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1、01届,上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案 2021年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷考生注意:本试卷共有22道试题,满分150分一、填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分1函数的反函数2若复数z满足方程(是虚数单位),则z=3函数的最小正周期为4二项式的展开式中常数项的值为5若双曲线的一个顶点坐标为(3,0),焦距为10,则它的标准方程为6圆心在直线y=x上且与x轴相切于点(1,0)的圆的方程为7计算: 8若非零向量、满足|=|,则与所成角的大小为9在大小相同的6个球中,2个是红球,4个是白球,若从中任意选取3个,则所选
2、的3个球中至少有一个红球的概率是(结果用分数表示)10若记号“*”表示求两个实数与的算术平均数的运算,即*,则两边均含有运算符号“*”和“+”,且对于任意3个实数、都能成立的一个等式可以是11关于的函数有以下命题: (1)对任意的都是非奇非偶函数; (2)不存在使既是奇函数,又是偶函数; (3)存在使是奇函数; (4)对任意的都不是偶函数其中一个假命题的序号是因为当=时,该命题的结论不成立12甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄甲存五年期定期储蓄,年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄,年利率为2.25%,并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时,储户须交纳利息的20%作为利
3、息税若存满五年后两人同时从银行取出存款,则甲与乙所得本息之和的差为元(假定利率五年内保持不变结果精确到1分)二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分13若、为实数,则0是的()(A)充分不必要条件(C)必要不充分条件(B)充要条件(D)既非充分条件也非必要条件14若直线=1的倾斜角为,则()(A)等于0(B)等于(C)等于(D)不存在15若有平面与,且,则下列命题中的假命题()(A)过点P且垂直于
4、的直线平行于(B)过点P且垂直于的平面垂直于(C)过点P且垂直于的直线在内(D)过点P且垂直于的直线在内16若数列前8项的值各异,且对任意的都成立,则下列数列中可取遍前8项值的数列为()(A)(B)(C)(D)三、解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤17(本题满分12分)已知R为全集,A=,B=,求18(本题满分12分)已知,试用表示的值19(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分用一块钢锭浇铸一个厚度均匀,且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图),设容器的高为米,盖子边长为米(1)求关于的函数解析式; (2)设容器的容积
5、为V立方米,则当为何值时,V最大?求出V的最大值(求解本题时,不计容器的厚度)20(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分9分在长方体ABCDA1B1C1D1中,点E、F分别在BB1、DD1上,且AEA1B,AFA1D(1)求证:A1C平面AEF; (2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所成的二面角中的锐角(或直角),则在空间中有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等试根据上述定理,在AB=4,AD=3,AA1=5时,求平面AEF与平面D1B1BD所成角的大小(用反三角函数值表示)21(本题满分16分)本题共有2个小题,第1
6、小题满分9分,第2小题满分7分已知椭圆C的方程为,点的坐标满足1过点P的直线与椭圆交于A、B两点,点Q为线段AB的中点求: (1)点Q的轨迹方程; (2)点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数22(本题满分18分)本题共有2个小题,第1小题满分5分,第2小题满分13分已知是首项为2,公比为的等比数列,为它的前项和(1)用表示; (2)是否存在自然数和,使得成立2021年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题参考解答一、填空题121-324205678910等11(1),; (1),; (4),等(两个空格全填对时才能得分其中也可以写成任何整数)12219.01二、选择题13A14C15D16B三、解答
7、题17解由已知4由解得-13所以由1,解得-23所以于是,故18解因为,所以因而又,于是因此19解(1)设为正四棱锥的斜高由已知解得(2)易得因为,所以等式当且仅当,即时取得故当米时,有最大值,的最大值为立方米20证(1)因为,所以在平面上的射影为由,得同理可证因为,所以解(2)过作的垂线交因为,所以设所成的角为,则即为平面与平面所成的角由已知,计算得如图建立直角坐标系,则得点因为与所成的角为,所以,由定理知,平面与平面所成角的大小为21解(1)设点、的坐标分别为、,点的坐标为当时,设直线的斜率为,则的方程为由已知,由得,由得,由、及,得点的坐标满足方程当时,不存在,此时平行于轴,因此的中点一
8、定落在轴上,即的坐标为()显然点的坐标满足方程综上所述,的坐标满足方程设方程所表示的曲线为,则由得因为,由已知1,所以当=1时,曲线与椭圆有且只有一个交点当1时,曲线与椭圆没有交点因为(0,0)在椭圆内,又在曲线上,所以曲线在椭圆内故点的轨迹方程为(2)由解得曲线与轴交于点、由解得曲线与轴交于点、当,即点为原点时,、与重合,曲线与坐标轴只有一个交点当,且,即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时,点与重合,曲线与坐标轴有两个交点与同理,当,且1,即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时,曲线与坐标轴有两个交点与当1,且,即点在椭圆内且不在坐标轴上,曲线与坐标轴有三个交点、与22解(1)由,得N(2)要使,只要0因为4,所以,故只要因为(),所以,又,故要使成立,只能取2或3当时,因为,所以当k时,不成立,从而不成立因为,由,得,所以当时,从而不成立当时,因为,所以当时,不成立,从而不成立因为,又,所以当3时,从而不成立故不存在自然数、,使成立 3