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1、高中数学选修 2-2 知识点总结第一章、导数1函数的平均变化率为xfxyxxfxxfxxxfxf)()()()(111212注 1：其中x是自变量的改变量，平均变化率可正，可负，可零。注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。2、导函数的概念 : 函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率是xxfxxfxyxx)()(limlim0000，则称函数)(xfy在点0 x处可导，并把这个极限叫做)(xfy在0 x处的导数，记作)(0 xf或0|xxy，即)(0 xf=xxfxxfxyxx)()(limlim0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的
2、斜率。4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数导函数(1) ycy0 (2)nyx*nN1nynx(3)xya0,1aalnxyaa(4)xyexye(5)logayx0,1,0aax1lnyxa(6)lnyx1yx(7)sinyxcosyx(8)cosyxsinyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页6、常见的导数和定积分运算公式:若 fx ， g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算( )( )( )( )f xg xfxg x积的导数运算( )( )( ) ( )( )( )
3、f xg xfx g xf x gx特别地：CfxCfx商的导数运算2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x特别地：21( )gxg xgx复合函数的导数xuxyyu微积分基本定理bafx dxF(a)-F(b) （其中Fxfx ）和差的积分运算1212( )( )( )( )bbbaaafxfx dxfx dxfx dx特别地：( )( )()bbaakf x dxkf x dx k为常数积分的区间可加性( )( )( )()bcbaacf x dxf x dxf x dxacb其中.用导数求函数单调区间的步骤: 求函数
4、f(x)的导数( )fx令( )fx0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 . 令( )fx0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间；注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。7.求可导函数 f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。(2) 求函数 f(x)的导数( )fx(3)求方程( )fx=0 的根(4) 用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/( )fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页
5、果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(xf在ba,上的最大值与最小值的步骤如下：求)(xf在ba,上的极值；将)(xf的各极值与( ),( )f af b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。注：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；9求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“ 以直代曲 ” 的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 1 abdxba1性质 5 若baxxf,0)(，则0)(badxxf推广：1212( )( )( )( )
6、( )( )bbbbmmaaaafxfxfx dxfx dxfx dxfxLL推广 :121( )( )( )( )kbccbaaccf x dxf x dxf x dxf x dxL11 定积分的取值情况 :定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. ( l )当对应的曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积12物理中常用的微积分
7、知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（ 2）力的积分为功。第二章、推理与证明知识点13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。14.归纳推理的思维过程大致如图：15.归纳推理的特点 : 实验、观察概括、推广猜测一般性结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实， 还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学
8、证明的工具。归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想， 可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。16.类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。17.类比推理的思维过程18.演绎推理的定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。19演绎推理的主要形式：三段论20.“三段论”可以表示为：大前题：M是 P小前提： S是 M 结论： S是 P。其中是大前提，它提供了一个一般
9、性的原理；是小前提，它指出了一个特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。要注意叙述的形式： 要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件 . 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。24 反证法：是指从否定的结论出发， 经过逻辑推理， 导出矛盾，
10、证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。25.反证法的一般步骤（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。观察、比较联想、类推推测新的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页26 常见的“结论词”与“反义词”原结论词反义词原结论词反义词至少有一个一个也没有对所有的 x 都成立存在 x 使不成立至多有一个至少有两个对任意 x 不成立存在 x 使成立至少有 n 个至多有 n-1 个p 或 qp 且q至多有 n 个至少
11、有 n+1 个p 且 qp 或q27.反证法的思维方法 :正难则反28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾 : （2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾29数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤(1)证明：当 n 取第一个值00nnN时命题成立；(2)假设当 n=k (kN*，且 k n0)时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立 . 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n 都正确注：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。第三章、数系的扩充和复数的概念知识点30. 复数的概念：形如a+bi 的数叫做复数，其中i 叫虚数单位，a叫实部，b叫虚部，数集|
12、 ,Cabi a bR叫做复数集。规定：abicdia=c 且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。31数集的关系：0000bZaba实数 ()复数一般虚数 ()虚数 ()纯虚数()32. 复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。33. 复平面：根据复数相等的定义， 任何一个复数biaz，都可以由一个有序实数对),(ba唯一确定。由于有序实数对),(ba与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
13、 - - -第 5 页，共 6 页x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。34. 求复数的模 ( 绝对值 ) 与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数biaz的模 ( 也叫绝对值)记作biaz或。由模的定义可知：22babiaz35. 复数的加、减法运算及几何意义复数的加、减法法则：12zabicdi与z，则12()zzacbd i。注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。复数的乘法法则：()()abicdiacbdadbc i。复数的除法法则：2222()()()()abiabi cdiacbdbcadicdicdi cdicdcd其中cdi叫做实数化因子36.共轭复数 : 两复数abiabi与互为共轭复数，当0b时，它们叫做共轭虚数。常见的运算规律(1);(2)2 ,2;zzzza zzbi2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR41424344(6),1,1;nnnnii iii i22111(7) 1;(8),112iiiiiiiiii)9(设231i是 1 的立方虚根，则012，1,332313nnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页