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1、二次函数与相似三角形例题精讲【例1】 如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与BCD相似？若存在，请指出符合条件的点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由OABxyCD【例2】 如图，抛物线yax 2bx1与x轴交于两点A（1，0），B（1，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BDCA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；（3）在x轴下方的
2、抛物线上是否存在点M，过M作MNx轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由CABDyxO【例3】 如图，已知ABC中，ACB90，以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时，A点坐标为（1，0），B点坐标为（4，0）（1）试求点C的坐标；（2）若抛物线yax 2bxc过ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；CBOAyxE（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线yx1交（2）中的抛物线于点E，那么在x轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与ABE相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【例4
3、】 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx 2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y(xh)2k所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D（1）求h、k的值；（2）判断ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使AOM与ABC相似若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由BDACMOxy【例5】 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、
4、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）用含S的代数式表示x2x1，并求出当S36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由OMAxy
5、BCD图1OMxyD图2A1O1C1B1【例6】 如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；BOCyAx4-2【例7】 如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段AB的长为6.(1)求二次函数的解析式；(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐
6、标；如果不存在，请说明理由【例8】 如图所示，抛物线的顶点为A，其中（1）已知直线：，将直线沿轴向 （填“左”或“右”）平移 个单位（用含的代数式）后过点A； （2）设直线平移后与轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与相似，且相似比为2？若存在，求出的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由【例9】 如图，已知点和点都在抛物线上（1）求；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为，试在轴上找一个点，使得以点为顶点的三角形与相似MSDC模块化分级讲义体系初中数学.中考冲刺.第13讲.学生版Page 9 of 9