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1、第1页 共 56 页5.2平面向量的分解与坐标运算平面向量的分解与坐标运算第2页 共 56 页高效梳理高效梳理第3页 共 56 页平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示在平面直角坐标系内在平面直角坐标系内,分别取与分别取与x轴轴 y轴平行的两个单位向量轴平行的两个单位向量i j作为基底作为基底,对于平面内的一个向量对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数有且只有一对实数x,y,使得使得a=xi+yj,则有序数对则有序数对(x,y)叫做向量叫做向量a的坐标的坐标,记作记作a=(x,y),其中其中x,y分别叫做分别叫做a在在x轴轴 y轴上的坐标轴上的坐标,a=(x,y)叫做向量叫做向量a的的坐标表示
2、坐标表示,相等的向量其坐标相同相等的向量其坐标相同,坐标相同的向量是相等向坐标相同的向量是相等向量量.第4页 共 56 页平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算(1)已知点已知点A(x1,y1),B(x2,y2),则则AB=(x2-x1,y2-y1), (2)已知已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),ab(b0)的充要条件是的充要条件是x1y2-x2y1=0.(3)非零向量非零向量a=(x,y)的单位向量为的单位向量为(4)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=bx1=x2且且y1=y2.
3、()() .222121ABxxyy221,ax yaxy或第5页 共 56 页需注意的几点需注意的几点(1)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab的充要条件不能表示成的充要条件不能表示成(2)若若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则则ab的充要条件是的充要条件是a=b,这与这与x1y2-x2y1=0在本质上是没有差异的在本质上是没有差异的,只是形式上不同只是形式上不同.1122122112211221,2, 200./ /00.xyxyxyx yx yabx yx yx yx y因为有可能等于 ，所以应表示为同时，的充要条件也不能错记为：，等第6页 共 56 页 1122
4、332121313121313121,A x ,y,B x ,y,C x ,y,ABxx ,yy,ACxx ,yy,xxyyxxyy0,A B C. 三点共线的判断方法判断三点是否共线 先求每两点对应的向量 然后再按两向量共线进行判定 即已知则若则 三点共线第7页 共 56 页考点自测考点自测第8页 共 56 页1.a1,1 ,b1, 1 ,c1,2 ,c()13A.2213B.2231C.2231D.22abababab 若向量则 等于答案答案:B第9页 共 56 页:cxayb,1,2x 1,1y 1, 1xy,xy ,1,xy1,132c.xy2,322,2xaby 解析 设则第10页
5、共 56 页2.设向量设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2).若表示向量若表示向量4a 4b-2c 2(a-c) d的有向线段首尾相接能构成四边形的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量则向量d为为()A.(2,6)B.(-2,6)C.(2,-6)D.(-2,-6)答案答案:D第11页 共 56 页解析解析:由题知由题知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),由题意知由题意知:4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,则则(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+d=0,即即(2,6)+d=0,故故d=(-2,-6),选选D.第12页
6、 共 56 页3.已知四边形已知四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且且 =2 ,则顶点则顶点D的坐标为的坐标为()A.(2, )B.(2,- )C.(3,2)D.(1,3)BC AD7212第13页 共 56 页:D x,y ,ADx,y2 ,BC4,3 ,BC2AD,x2,42x,732 y2 ,y.2 解析 设则又答案答案:A第14页 共 56 页4.ba1, 2180 ,b3 5,b_.若平面向量 与向量的夹角是且则22x,yk 1, 2k0 ,:bx,y ,xy3 5,k3,b3,6 . 解析 设则由题意知解得答案答案:(-3,6)第15页
7、 共 56 页5.已知点已知点A(1,-2),若点若点A B的中点坐标为的中点坐标为(3,1)且且 与向量与向量a=(1,)共线共线,则则=_.AB:A B3,1 ,B 5,4 ,3AB4,6 ,AB a,41 60,.2 解析 由 的中点坐标为可知所以又3:2答案第16页 共 56 页题型突破题型突破第17页 共 56 页题型一题型一tixingyi平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算【例【例1】已知】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设设 =a, =b, =c,且且 =3c, =-2b.(1)求求3a+b-3c;(2)求满足求满足a=mb+nc的实数的实数m,n;(3)
8、求求M N的坐标及向量的坐标及向量 的坐标的坐标.ABCB CA CM CNMN 第18页 共 56 页解析解析:由已知得由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). 2mbnc( 6mn, 3m8n)5, 5 ,6mn5,m1,3m8n5,n1. 解得第19页 共 56 页 3O 0,0 ,CMOMOC3c,OM3cOC3,243, 40,20 .M 0,20 .CNONOC2b,ON2bOC12,63, 49,2 ,N 9,2 .MN9, 18 . 设又
9、第20页 共 56 页规律方法规律方法:利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点利用向量的坐标运算及向量的坐标与其起点 终终点坐标的关系求解点坐标的关系求解.第21页 共 56 页 1O 0,0A 1,2B 4,5OPOAtAB.1 t,Px?Py?P?2OABP?,t;,. 创新预测 已知及为何值时在 轴上在 轴上在第二象限四边形能否成为平行四边形 若能 求出相应的 值 若不能 请说明理由 : 1O 0,0 ,A 1,2 ,B 4,5 ,OA1,2 ,AB3,3 ,OPOAtAB1 3t,23t . 解析2;31;31 30,21.230,33PPtPtt 若 在x轴上，则2+3t=0,解得t
10、=-若 在y轴上，则1+3t=0,解得t=-若 在第二象限，则解得第22页 共 56 页 21,2 ,33 ,33 ,331OAPB332OABPOP OAOAPBPOOBttOABPtt 方法一：若四边形为平行四边形，则，而无解，四边形不能成为平行四边形.方法二：=+tAB ,AP=tAB, A、P、B三点共线四边形不能成为平行四边形.第23页 共 56 页题型二题型二tixinger平面向量共线的坐标运算及应用平面向量共线的坐标运算及应用【例【例2】平面内给定三个向量】平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),回答下回答下列问题列问题:(1)求满足求满足a=mb+
11、nc的实数的实数m n;(2)若若(a+kc)(2b-a),求实数求实数k;(3)若向量若向量d满足满足(d-c)(a+b),且且|d-c|=5,求求d.第24页 共 56 页 : 13,2m1,2n 4,1( m4n,2mn),mm4n3,82mn2,.9n 解析由题意得，得 2akc34k,2k ,2ba5,2 ,akc2ba ,234k52k0,16.13k 又第25页 共 56 页 2234,1 ,2,4 .x42 y 10,x4y 15,x3,x5,.y1y3d3, 15,3 .dxyab 设向量 坐标为（x,y）,则d-c=由题意知或向量 的坐标为或第26页 共 56 页规律方法规
12、律方法:(1)由两向量相等的充要条件可求得实数由两向量相等的充要条件可求得实数m n的的值值;(2)由两向量平行的充要条件列出关于由两向量平行的充要条件列出关于k的方程的方程,进而求得进而求得k的值的值;(3)由两向量平行及向量的模列方程组求解由两向量平行及向量的模列方程组求解.第27页 共 56 页创新预测创新预测2如图所示如图所示,已知点已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求求AC和和OB交点交点P的坐标的坐标. :OPtOBt 4,44t,4t ,APOPOA4t,4t4,04t4,4t ,AC2,64,02,6 . AP,AC4t464t20,t 解析 方法一 设则由共线的
13、充要条件知解得第28页 共 56 页3446420,.44 ,43,3 .3,3 .tttOPttP 解得点坐标为第29页 共 56 页P,4,4 .,440.2,6 ,2, 6 ,CA22 60.P3,3 .x yOPx y OBOP OBxyCPxyCACPxy 方法二：设则共线，又且向量、 共线，-6解组成的方程组，得x=3,y=3,点 的坐标为第30页 共 56 页题型三题型三tixingsan平面向量的坐标运算与其它知识的综合平面向量的坐标运算与其它知识的综合(,),sin,2,.2 ,.mam aabm3a22cos2bm【例 】设两个向量和其中为实数若求的取值范围2222: 2b
14、(2m,m2sin ),22m,cosm2sin ,(2m2)mcos2sin ,解析2224m9m41 sin2sin ,21 sin2sin2, 即又第31页 共 56 页224m9m42,1112,4,42222,2,2621,61 .mmmmmmm 解得又的取值范围是，第32页 共 56 页创新预测创新预测3在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,已知已知ABC的三个顶点的坐的三个顶点的坐标为标为A(2,3),B(1,-1),C(5,1),点点P在直线在直线BC上运动上运动,动点动点Q满足满足 = + + ,求点求点Q的轨迹方程的轨迹方程.PQAP BP CP :PQPAPBPC,PQP
15、APBPC,AQPBPC,PBC,AQ BC.Q x,y ,AQx2,y3 .BC4,2 ,2 x24 y30,x2y40,Q:x2y40. 解析 由得由于 在上 则设则则有整理得故点 的轨迹方程为第33页 共 56 页对接高考对接高考第34页 共 56 页1.(2008安徽安徽)若若 =(2,4), =(1,3),则则 等于等于()A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)ABCA BC :BCACAB1,32,41, 1 . 解析答案答案:B第35页 共 56 页2.(2009宁夏中卫模拟宁夏中卫模拟)已知向量已知向量a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4
16、),试试用用a b表示表示c等于等于()A.5a-3bB.2a-bC.a-2bD.2a+b:cmanb,7, 4m 3, 2n2,1(3m2n, 2mn),73m2nm142mn,n2ca2b. 解析 设则即解得答案答案:C第36页 共 56 页31 13.(2010)asinx,b,cosx ,43 2ab,x()5A.B.C.D.64312广东五校联考 设且则锐角 为31 1: asinx,b,cosx ,ab,43 213111sinxcosx0,sin2x0,24344sin2x1.x,2x,x.24解析且即又为锐角答案答案:B第37页 共 56 页4.(2010荷泽模拟荷泽模拟)已知
17、向量已知向量m=(a-2,-2),n=(-2,b-2),mn(a0,b0),则则ab的最小值是的最小值是_.:mn2 abab0,4 abab0,ab4ab0(),ab16.ab16.解析 由已知可得解得或舍去所以的最小值为答案答案:16第38页 共 56 页高效作业高效作业第39页 共 56 页一一 选择题选择题1.(2009广东广东)已知平面向量已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量则向量a+b()A.平行于平行于x轴轴B.平行于第一平行于第一 三象限的角平分线三象限的角平分线C.平行于平行于y轴轴D.平行于第二平行于第二 四象限的角平分线四象限的角平分线答案答案:C解析解
18、析:a+b=(0,1+x2),平行于平行于y轴轴.第40页 共 56 页2.(2009北京北京)已知向量已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b.如果如果cd,那么那么()A.k=1且且c与与d同向同向B.k=1且且c与与d反向反向C.k=-1且且c与与d同向同向D.k=-1且且c与与d反向反向答案答案:D第41页 共 56 页解析解析:由由cd,则存在则存在使使c=d,即即ka+b=a-b,(k-)a+(+1)b=0.又又a与与b不共线不共线,k-=0,且且+1=0.k=-1.此时此时c=-a+b=-(a-b)=-d.故故c与与d反向反向,选选D.第42页
19、共 56 页3.(2009天津联考天津联考)若若a=(2cos,1),b=(sin,1),且且ab,则则tan等等于于 ( )A.2B.C.-2D.-1212答案答案:A解析解析:ab,2cos1=sin1.tan=2.第43页 共 56 页4.(2009山东济宁第一阶段质检山东济宁第一阶段质检)已知向量已知向量a=(1,2),b=(0,1),设设u=a+kb,v=2a-b,若若uv,则实数则实数k的值为的值为()A.-1B.-C.D.11212答案答案:B解析解析:u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又又uv,13=2(2+k),得得k=-
20、.12第44页 共 56 页5.(2009湖南岳阳模拟湖南岳阳模拟)已知向量已知向量a=(-3,4),b=(3,-4),则则a与与b()A.垂直垂直B.不垂直也不平行不垂直也不平行C.平行且同向平行且同向D.平行且反向平行且反向答案答案:D解析解析:a=-b,a与与b平行且反向平行且反向,故选故选D.第45页 共 56 页6.(2010山东烟台模拟山东烟台模拟)已知已知O为原点为原点,A B是两定点是两定点, =a, =b,且点且点P关于点关于点A的对称点为的对称点为Q,点点Q关于点关于点B的对的对称点为称点为R,则则 等于等于()A.a-bB.2(a-b)C.2(b-a)D.b-aOABO
21、PR 答案答案:C第46页 共 56 页解析解析:设设 =a=(x1,y1), =b=(x2,y2),则则A(x1,y1),B(x2,y2).设设P(x,y),则由中点坐标公式可得则由中点坐标公式可得Q(2x1-x,2y1-y),R(2x2-2x1+x,2y2-2y1+y). = - =(2x2-2x1,2y2-2y1)=2(x2,y2)-2(x1,y1),即即 =2(b-a).OABO PR OR PO PR 第47页 共 56 页二二 填空题填空题7.(2009福建泉州质检福建泉州质检)已知向量已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若若ab,则实数则实数x的值等于的值等于_.1
22、:2答案解析解析:由由ab得得3(2x+1)=4(2-x),解得解得x= .12第48页 共 56 页8.(2008全国全国)设设a=(1,2),b=(2,3),若向量若向量a+b与向量与向量c=(-4,-7)共线共线,则则=_.答案答案:2解析解析:a+b=(+2,2+3)与与c=(-4,-7)共线共线,(+2)(-7)-(2+3)(-4)=0,得得=2.第49页 共 56 页9.(2009辽宁辽宁)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中中,四边形四边形ABCD的边的边ABDC,ADBC,已知点已知点A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则则D点的坐标点的坐标为为_.答案答案:(0,
23、-2):D x,y ,AB8,8 ,DC8x,6y ,ADx2,y ,BC2, 2 ,AB DC,AD BC,8 6y8 8x ,2 x22y,x0,D 0, 2 .y2, 解析 设可知由向量的共线条件可得解得第50页 共 56 页三三 解答题解答题10.已知已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和和D(-2,3),以以 为一组基为一组基底来表示底来表示 + + .ABCADADB CD :AB1,3 ,AC2,4 ,AD3,5 ,BD4,2 ,CD5,1 ,ADBDCD3,54,25,112,8 . 解析 由已知得第51页 共 56 页1212121212ADBDCDABAC,12,81,32,4 ,212,348,32,22,ADBDCD32AB22AC. 设则解得第52页 共 56 页211.a1,2 ,b2,1 ,k,t,xa11t1 b,yab,k t,xy,ktk;,. 已知向量为正实数问是否存在 使若存在求出 的取值范围 若不存在 请说明理由第53页 共 56 页第54页 共 56 页 12.A B C1,03, 11,2 ,11AEAC,BFBC.331E,F;2:EF AB. 已知 三点的坐标分别为并且求的坐标求证第55页 共 56 页第56页 共 56 页