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1、 2 化二次型化二次型为标为标准形准形用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形标准形标准形的矩阵是的矩阵是的矩阵是的矩阵是:一一 化二次型为标准形的化二次型为标准形的原因原因问题问题:如何把二次型如何把二次型如何把二次型如何把二次型f =xT A x化为化为标准形标准形?(4)将二次型化将二次型化为为标标准形准形,即即:对对于二次型于二次型 寻寻求一个求一个可逆的可逆的线线性替性替换换:二二 化二次型为标准形化二次型为标准形变量替换变量替换变量替换变量替换(4)(4)式变为式变为式变为式变为x=Cy,x=Cy,代入代入代入代入 f=xf=xT TAx,Ax,可得可得可得可得思路
2、思路思路思路:由此可知由此可知,若能找到若能找到C使得使得CTAC=D为对为对角角阵阵,则标则标准形可得准形可得.这样这样就就把把二次型化二次型化标标准形准形问题问题转转化化为为对对称称阵阵合同合同对对角角阵问题阵问题.两种方法两种方法:1.正交正交变换变换法法;2.配方法配方法.对于给定的实对称矩阵对于给定的实对称矩阵A,寻求可逆矩阵寻求可逆矩阵C,使使CTAC成为对角阵成为对角阵.把此结论用于二次型，即有把此结论用于二次型，即有对给定的对给定的n阶阶实对称实对称矩阵矩阵A，必存在，必存在n 阶阶正交正交矩阵矩阵P,使得使得方法方法1 正交正交变换变换法法 3.求求A的的n个个标标准正交准正
3、交的的特征向量特征向量:4.求求正交矩正交矩阵阵P=正交正交变换变换法的基本步法的基本步骤骤：1.写出二次型的矩写出二次型的矩阵阵A；5.5.作作作作正交变换正交变换:x=Pyx=Py,则则 例例 用正交变换法将二次型用正交变换法将二次型化成化成标标准形，并求正交准形，并求正交变换变换矩矩阵阵.解解 二次型二次型f 的矩阵为的矩阵为(1)(1)求求A的特征的特征值值.得得A的特征的特征值值(2)求求3个个标标准正交的特征向量准正交的特征向量.解方程组解方程组=0，可得可得 解方程组解方程组=0，可得可得 施行施密特施行施密特正交正交单位化单位化，得到，得到 将其单位化，得到将其单位化，得到(3
4、)求正交求正交变换变换矩矩阵阵P.令令于是于是(4)作正交作正交变换变换x=Py,则则注意注意 (1)矩矩阵阵P是正交矩是正交矩阵阵，一般情况下一般情况下不唯一不唯一；(2)得到的得到的f 的的标标准形中，平方准形中，平方项项的系数恰是的系数恰是A的的特征特征值值，(3)对对角角阵阵中特征中特征值值 的的顺顺序序是和它是和它们对应们对应的特征向量在的特征向量在P中中的的排列排列顺顺序序一致的一致的.将将实实二次型二次型 f(x)=x TAx 化化为为标标准形准形后，后，不妨不妨设设正正平方平方项项在在前前，负负平方平方项项在在后后,即即d1 y12+dp yp2-dp+1yp+12-dr yr
5、2,得得 f(x)=x TAx 的的规规范形范形为为:z12+zp2 zp+12-zr2 三三三三 化标准形为规范形化标准形为规范形化标准形为规范形化标准形为规范形d di i 0,0,i i=1,2,=1,2,r r.例例解解注注注注:利用利用利用利用正交变换正交变换化成标准形化成标准形化成标准形化成标准形,进而化成规范形进而化成规范形进而化成规范形进而化成规范形,则则则则 系数中系数中系数中系数中”-1-1”的个数的个数的个数的个数=负负负负特征值的个数特征值的个数特征值的个数特征值的个数=负负负负惯性指数惯性指数惯性指数惯性指数.系数中系数中系数中系数中”1 1”的个数的个数的个数的个数=正正正正特征值的个数特征值的个数特征值的个数特征值的个数=正正正正惯性指数惯性指数惯性指数惯性指数;问题问题问题问题:标准形不唯一标准形不唯一标准形不唯一标准形不唯一,规范形唯一吗规范形唯一吗规范形唯一吗规范形唯一吗?答案答案答案答案:标准形标准形不唯一不唯一,但是但是正平方项的个数正平方项的个数(正惯性指数正惯性指数)和和负平方项的个数负平方项的个数(负惯性指数负惯性指数)是是唯一唯一确定的确定的.作作业业：P133 5;6;7;8