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1、四边形与三角形携手游中考在近几年的中考数学试题中，出现了许多四边形与三角形携手共进中考的好命题。相信你阅读了下文一定会有同感。试着读一读吧。1、三角形与平行四边形联手如图1，在平行四边形ABCD中,ABC的平分线交CD于点E,ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等，并说明理由. （08恩施自治州）分析：本题以平行四边形为条件，借助平行四边形的性质，为三角形的全等创设条件。解：AF与CE是相等的。证明：因为，四边形ABCD是平行四边形，所以， AD=CB,ADCCBA, DCBA，所以，CDFAFD, CEBABE,因为，ABC的平分线交CD于点E,ADC的平分线交AB于点F，所以
2、，CDFAFD=CEBABE=ADF=CBE,所以，ADFCBE，所以，AF=CE。2、三角形与矩形联手例2、在矩形ABCD中，AB=2，AD=（1）在边CD上找一点E，使EB平分AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F求证：点B平分线段AF；PAE能否由PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由（08年泰州市）解：（1）当E为CD中点时，EB平分AEC。解：如图2所示，因为，AD=，AB=CD=2, 线段CD的中点为E，所以，DE=1，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得：AE=2,同理可证,
3、BE=2,所以，ADEBCE，所以，AED=BEC=60，因为，DEC=180，所以，AEB=60，所以，EB平分AEC。（2）如图3所示，因为，CEBF，所以，=，所以，BF=2CE。因为，AB=2CE，所以，点B平分线段AF。能。证明：因为，CP=，CE=1，C=900 ，所以，EP=。在Rt ADE中，AE= =2，所以，AE=BF，又因为，PB=，所以，PB=PE因为，AEP=BP=900 ，所以，PASPFB。所以，PAE可以PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到。旋转度数为120。例3、如图4所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CFDE，垂足为F. （1）
4、猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论. (08年湘潭)分析:考查矩形的性质及直角三角形全等的判定.猜想AD与CF的关系,可以分析AD,CF所在的两个三角形ADE与三角形FCD的关系.由条件可归纳得:A=CFD=900,AED=FDC,DE=AB=CD,因此，可证ADEFCD,从而得到AD=CF.解：（1） （2）因为，四边形是矩形，所以，AED=FDC,DE=AB=CD,又因为，CFDE，所以，A=CFD=900, 所以，ADEFCD,所以，AD=CF.例4、如图5， 矩形ABCD中，点E是BC上一点，AEAD，DFAE于F，连结DE，求证：DFDC（08年荆州市）分析：要证明D
5、FDC，第一思路就是证明三角形DFE和三角形DEC全等，仔细观察图形并结合题目中的已知条件，发现这条思路很难行的同；为此，我们就要转换思路，因为DC=AB，所以，要证明DF=DC,就可以先证明DF=AB，而这两条线段所在的三角形分别是三角形ABE和三角形DFA,所以，只要证明这两个三角形全等就可以。而这两个三角形全等是具备条件的。证明：因为，四边形ABCD是矩形，所以，ADBC，AB=DC，ABC=90，所以，DAF=AEB，因为，DFAE，所以，DFA=ABE=90，在三角形ABE和三角形DFA中，所以，DFAABE ,所以，DF=AB，因为，DC=AB，所以，DF=DC（证毕）。例5、如图
6、6，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论（08年聊城市）（1）证明：因为，四边形是矩形，所以，OB=OD（矩形的对角线互相平分），因为，AECF(矩形的对边平行)所以，E=F，OBE=ODF，所以，BOEDOF(AAS)（2）如图7所示，当时，四边形是菱形证明：因为，四边形是矩形，所以，OA=OC,(矩形的对角线互相平分），又根据（1），知道：BOEDOF，所以，OE=OF,所以，四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）又因为，所以，四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）3、三角形
7、与正方形联手例6、如图8所示，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系： （1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形请你通过观察、测量等方法判断中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断 （2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论哪些
8、成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由（08年义乌市）（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值分析：这是一道以正方形为背景的综合性试验与探究性问题。问题中既体现实验与探究的过程性学习，同时又让学生体会题目的变化，是一道新课程理念下典型好体题。解：（1）猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系是：BG=DE；线段BG、线段DE的位置关系是：BGDE；将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形，中得到的结论仍然成立。在图（2）中证明如下因为，四边形、四边形都是正方形所以， ， 所以， 所以， （SAS）所以， 又因
9、为， 所以， 所以，所以， 。（2）将原题中正方形改为矩形（如图46），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题中得到的结论：成立，不成立 简要说明如下：因为，四边形、四边形都是矩形，且，(，)所以， ，所以， 所以，BCGDCE， 所以，又因为， 所以， 所以，所以，。 （3）因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 。 例7、（08盐城）如图9-甲，在ABC中，ACB为锐角点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图9-乙，线段CF、B
10、D之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D在线段BC的延长线上时，如图9-丙，中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果ABAC，BAC90，点D在线段BC上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值解：（1）CF与BD位置关系是：垂 直；CF与BD数量关系是：相 等；当点D在BC的延长线上时的结论仍成立由正方形ADEF得 AD=AF ，DAF=90因为，BAC=90，所以，DAF=BAC ， 所以，DAB=FAC，又因为
11、，AB=AC ，所以，DABFAC ， 所以，CF=BD ，ACF=ABD因为，BAC=90， AB=AC ，所以，ABC=45，所以，ACF=45，所以，BCF=ACB+ACF= 90，即 CFBD。（2）当BCA=45时，CFBD（如图10-丁）理由是：过点A作AGAC交BC于点G，所以， AC=AG可证：GADCAF ， 所以，ACF=AGD=45 所以，BCF=ACB+ACF= 90， 即CFBD。（3）当具备BCA=45时，CFBC。解：过点A作AQBC交BC的延长线于点Q，（如图10-戊）因为，DE与CF交于点P时， 所以，此时点D位于线段CQ上，因为，BCA=45，可求出AQ=
12、CQ=4设CD=x ，所以， DQ=4x，易证明：AQDDCP，所以， ， 所以，所以，=， 因为，0x3 ，所以，当x=2时，CP有最大值14三角形与梯形联手例8、已知：如图11，梯形中，点是的中点，的延长线与的延长线相交于点（1）求证： 和全等（2）连结，判断四边形的形状，并证明你的结论（08年巴中市）分析：要证明两个三角形全等，从已知条件中可以明确一组对应边CE和DE是相等的，所以，根据梯形的两底平行，就可以推出：FDE=BCE，DFE=CBE，这样两个三角形全等的条件就都具备了。第二问是在第一问的基础上，进行的结论推广与引伸。证明：（1）因为，四边形ABCD是梯形，ADBC，所以，FD
13、E=BCE，DFE=CBE，又因为，点是的中点，所以，CE=DE,所以，BCEFDE。（2）四边形BCFD是平行四边形。证明：根据（1）的结论知道，BCEFDE，所以，BE=FE，又因为，CE=DE，所以，四边形BCFD是平行四边形。根据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形。例9、如图12，在等腰梯形中，是的中点，求证：（08福建福州）分析：这个命题的解答，主要依靠等腰梯形的性质来完成。根据等腰梯形的两腰相等，就可以得到：BA=CD;根据等腰梯形同一底上的两个底角相等，就可以得到：D=A，再结合题目中已知条件，这样一统筹，不难发现三角形BAM与三角形CDM全等已经具备了条件。证明：因为，四边
14、形ABCD是等腰梯形，所以，BA=CD，D=A，因为，是的中点，所以，AM=DM，所以，BAMCDM，所以，MB=MC。例10、 如图13所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，AC与BD相交于点O请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明（08年广东湛江市）分析：这里问题的答案不是唯一的。因为在这个图形中一共有如下对全等三角形，所以，同学们，只要从ABCDCB, BADCDA , AOBDOC中选择任何一组，并给出证明都是可以的。下面就给出其中的一种解答。解：ABCDCB 证明：因为，在等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，所以，ABC=DCB ， 在ABC与DCB中： 所以，
15、ABCDCB。例11、已知：如图14，在梯形ABCD中，ADBC，BC=DC，CF平分BCD，DFAB，BF的延长线交DC于点E。求证：（1）BFCDFC；（2）AD=DE（08年重庆市）分析：三角形BFC和三角形DFC全等的条件非常容易找：BC=DC这是已知条件，根据条件：CF平分BCD，可以得到条件：BCF=DCF，而CF=CF是一条公共边，这样两个三角形全等的条件就已经具备了；对于问题（2）的证明需要借助辅助线来完成。证明：（1）因为，CF平分BCD，所以，BCF=DCF，因为，BC=DC，CF=CF，所以，BFCDFC；（2）如图15所示，延长DF交BC于点M，因为，BFCDFC，所以，DF=BF，MBF=EDF，因为，MFB=EFD，所以，BFMDFE，所以，DE=BM，因为，ADBC，DFAB，所以，四边形ABMD是平行四边形，所以，AD=BM，所以，AD=DE。你是否统一我的观点呢？！