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1、 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. . 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角
2、形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其与其对应的代数余子式对应的代数余子式乘积之和，即乘积之和，即11221=,niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理定理) ni, 2 , 1 性质性质 奇数阶反对称行列式等于零奇数阶反对称行列式等于零性质性质 范德蒙行列式的结构特点和结果范德蒙行列式的结构特点和结果证证明明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022并求它们的
3、逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A11.2AAE且 .,1 ABEBAEAB则则或或若若矩阵的逆矩阵的逆)0( ,11时AAAEAAA)0( ,111时AAAAAAAnn)0( ,)()(111时AAAAAA性质性质,EAAAAA.1AAA 112111222212nnijijnnnnAAAAAAAAaAAA其中，是对应的代数余子式，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对调两行或两列、)1( 1101111011),(jiEi第 行j第行 0)2(乘某行或某列、以数k).()(0 k
4、iEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i上去列加到另一行列乘某行、以数)()(0)3(k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第j 定理定理 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应
5、的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA ijrr变 换的 逆 变 换 是 其 本 身 ，1iirkrk变换的逆变换为()ijijrkrrk r 变换的逆变换为，1( ,)( ,) E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1( , ( )( , () .E i j kE i jk性质：()AE性质：经过同样的行初等变换，,AE1EA同时，从而，12,lP PP经变换1()EA用矩阵乘法表示21()lPP P AE2121()llPP PAPP PE1()EA求矩阵逆的方法11112112()llAPP PP PP同时，求矩阵的初等分解方法Gauss 消去法消去
6、法(2) ( )( )r Ar An 有无穷多解，定理线性方程组有解 ( )r Ar A，且(1) ( )( )r Ar An，即列满秩有唯一解；自由未知量个数为n r0,b 时( )r An唯一零解( )r An 无穷多解，非零解0Ax即齐次线性方程组Gauss 消去法消去法A若 为方阵，推论 若,m nAmn，且0Ax 则一定有非零解；有唯一的解bAxA 00Ax 有唯一的零解00AAx 有无穷多解，或有非零解推论 若,m nAAm，且秩( )=Axb则一定有无穷多解12121122:, 0mmmmA 给定向量组如果存在不全为零的实数,使定义定义则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的
7、，否则称它线性无关的，否则称它线性无关A(1)只有只有 时时, （1）式成立）式成立120m线性无关的等价说法：线性无关的等价说法：或者（1）式成立时，必有）式成立时，必有120m123410010 ,1 ,0 ,20011 例如，例 含有零向量的向量组必线性相关.性质 若向量组的一个部分组线性相关，则整个向量组也线性相关性质 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关例 一个零向量形成的向量组是线性相关的，一个非零向量 是线性无关的.0a根据定义，列出齐次线性方程组，由解的情况进行判断: 有唯一零解 线性无关； 有非零解 线性相关；n12,s 推论 n个 维向量12,n线性相关0A线性无关0
8、A推论 1n 个 维向量n必线性相关推论 设n 维向量组，若12,s,sn则 线性相关121 :,:,.nnABbbA 设向量组线性无关 而向量组线性相关 则向量 必能由向量组线性表示 且表示式定是唯一的理1212,(1),(2)miiira aaaaa定义给定向量组 如果它的一个部分组满足如下条件： （I）向量组（2）线性无关； （II）向量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示. (即再添加任何一个向量都线性相关)则称向量组（2）为（1）的一个极大线性无关组.定义定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.推论推论 两个等价的向量组有相同的秩.向量组的秩与矩阵的秩之
9、间的关系：nTmTTmnmmnnnmaaaaaaaaaA2121212222111211定义定义 矩阵 的行向量组的秩称为 的行秩； 的列向量组的秩称为 的列秩.AAAA向量组的秩与矩阵的秩互相转化向量组与矩阵互相转化上述定理还提供了求向量组的秩的方法：（1）将所给向量组中的各个向量作为矩阵的行向量（或列向量）得到矩阵 ；（2）将矩阵 施行初等变换化为如（7）形式的的矩阵.A（3）观察（7）知 ，则 即为所求向量组的秩.)(AR)(AR性质 初等行（列）变换不改变矩阵的行秩，列秩以及矩阵的秩A定理定理 矩阵 经初等行变换得矩阵 ，则 与 的行向量组等价, 且 与 的列向量组具有相同的线性相关性
10、.AAABBB21100170323303011110103300110001100000000000A所以215321431313132线性组合系数也相同的矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等(2) ()( )( )R ABR AR B(3),()( )P QR PAQR A若可逆，则推论推论3 给定AmsBsn为矩阵， 为矩阵,则(1) ()min ( )( )R ABR AR B，定义 为一个向量空间，向量 满足Vr,21r,21（1） 线性无关； （2） 中任意一个向量都可由向量组Vr,21线性表出.则向量组 称为
11、向量空间 的一个基，r,21V 称为向量空间 的维数，也称 为 维向量空间.rVVrdim Vr记 为基的实质：向量组 的一个极大无关组V线性方程组解的结构线性方程组解的结构012AxS若有解，设解集合为 ，由性质 ，可得121212.SSSkRkS、若 ，则；、若，则.SS集合 对向量的加法和数乘两种运算是封闭的，构成一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间如何求解空间的维数和一组基？ :0Sx Ax线性方程组解的结构线性方程组解的结构,100,010,00121 nrrxxxArArA设 的秩为 ，并不妨设 的前 个列向量线性无关，于是 的行最简阶梯形为1111100100000000n
12、rrrn rbbbbB， 111112211211,2,rn rnrn rnrrrrn rnxb xbxxb xbxxb xbx ,21222121211121 rrnrnrnrrrbbbbbbbbbxxx线性方程组解的结构线性方程组解的结构1 122rrnn r 12n rS， ， ，就是解空间 的一个基11121121222121221100010001n rn rrrrrn rrrrrnbbbbbbbbb或者称为齐次方程组的一个基础解系线性方程组解的结构线性方程组解的结构0nAx 元齐次线性方程组定理的解空间： 0R AnAx当时，方程组有唯一零解， 0R ArnAx当时，方程组有无数多
13、个解，此时，方程组的任一解可以表示为1 122,n rn rxkkk12,.n rk kk，任意实数通解的向量表示形式0S解空间 为 维向量空间，无基础解系；12n rn r基础解系含有个向量 ， ，Snr即解空间 的维数为线性方程组解的结构线性方程组解的结构.上面的证明过程提供求方程组基础解系的方法1234123412342430,35640,.45230.xxxxxxxxxxxx例 求齐次线性方程组 的基础解系和通解A解将 通过初等行变换化为行最简阶梯形， 000056107801325446533421A . 056, 078432431xxxxxx1343423487,.65xxxx
14、xxxx 为自由未知量令令3410,01xx ， 57,6821xx线性方程组解的结构线性方程组解的结构从从而而得得基基础础解解系系为为128765,1001，dim( )2S 故方程组的通解向量形式为1 12212,.xkkk k，为任意实数线性方程组解的结构线性方程组解的结构0,可以表示成00AxbAx其中 为的一个特解， 为的一个解Axb的任意解nAxb元齐次线性方程组定理的解： R AR ArnAxb当时，有无数多个解，方程组的全部解为：01 122,n rn rxkkk12,.n rk kkR，通解的向量形式120n rAx若 ， ， ，为的一个基础解系0Axb是的一个特解，则线性方
15、程组解的结构线性方程组解的结构1234123412342431,35640,.45235.xxxxxxxxxxxx例 求 的所有解A解 将 通过初等行变换化为行最简阶梯形1243 11087535640016534523500000A，的的方方程程组组即即得得到到与与原原方方程程组组同同解解134234875,653.xxxxxx 13434234875,.653xxxx xxxx 自由未知量3400( 5,3,0,0)xx 令得一特解：线性方程组解的结构线性方程组解的结构令令3410,01xx ，1287,65xx得从从而而得得基基础础解解系系为为128765,1001，13423487,6
16、5xxxxxx 又导出组的一般解为于是所求方程组的全部解为：0112212,kkk kR，线性方程组解的结构线性方程组解的结构(1) 写出系数矩阵及其增广矩阵；求解过程：(2) 初等行变换化增广矩阵为简化的阶梯型矩阵(4)写出对应的齐次导出组的基础解系;(3)写出原来的非齐次组的一个特解；(5)写出原来的非齐次组的一个通解。第五章 特征值特征向量矩阵特征值，特征向量的定义及实质矩阵相似的定义及相关性质相关性质相似对角化的条件，实对称矩阵特征值、特征向量的性质(3条)特征值，特征向量的具体求法实对称矩阵的正交相似对角化特征值的性质，与行列式、迹之间的关系第六章 二次型二次型定义，其与矩阵元素之间
17、的关系矩阵的合同关系，二次型的标准型，规范型复、实对称矩阵的合同（对角化）条件，正定矩阵的性质与判定定理：四条OOOEr22212,rfzzz定理定理 复数域上任意一个二次型都可以经可逆线性替换转化成唯一的规范形，即定理定理 任意一个复对称矩阵都合同于一个形式为是原矩阵的秩。的对角矩阵，其中 r亦即推论推论 复对称矩阵彼此合同的充要条件是它们的秩相同prp定理定理 实数域上任意一个二次型都可经可逆替换转化成唯一的规范形。定义定义 二次型的规范形中，正平方项的个数 称之为二次型的正惯性指数；负平方项的个数 称之为二次型的负惯性指数，他们的差 称之为符号差rpprp2)(当然，正负惯性指数之和等于
18、矩阵的秩或者二次型的秩。rp由秩 合正项个数 唯一决定推论推论 实对称矩阵彼此合同等价于它们的正负惯性指数是相同的常用解题思路常用解题思路利用向量空间 的思想120()sABB 1.若出现，则12,0sAx 将转化成的解 :0 x Ax *AAAA AA E2.条件中有 出现，考虑( )0)(_)f AAbEAbEE3.条件，求证(a可逆，则分解出(a的形式4. 条件要求确定参数的取值，考虑是否有某行列式为零等等反之，向量组的求秩等运算也经常转化为矩阵之间的乘积运算线性代数的常用解题思路线性代数的常用解题思路6.线性相关、线性无关的证明，多利用定义7.正定矩阵有关的证明，通常也是定义预先处理一
19、下定义向量，则用若已知特征值或者特征A. 58.,ABBAABE涉及到的问题，考虑 即逆矩阵的定义例例1.1. 设设(),(),ijm nijn tAaBb且且满足满足,ABO 证明：证明：()( ).r Ar Bn分析：分析： 如果将矩阵如果将矩阵B看作列向量组，看作列向量组，即即12(,),tBB BB 那么它的每一列那么它的每一列都是线性方程组都是线性方程组AxO 的解的解. 则则12( )(,)().tr Br B BBnr A证：证：将矩阵将矩阵B按列分块按列分块12(,),tn tBB BB 由由ABO 可知可知12(,)tABA B BB 12(,)tABABABO由此得到由此得
20、到(1,2, ),iABO itiBAxO 是是方方程程的的解解, ,AxO 而而的的基础解系含有基础解系含有 个向量，所以个向量，所以()nr A ( )(),r Bnr A即即()( ).r Ar Bn例例2.2.2,nAAA若若 阶阶方方阵阵 满满足足证证明明: :()().r Ar AEn分析：分析：利用例利用例1的结果：的结果：2().AAA AEO由由得得 ()(),r Ar AEn再利用再利用()()( ).r ABr Ar B证：证：22().AAAAOA AEO()().r Ar AEn因因此此有有又因为又因为(),AEAE所以有：所以有：()()nr Er AEA()()r Ar EA即即()().r Ar AEn综上所述，综上所述，()().r Ar AEn