01届 年普通高等学校春季招生考试数学试题及答案.doc

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1、2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷)数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.第卷至2页.第卷3至8页.共150分.考试时间120分钟.第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1) 集合M=1,2,3,4,5的子集个数是( )(A) 32(B) 31(C) 16(D) 15(2) 函数f (x ) = ax(a 0且a 1)对于任意的实数x,y都有( )(A) f (xy) = f (x) f (y)(B) f (xy) = f (x) + f (y)(C) f

2、 (x + y) = f (x) f (y)(D) f (x + y) = f (x) + f (y)(3) ( )(A) 0(B) 2(C) (D) (4) 函数的反函数是( )(A) y = x21 (1x0)(B) y = x21 (0x1)(C) y = 1x2 (x0)(D) y = 1x2 (0x1)(5) 极坐标系中,圆的圆心的坐标是( )(A) (B) (C) (D) (6) 设动点P在直线x = 1上,O为坐标原点. 以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰RtOPQ,则动点Q的轨迹是( )(A) 圆(B) 两条平行直线(C) 抛物线(D) 双曲线(7) 已知f (x6) = l

3、og2x,那么f (8)等于( )(A) (B) 8(C) 18(D) (8) 若A、B是锐角ABC的两个内角,则点P(cosBsinA,sinBcosA)在( )(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限(9) 如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )(A) 30(B) 45(C) 60(D) 90(10) 若实数a,b满足a + b = 2,则3a + 3b的最小值是( )(A) 18(B) 6(C) (D) (11) 右图是正方体的平面展开图.在这个正方体中, BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN与BM成60角 DM

4、与BN垂直以上四个命题中,正确命题的序号是( )(A) (B) (C) (D) (12) 根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足 (n=1,2,12)按此预测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是( )(A) 5月、6月(B) 6月、7月(C) 7月、8月(D) 8月、9月第卷二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13) 已知球内接正方体的表面积为S,那么球体积等于_(14) 椭圆x2 + 4y2 = 4长轴上一个顶点为A,以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是_(15) 已知(

5、、均为锐角),那么coscoscos的最大值等于_(16) 已知m、n是直线,、是平面,给出下列命题: 若,= m,nm,则n或n; 若,= m,= n,则mn; 若m不垂直于,则m不可能垂直于内的无数条直线; 若= m,nm;且,则n且n.其中正确的命题的序号是_ (注:把你认为正确的命题的序号都填上)三.解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)设函数,求f ( x )的单调区间,并证明f ( x )在其单调区间上的单调性.(18) (本小题满分12分)已知z7=1(zC且z1).()证明 1 + z + z2 + z3 + z

6、4 + z5 + z6 = 0;()设z的辐角为,求cos+cos2+cos4的值.(19) (本小题满分12分)已知VC是ABC所在平面的一条斜线,点N是V在平面ABC上的射影,且在ABC的高CD上.AB = a,VC与AB之间的距离为h,点MVC.()证明MDC是二面角MABC的平面角;()当MDC = CVN时,证明VC平面AMB;()若MDC =CVN =(),求四面体MABC的体积.(20)(本小题满分12分)在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,an,使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,bn,使这n+2个数成等差数列.记An = a1 a2 a

7、3an,Bn = b1 + b2 + b3 + + bn.()求数列An和Bn的通项;()当n7时,比较An和Bn的大小,并证明你的结论.(21)(本小题满分12分)某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0 x 0).过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,| AB | 2p.()求a的取值范围;()若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB面积的最大值.2001年普通高等学校春季招生考试(北京、内蒙古、安徽卷

8、)数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准说明:一本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.三解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.一选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.(1)A (2)C (3)D

9、 (4)C (5)A (6)B(7)D (8)B (9)C (10)B (11)C (12)C二填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.(13) (14) (15) (16) 三解答题(17)本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识,考查数学推理判断能力.满分12分.解:函数的定义域为(,b)(b,+).f ( x )在(,b)内是减函数,f ( x )在(b,+)内也是减函数. 4分证明f ( x )在(b,+)内是减函数.取x1,x2(b,+),且x1 0,x2x10,(x1+b)(x2+b) 0, f (x1)f (x2) 0,即f (x)在(b,+)内是减函数.

10、 9分同理可证f (x)在(,b)内是减函数. 12分(18)本小题主要考查复数的基本概念和基本运算,考查综合运用复数的知识解决问题的能力,满分12分.解:()由 z(1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6)= z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6+ z7=1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6,得 (z1)(1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6)= 0. 4分因为 z1,z10,所以 1 + z + z2 + z3 + z4 + z5 + z6= 0. 6分()因为z7= 1.可知 | z | = 1,所以

11、,而z7= 1,所以zz6 = 1,同理,由()知 z + z2 + z4 + z3 + z5 + z6= 1,即 ,所以的实部为, 8分而z的辐角为时,复数的实部为,所以. 12分(19)本小题主要考查线面关系的基本概念,考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力.满分12分.()证明:由已知,CDAB,VN平面ABC,NCD,平面ABC,VNAB.AB平面VNC. 2分又 V、M、N、D都在VNC所在的平面内,所以,DM与VN必相交,且ABDM,ABCD,MDC为二面角MABC的平面角. 4分()证明:由已知,MDC = CVN,在VNC与DMC中,NCV = MCD,又

12、VNC = 90, DMC =VNC = 90, 故有DMVC,又ABVC, 6分 VC平面AMB. 8分()解:由()、(),MDAB,MDVC,且DAB,MVC, MD = h.又 MDC =.在RtMDC中,CM = htg. 10分V四面体MABC = V三棱锥CABM. 12分(20)本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识,考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法.满分12分.解:() 1,a1,a2,a3,an,2成等比数列, a1an = a2 an1 = a3 an2 = = ak ank+1 = = 12 = 2 , , . 4分 1,b1,b2,b3,bn,2成等差数列,

13、 b1 + b2 = 1 + 2 = 3, .所以,数列An的通项,数列Bn的通项. 6分() , ,要比较An和Bn的大小,只需比较与的大小,也即比较当n 7时,2n与的大小.当n = 7时,2n = 128,得知,经验证n = 8,n = 9时,均有命题成立.猜想当n 7时有. 用数学归纳法证明. 9分()当n = 7时,已验证,命题成立.()假设n = k(k 7)时,命题成立,即,那么 ,又当k 7时,有k2 2k + 1, .这就是说,当n = k + 1时,命题成立.根据()、(),可知命题对于n 7都成立.故当n 7时,An Bn. 12分(21)本小题主要考查建立函数关系、不等

14、式的性质和解法等内容,考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:()由题意得y = 1.2(1+0.75x)1(1 + x) 1000( 1+0.6x )(0 x 1)4分整理得 y = 60x2 + 20x + 200(0 x 1). 6分()要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当即 9分解不等式得.答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足0 x 0.33. 12分(22)本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系,考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力.满分14分.解:()直线l的方程为y = x a将 y = x a代入y2 = 2px,得 x22 (a + p) x + a2 = 0. 2分设直线l与抛物线两个不同的交点坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2),则 4分又 y1 = x1a,y2 = x2a, 6分 0 0, .解得 . 8分()设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为(x3,y3),则由中点坐标公式,得, . 10分 | QM |2 = (a + pa)2+ ( p0 )2 = 2p2,又MNQ为等腰直角三角形, |QN |=|QM|= ,即NAB面积最大值为. 14分

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