2 11、 |a|=5, |b|=3,|ab|=7,则 a、b 的夹角为 _. 12012、 a 与 d=b2|)(abaa关系为 _. ab三、解答题：13、已知 | a|=4,|b|=5,|a+b|=21 ,求：ab ；(2ab) (a+3b) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - -
44、精品文档精品文档解： |a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2，222|2ababa b=102251621. （ 2ab）（ a+3b）=2a2+5ab3b2=2|a|2+5ab3|b|2=2 42+5（ 10） 352=93. 14、四边形ABCD 中,AB= a, BC= b,CD= c, DA= d,且 ab=bc=cd=d a，判断四边形 ABCD 是什么图形？分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件，对 a+b=（ c+d），两边平方后，用ab=bc=dc代入，从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解： a+b+c
45、+d=0， a+b=（c+d），（ a+b）2=（c+d）2，即 |a|2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2，ab=cd， |a|2+|b|2=|c|2+|d|2同理： |a|2+|d|2=|b|2+|c|2，两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即 |b|=|d|，|a|=|c|. ABCD 为平行四边形 . 又 ab=bc，即 b（ ac）=0，而 a=c，b（ 2a） =0 ab，四边形 ABCD 为矩形 . 15、已知： |a|=5,|b|=4,且 a 与 b 的夹角为60,问当且仅当k 为何值时 ,向量 kab 与a+2b 垂直？解：)2()(babka04
46、260cos45)12(5,02)12(,0)2()(2222kkbabkkababka即1514k. 【平面向量的综合应用练习】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档一、选择题1.设 A、B、C、D 四点坐标依次是(1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD为( ) A.正方形B.矩形C.菱形D. 平 行 四 边形2.已知 ABC 中，AB=a，AC=b，ab0，SABC=41
47、5,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是( ) A.30B.150C.150D.30或 150二、填空题3.将二次函数y=x2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y=2x5 的图象只有一个公共点 (3，1)，则向量 a=_. 4.等腰 ABC 和等腰RtABD 有公共的底边AB，它们所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_. 三、解答题5.如图，在ABC 中，设AB=a，AC =b，AP =c,AD=a,(01),AE =b(01),试用向量 a，b表示 c. 6.正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为2a. (1)建立适当的坐标系，
48、并写出A、B、A1、C1的坐标；(2)求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 . 7.已知两点M(1，0)，N(1，0)，且点 P 使NPNMPNPMMNMP,成公差小于零的等差数列 . (1)点 P 的轨迹是什么曲线？(2)若点 P坐标为 (x0,y0),Q 为PM与PN的夹角，求tan. 8.已知 E、F、G、H 分别是空间四边形ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的.(1)用向量法证明E、F、G、H 四点共面；(2)用向量法证明：BD平面 EFGH ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -
49、 - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档(3) 设M是EG和FH的 交 点 ， 求 证 ： 对 空 间 任 一 点O ， 有)(41ODOCOBOAOM.参考答案一、 1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），AB=DC，ABDC，又线段AB与线段 DC 无公共点， ABDC 且|AB|=|DC|， ABCD 是平行四边形，又|AB|=5，AC=(5， 3）， |AC|=34， |AB| |AC, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又BC=(4，1），14+21=60,AB不垂直于BC， ABCD 也不是矩形，故选D. 答案
50、： D 2.解析：2141535sin得 sin=21,则=30或=150. 又 a b0,=150. 答案： C 二、 3.(2,0) 4.13 cm 三、 5.解：BP与BE共线，BP=mBE=m(AEAB)=m(ba), AP=AB+BP=a+m(ba)=(1m)a+mb又CP与CD共线，CP=nCD=n(ADAC)=n(ab), AP=AC+CP=b+n(ab)=na+(1n)b 由，得 (1m）a+mb=na+(1n)b. a 与 b不共线，010111mnmnnmam即解方程组得：m=11,11n代入式得c=(1 m)a+mb=11 (1)a+(1)b. 6.解： (1)以点 A