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1、要求：会用其性质与展开定理，要求：会用其性质与展开定理，计算低阶及特殊的行列式。计算低阶及特殊的行列式。一、行列式一、行列式两个重要概念：两个重要概念：余子式余子式,代数余子式代数余子式上（下）三角行列式的值上（下）三角行列式的值=对角线上元素之积对角线上元素之积性质性质是计算行列式的中心环节，是计算行列式的中心环节，利用性质将行列式化为三角形行列式，利用性质将行列式化为三角形行列式，然后计算是计算行列式的重要方法。然后计算是计算行列式的重要方法。展开定理及其应用展开定理及其应用利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低利用展开定理，高阶行列式计算可以转化为低一阶行列式的计算。一阶行列式的计算。
2、特殊关系式特殊关系式例题解解计算下列行列式计算下列行列式 解方程解方程此为范德蒙行列式此为范德蒙行列式例题例题二、矩阵二、矩阵不能推出不能推出(1)(3)(2)或或不能推出不能推出交换律不成立交换律不成立消去律不成立消去律不成立转置矩阵的运算律转置矩阵的运算律一、矩阵运算中注意的几点一、矩阵运算中注意的几点特殊矩阵特殊矩阵：若若若若阶梯阵阶梯阵A与行最简阶梯阵与行最简阶梯阵B若若A A 为为n n阶对称矩阵阶对称矩阵A A 为为n n阶反对称矩阵阶反对称矩阵n n 阶方阵阶方阵A可逆的充要条件可逆的充要条件n n阶方阵阶方阵A可逆可逆可逆矩阵可逆矩阵可逆矩阵的性质可逆矩阵的性质 设设A,B都是
3、都是n n阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，k是非零数，则是非零数，则5 5、求方阵、求方阵A的逆矩阵的方法的逆矩阵的方法特别：特别：矩阵的初等变换矩阵的初等变换,初等方阵初等方阵用初等方阵左（右）乘用初等方阵左（右）乘 A A，相当于对相当于对 A A 作初等行作初等行（列）变换得到的矩阵，（列）变换得到的矩阵，矩阵矩阵A A的标准型的标准型1 1、R（A）：）：A的不等于的不等于0 0的子式的最大阶数。的子式的最大阶数。2 2、秩的基本关系式：、秩的基本关系式：3 3、关于秩的重要结论：、关于秩的重要结论：矩阵的秩矩阵的秩重要结论重要结论定理定理秩的求法：秩的求法：1)1)R（A）：）：A的不等于的
4、不等于0 0的子式的最大阶数。的子式的最大阶数。2 2）初等变换法：初等变换法：,R（A）=T的阶梯数的阶梯数3 3）若）若P可逆，则可逆，则,常需先验证常需先验证P可逆可逆选择题 1设设 A A、B B 都是都是 n n 阶方阵，则阶方阵，则 e e选择题2（4）（2）选择题4（3）解解例例例例：设方阵：设方阵 A满足满足2A2A2 2-5A-8E=0-5A-8E=0，证明，证明 A-2E 可逆，可逆，关键：寻求方阵关键：寻求方阵 B B，使（，使（A-2EA-2E）B=EB=E分析分析原式可写为原式可写为（重点）（重点）例例：设矩阵：设矩阵 X 满足：满足：AXB=XB+C，求，求X，其中
5、，其中由已知，得由已知，得 AXB-XB=C，则得则得显然显然A-E、B均可逆，并且均可逆，并且解解例R(A)R(A)=2=2初等初等变换变换例（重点）（重点）例例解解三向量组的线性关系三向量组的线性关系定义定义定义定义 极大无关组、等价极大无关组、等价等价定义等价定义（重点）（重点）结论结论:2 2、3 3、1 1、矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系矩阵初等行变换不改变列向量组线性关系注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法注意：求极大无关组、讨论线性表示主要用此方法；秩（秩（A）=列向量组的秩列向量组的秩=行向量组的秩行向量组的秩定理定理定理定理判别法判别法 1 1判别法判别法 2
6、2 等价的向量组的等价的向量组的秩相等秩相等；部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关判别法判别法3 例题例题DFDF例题例题BC设 解解例例(续续)其余向量由此极大无关组表示为：其余向量由此极大无关组表示为：所以所以向量4-例题4解解 1)1)因为行列式因为行列式 所以当所以当b=3b=3或或b=1b=1时，时，D=0D=0，线性相关；，线性相关；否则线性无关。否则线性无关。证明证明证明证明证明分析：只要证明：分析：只要证明：B B的列秩的列秩=m;=m;证明证明例例 设向量组设向量组问问 k 为何值时为何值时表示法唯一表示法唯一不唯一，不唯一，不
7、可表示。不可表示。解解 设设即即用克莱姆法则用克莱姆法则 k=-3 时时表示法唯一，表示法唯一，时时同解方程组同解方程组有无穷多解。有无穷多解。时时方程组有唯一解方程组有唯一解表示法不唯一，表示法不唯一，线性方程组线性方程组解的存在性定理解的存在性定理各种解法各种解法解的结构解的结构四、线性方程组的解法与解的结构四、线性方程组的解法与解的结构定理定理1 1 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组定理定理1 1 设有齐次线性方程组（设有齐次线性方程组（2 2）方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系方程组方程组-2-2-通解、基础解系通解、基础解系定理定理2 2 设有非齐次线性方程组
8、（设有非齐次线性方程组（1 1）讨论讨论a a满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、满足什么条件时，如下方程组无解、有唯一解、解解系数行列式系数行列式所以所以1):1):2):2):有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。有无穷多解？有无穷多解时，求其通解。（重点）（重点）例例例题例题3 3（续）（续）由于同解方程组中出现了矛盾方程由于同解方程组中出现了矛盾方程:0=3,:0=3,故无解故无解.2):2):则通解为则通解为当当时，时，称称与与正交正交。定理定理中两两正交、非零向量组中两两正交、非零向量组线性无关。线性无关。若若满足满足称称为为规范正交基规范正交基。定义定义3 五、内积、施密特正
9、交化。五、内积、施密特正交化。定义定义4 4 是是n n阶方阵阶方阵,若若是是正交矩阵正交矩阵称称性质性质2 2的列的列(行行)向量组为正交单位向量组向量组为正交单位向量组是正交矩阵是正交矩阵性质性质1是是正交矩阵正交矩阵则则A可逆且可逆且设设性质性质3 设设 A、B 都是正交矩阵，都是正交矩阵，则则 AB 也是正交矩阵。也是正交矩阵。即即 A 的的 n 个列向量是单位正交向量组。个列向量是单位正交向量组。性质性质4 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则也是正交矩阵。也是正交矩阵。性质性质5 设设 A 是正交矩阵，则是正交矩阵，则3、施密特正交化方法、施密特正交化方法设在设在中中为线性无关向
10、量组为线性无关向量组令令正交化过程：正交化过程：则则是正交向量组，是正交向量组，单位化单位化六、特征值与特征向量、矩阵的对角化六、特征值与特征向量、矩阵的对角化内容：内容：矩阵的特征值与特征向量的定义矩阵的特征值与特征向量的定义,求法求法,性质；性质；相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法相似矩阵的概念、性质、矩阵对角化的条件和方法定义定义1 1使方程使方程设方阵设方阵成立成立数数和和 n 元非零列向量元非零列向量1-1-特征值、特征向量特征值、特征向量-求法求法1 1、特征值特征值的求法的求法2 2、特征向量的求法、特征向量的求法2-2-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性质的性质性
11、质性质 全不为零。全不为零。3-3-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵-的性质的性质性质性质2 2例例2 2、3-3-特征值、相似矩阵特征值、相似矩阵 例例3 3 设设A A是一个方阵是一个方阵-100例4-相似矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相似，求参数相似，求参数a,b,c.a,b,c.解解 1 1）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相似，所以相似，所以例4-相似矩阵设矩阵设矩阵A A、B B相似，求参数相似，求参数a,b,c.a,b,c.2 2）因为矩阵）因为矩阵A A、B B相似，所以相似，所以1 1也是也是A A的特征值，所以的特征值，所以并且并且1 1是是B B的一个特征值的一个特征值3
12、-3-特征向量的性质特征向量的性质1 1）方阵方阵A A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。2 2）实对称矩阵实对称矩阵A A的不同特征值所对应的特征向量必相的不同特征值所对应的特征向量必相3 3）正交向量组必是线性无关组。）正交向量组必是线性无关组。互正交互正交。4-n4-n阶方阵阶方阵A A可对角化的条件、方法可对角化的条件、方法1 1、一个充分必要条件：、一个充分必要条件：n n阶方阵阶方阵A可对角化可对角化A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量2 2、两个充分条件、两个充分条件：1 1）如果）如果A有有n个互不相同的特征值，则个互不相
13、同的特征值，则A必可对角化必可对角化2 2）如果）如果A是实对称矩阵，则是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。必可用正交矩阵对角化。3 3、对角化方法对角化方法：4 4、正交对角化、正交对角化（重点）（重点）（重点）（重点）例例1 1（1）求）求设设相似于相似于（1）由性质）由性质（2）（2）解解例例5三阶实对称矩阵三阶实对称矩阵 的特征值分别为的特征值分别为秩秩例例8 8相应的特征向量分别为相应的特征向量分别为已知已知求求 的值及矩阵的值及矩阵解解秩秩有三个不同有三个不同特征值特征值,则则 可取可取的特征向量为的特征向量为则则七、二次型化标准型七、二次型化标准型-1-1-基本定义、基本内容
14、基本定义、基本内容1 1、二次型、二次型二次齐次多项式；二次齐次多项式；标准型的矩阵标准型的矩阵对角阵对角阵二次型的矩阵表示二次型的矩阵表示2 2、二次型的矩阵、二次型的矩阵前提前提：实对称矩阵；注意元素特点：实对称矩阵；注意元素特点 标准型标准型仅含有平方项的二次型仅含有平方项的二次型则二次型的矩阵则二次型的矩阵二次型及其标准型-2-最重要内容注注1 1：对线性变换：对线性变换 X=PY X=PY来说，当来说，当P P可逆矩阵时，称之为可逆矩阵时，称之为可逆变换；当可逆变换；当P P是正交矩阵时，称之为正交变换是正交矩阵时，称之为正交变换 用正交变换用正交变换 将二次型将二次型 化为标准型；化为标准型；二次型-3-例2求正交变换X=QY，将二次型 化为标准型 解解 二次型的矩阵为3 3）对每个基础解系进行）对每个基础解系进行SchmidtSchmidt正交化、再单位正交化、再单位化：化：