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1、二次函数与三角形例题精讲题型一：等腰三角形的存在性问题【例1】 （改编题）一开口向上的抛物线与x轴交于A（，0），B（m2，0）两点，记抛物线顶点为C，且ACBC若m为常数，求抛物线的解析式；设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由【例2】 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边OAB的顶点B在第一象限，顶点A在x轴的正半轴上另一等腰OCA的顶点C在第四象限，OCAC，C120现有两动点P，Q分别从A，O两点同时出发，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，点P以每秒3个单位的速度沿AOB运动，当其中一个点到达终点
2、时，另一个点也随即停止.求在运动过程中形成的OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系，并写出自变量t的取值范围；在等边OAB的边上（点A除外）存在点D，使得OCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D的坐标；如图，现有MCN60，其两边分别与OB，AB交于点M，N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M，N始终在边OB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由AQCBPOAxy图AMCBNOAxy图【例3】 (改编题)如图，已知抛物线yx 2bxc与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐
3、标为（0，1）（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上是否存在一点P，使ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由BCOAyx【例4】 如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由ABCDPQEHR题型二：直角三角形的存在性问
4、题【例5】 如图，直线yx1与抛物线yax 2bx4都经过点A（1，0）、C（3，4）（1）求抛物线的解析式；（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使PCQ是以PC为直角边的直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由xyCBAOEP 【例6】 如图，抛物线ymx 22mx3m（m0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点（1）请求出抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A、B两点的坐标；（2）经探究可知，BCM与ABC的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使BC
5、M为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；如果不存在，请说明理由MCBOAyx【例7】 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线()经过、三点求过、三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；AOxyBFC在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由；【例8】 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且求抛物线的解析式；探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； 直线交轴于点，为抛物线顶点若，求的值题型三：等腰直角三角形的问题【例9】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 2xm 23m2与
6、x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上（1）求点B的坐标；（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得EDPE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，延长QF到点M，使得FMQF，以QM为斜边，在QM
7、的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值yxO11【例10】 如图，已知直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线()经过点、.求抛物线的解析式;点是直线上的动点，过点作垂直轴于点，在轴（原点除外）上是否存在点，使为等腰直角三角形? 若存在,求出点的坐标及对应的点的坐标；若不存在，请说明理由.【例11】 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，抛物线的图象经过、两点，且与轴交于点求抛物线的函数表达式；作直线平行于轴，分别交线段、于点、问在轴上是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由MSDC模块化分级讲义体系初中数学.中考冲刺.第10讲.学生版Page 10 of 10