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1、第一章导数及其应用1.1 变化率与导数问题中的变化率可用式子1212)()(xxxfxf表示 ,称为函数f(x)从 x1到 x2的平均变化率假设设12xxx, )()(12xfxff(这里x看作是对于x1的一个 “ 增量 ” 可用x1+x代替x2,同样)()(12xfxfyf)则平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212在前面我们解决的问题：1、求函数2)(xxf在点 2，4处的切线斜率。xxxfxfxy4)()2(，故斜率为4 2、直线运动的汽车速度V 与时间 t 的关系是12tV，求ott时的瞬时速度。ttttvttvtVooo2)()(，故斜率为4 二、知识
2、点讲解上述两个函数)(xf和)(tV中，当x(t)无限趋近于0 时，tV(xV)都无限趋近于一个常数。归纳：一般的，定义在区间a，b上的函数)(xf，)(baxo，当x无限趋近于0时，xxfxxfxyoo)()(无限趋近于一个固定的常数A， 则称)(xf在oxx处可导，并称 A 为)(xf在oxx处的导数，记作)( oxf或oxxxf|)( ，函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是: 0000()()limlimxxf xxf xfxx我们称它为函数( )yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|x xy，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
3、- - - - -第 1 页，共 15 页0000()()()limxf xxf xfxx说明： 1导数即为函数y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率20 xxx，当0 x时，0 xx，所以0000( )()()limxf xfxfxxx当点nP沿着曲线无限接近点P 即 x0 时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为曲线在点P 处的 切线 .函数 y=f(x)在 x=x0处的导数等于在该点00(,()xf x处的切线的斜率，即0000()()()limxf xxf xfxkx说明： 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出 P 点的坐标 ; 求出函数在点0 x处的变化率0
4、000()()()limxf xxf xfxkx，得到曲线在点00(,()xf x的切线的斜率；利用点斜式求切线方程. 由函数f(x)在 x=x0处求导数的过程可以看到,当时 ,0()fx是一个确定的数，那么,当 x变化时 ,便是 x 的一个函数 ,我们叫它为f(x)的导函数 .记作：( )fx或y，即:0()( )( )limxf xxf xfxyx。函数( )fx在点0 x处的导数0()fx、导函数( )fx、导数之间的区别与联系。1 函数在一点处的导数0()fx， 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的，就
5、是函数 f(x) 的导函数3函数( )f x在点0 x处的导数0()fx就是导函数( )fx在0 xx处的函数值，这也是求函数在点0 x处的导数的方法之一。1函数( )yf xc的导数根据导数定义，因为()( )0yf xxf xccxxx所以00limlim 00 xxyyx函数导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页yc0y0y表示函数yc图像图3.2-1上每一点处的切线的斜率都为0假设yc表示路程关于时间的函数，则0y可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态2函数( )yf xx的导数因为()
6、( )1yf xxf xxxxxxx所以00limlim11xxyyx函数导数yx1y1y表示函数yx图像图3.2-2上每一点处的切线的斜率都为1假设yx表示路程关于时间的函数，则1y可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运动3函数2( )yf xx的导数因为22()( )()yf xxfxxxxxxx2222()2xx xxxxxx所以00limlim(2)2xxyyxxxx函数导数2yx2yx2yx表示函数2yx图像图 3.2-3 上点( , )x y处的切线的斜率都为2x， 说明随着x的变化，切线的斜率也在变化另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，说明：当0 x时，随着x的增加
7、，函数2yx减少得越来越慢；当0 x时，随着x的增加，函数2yx增加得越来越快假设2yx表示路程关于时间的函数，则2yx可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页4函数1( )yf xx的导数因为11()( )yf xxf xxxxxxx2()1()xxxx xxxxxx所以220011limlim()xxyyxxxxx2推广：假设*( )()nyfxxnQ，则1( )nfxnx1.2 导数的计算导数的运算法则导数运算法则1( )( )( )( )f xg xfxg x
8、2( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x32( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )fxfx g xf x gxg xg xg x函数导数yc0y*( )()nyf xxnQ1nynxsinyxcosyxcosyxsinyx( )xyf xaln(0)xyaa a( )xyf xexye( )logaf xx( )lnfxx1( )fxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页复合函数的概念一般地，对于两个函数( )yf u和( )ug x，如果通过变量u，y可以表
9、示成x的函数，那么称这个函数为函数( )yf u和( )ug x的复合函数，记作( )yfg x。复合函数的导数复合函数( )yfg x的导数和函数( )yf u和( )ug x的导数间的关系为xuxyyu，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积假设( )yfg x，则( )( )( )yfg xfg xgx13 导数在研究函数中的应用在某个区间(, )a b内，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递增；如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内单调递减特别的，如果( )0fx，那么函数( )yf x在这个区间内是常函数求解函数( )yf x单调区间的
10、步骤：1确定函数( )yf x的定义域；2求导数( )yfx；3解不等式( )0fx，解集在定义域内的部分为增区间；4解不等式( )0fx，解集在定义域内的部分为减区间一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些一般地，在闭区间ba,上函数( )yfx的图像是一条连续不断的曲线，那么函数( )yf x在ba,上必有最大值与最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页“最值”与“极值”的区别和联系最值”是整体概念，是比较整
11、个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(xf的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了一般地，求函数)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(
12、xf在( , )a b内的极值；将)(xf的各极值与端点处的函数值)(af、)(bf比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(xf在ba,上的最值1.4 生活中的优化问题举例解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。 再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得以解决， 在这个过程中，导数是一个有力的工具1.5 定积分的概念回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤：分割近似代替(以直代曲 )求和取极限逼近定积分的概念一般
13、地，设函数( )f x在区间 , a b上连续，用分点0121iinaxxxxxxb将区间 , a b等分成n个小区间，每个小区间长度为xbaxn ，在每个小区间1,iixx上任取一点1,2,iin，作和式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页11()()nnniiiibaSfxfn如果x无限接近于0亦即n时，上述和式nS无限趋近于常数S，那么称该常数S为函数( )f x在区间 , a b上的 定积分 。记为：()baSfx dx，其中积分号 ，b积分上限 ，a积分下限，( )f x被积函数 ，x积分变量 ， , a
14、 b积分区间，()fx dx被积式 。说明： 1定积分( )bafx dx是一个常数，即nS无限趋近的常数Sn时记为()bafx dx，而不是nS2用定义求定积分的一般方法是：分割：n等分区间,a b；近似代替：取点1,iiixx；求和：1()niibafn；取极限：1( )limnbinaibafx dxfn3曲边图形面积：baSfx dx；变速运动路程21( )ttSv t dt；变力做功( )baWF r dr定积分的几何意义从几何上看，如果在区间,a b上函数( )fx连续且恒有()0fx， 那 么 定 积 分bafx dx表 示 由 直 线,(),0 xa xb aby和曲线( )y
15、fx所围成的曲边梯形 ( 如图中的阴影部分) 的面积，这就是定积分bafx dx的几何意义。说明： 一般情况下， 定积分( )baf x dx的几何意义是介于x轴、函数( )f x的图形以及直线,xa xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负号。分析：一般的，设被积函数( )yfx，假设( )yfx在 , a b上可取负值。考察和式12()infxxfxxf xxfxx不妨设1(),(),()0iinfxfxf x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页于是和式即为121()()iinfx
16、xfxxf xxf xxfxx( )baf x dx阴影A的面积阴影B的面积 即x轴上方面积减x轴下方的面积思考： 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1()bakdxk ba；性质 2( )( )()bbaakfx dxkf x dx k为常数定积分的线性性质 ；性质 31212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx定积分的线性性质 ；性质 4( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中定积分对积分区间的可加性(1) ( )( )baa
17、bf x dxfx dx； (2) ( )0aafx dx；说明：推广：1212( )( )( )( )( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfx推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccfx dxf x dxf x dxf x dx性质解释：PCNMBAabOyxy=1yxOba性质 1性质 4AMNBA MPCCPNBSSS曲边梯形曲边梯形曲边梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归
18、纳推理(简称归纳 ). 注:归纳推理的特点;简言之 ,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤： 部分整体，个别一般通过观察个别情况发现某些相同的性质从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题猜想类比推理的一般步骤： 特殊特殊 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即归纳推理和类比推理是常用的合情推理。演绎推理的定义一般特殊：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理；“三段论”是演绎推理的一般模式；包括观察、比较联想、类推猜想新结论精选学习
19、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页大前提 - 已知的一般原理；小前提 - 所研究的特殊情况；结论 -据一般原理，对特殊情况做出的判断2.2 直接证明与间接证明分析法和综合法直接证明：是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去， 最后到达题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理， 最后到达待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。反证法 是一种
20、间接证法 ，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否认相反的假设，到达肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设； (2)归谬； (3)结论。反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否认的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在 /不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大 (小)于；都是 /不都是； 至少有一个 /一个也没有； 至少有 n 个 /至多有 (n 一 1)个；至多有
21、一个 /至少有两个；唯一/至少有两个。归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。2.3 数学归纳法第 3 章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能
22、整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R 以后，像 x2=1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位i: (1)它的平方等于-1，即21i; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立. 2. i与 1 的关系 : i就是 1 的一个平方根，即方程x2=1 的一个根，方程x2= 1 的另一个根是i!3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义
23、： 形如( ,)abi a bR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 *3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z表示，即( ,)zabi a bR， 把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数( ,)abi a bR，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数z=a+bi 叫做 虚数 ；当 a=0 且 b 0时，z=bi 叫做 纯虚数 ；当且仅当a=b=0 时， z 就是 实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：NZQRC. 6. 两个复数相等的定义：如果
24、两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a，b，c，dR，那么 a+bi=c+dia=c， b=d几何意义： 复平面、实轴、虚轴：复数 z=a+bi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如 z=3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如 z=2+i可以由有序实数对(2，1)来确定；又因为有序实数对(a，bZ(a ，b)aoyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15
25、页b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系. 点 Z 的横坐标是a，纵坐标是b，复数 z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 ，也叫高斯平面，x 轴叫做 实轴 ，y 轴叫做 虚轴实轴 上的点都表示 实数对于 虚轴 上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数 .故除了原点外，虚轴 上的点都表示 纯虚数在复平面内的原点(0
26、，0)表示实数0，实轴上的点 (2，0)表示实数2，虚轴上的点 (0，1)表示纯虚数 i，虚轴上的点 (0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点 (2，3)表示的复数是2+3i，z=53i 对应的点(5， 3)在第三象限等等. 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数zabi一一对应复平面内的点( , )Z a b这是因为， 每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来， 复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应. 这就是复数的一种几何意义 .也就是复数的另一种表示方法，即几何表示 方法 . 复平面内的点( , )Z a b一一对应平面向量OZ3.
27、2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的加减运算复数 z1与 z2的和的定义 ：z1+z2=(a+bi)+( c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 复数 z1与 z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1. 证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R). z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i. z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=( a2+a1)+(b2+b1)i. 又 a1+a2=a2+a1，b1+
28、b2=b2+b1. z1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律. 4. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 证明：设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i， z3=a3+b3i(a1，a2， a3， b1，b2，b3R). (z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2)+( b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a
29、3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi，z2=c+di，在复平面上所对应的向量为1OZ、2OZ，即1OZ、2OZ的坐标形式为1OZ=(a，b)，2OZ=(c， d)以1OZ、2OZ为邻边作平行四边形OZ1Z
30、Z2，则对角线OZ 对应的向量是OZ，OZ= 1OZ+2OZ=( a，b)+(c，d)=( a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z=(ac)+(bd)i，所以 zz1=z2，z2+z1=z，由复数加法几何意义，以OZ为一条对角线，1OZ为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ2所表示的向量2OZ就与复数zz1的差 (ac)+(bd)i 对应 由于21OZZ Z，所以，两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 . 乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设 z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)
31、是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(acbd)+( bc+ad)i. 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成 1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3， b1， b2，b3R). z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i. 又 a1a2-b1
32、b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1. z1z2=z2z1. (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3， b1， b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i) = (a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+( b1a2a3+a1b2b3+a1
33、a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z2)z3=z1(z2z3). (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 证明：设 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3， b1， b2，b3R). z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+ b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a
34、1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i) =(a1a2-b1b2)+( b1a2+a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z
35、3. 例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解： (1-2i)(3+4i)(-2+i) (11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例 2 计算：1(3+4i) (3-4i) ； 2 1+ i)2. 解： 1(3+4i) (3-4i) =32-4i2=9-(-16)=25; (2) 1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 3.共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数 虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z的共轭复数为z。4. 复数除法定义 ： 满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) 的复数 x+y
36、i(x,y R)叫复数 a+bi 除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di) 或者dicbia5.除法运算规则：设复数 a+bi(a，bR)，除以 c+di(c，dR)，其商为x+yi(x，yR)，即(a+bi)(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i. (cxdy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知.,bcydxadycx解这个方程组，得.,2222dcadbcydcbdacx于是有 :(a+bi)(c+di)=2222dcadbcdcbdaci. 利用 (c+di)(cdi)=c2+d2.于是将dicbia的分母有理化得：原式
37、 =22()()()()()()abiabicdiacbidibcad icdicdicdicd222222()()acbdbcad iacbdbcadicdcdcd. (a+bi)(c+di)=idcadbcdcbdac2222. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页点评： 是常规方法， 是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di 与复数c di，相当于我们初中学习的23的对偶式23，它们之积为1 是有理数， 而(c+di)(c di)=c2+d2是正实数 .所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页