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1、 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型？第五章第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量5.1 特征值与特征向量特征值与特征向量5.2 相似矩阵相似矩阵5.3 对称矩阵及其对角化对称矩阵及其对角化 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 5.1 特征特征值值与特征向量与特征向量 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型一一 特征值与特征向量的概念特征值与特征向量的概念n个未知数个未知数n个方程的个方程的齐次线性方程组齐次线性方程组注注:由由可得可得:则则称称
2、为为方方阵阵A 的的特特征征值值,非非零零向向量量 称称为为A的的对对应应于于特征值特征值 的的特征向量特征向量.定义定义 设设A是是 n 阶阶方阵方阵,如果存在数如果存在数 和和n 维维非零非零列向量列向量 满满足：足：称为称为A的的特征矩阵特征矩阵.称为称为A的的特征多项式特征多项式.称为称为A的的特征方程特征方程.由由由由x x非零非零,有有有有 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型利用定义利用定义:Ax=x 且且x非零非零例例 设设设设则则则则A A有特征值有特征值有特征值有特征值_._.解解-1-1例例 设设设设 是是是是A A的特征值的特征值的特征值的特征值,则则则则A A2
3、2有特征值有特征值有特征值有特征值_._.解解 设设设设x x是属于是属于是属于是属于 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量,即有即有即有即有Ax=x.所以所以,A2x=A(Ax)=A(x)=(Ax)=2x.2适用于适用于抽象矩阵抽象矩阵二二 特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法方法一方法一方法一方法一 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型 求解特征方程求解特征方程求解特征方程求解特征方程即得即得即得即得A A的的的的特征值特征值;利用利用 有有非零解非零解:求解方程组求解方程组求解方程组求解方程组非零解非零解即为即为即为即为对应于对应于的特征向量的特征向量.适用于适用于数字矩
4、阵数字矩阵例例 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A的特征多项式为：的特征多项式为：所以所以A的特征值为：的特征值为：2重重 特征值特征值方法二方法二方法二方法二 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型当当 时时,得基础解系得基础解系:当当 时时,A+2E=得基础解系得基础解系:所以对应于所以对应于 的全部特征向量为的全部特征向量为:不全为零不全为零.所以所以 对应于对应于的的全部全部特征向量为特征向量为:线线性无关性无关的的特征向量的特征向量的最大个数最大个数为为2 2 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型解解 A 的特征多项式为的特征多项式为:所以所以A的特征值为的特征
5、值为:当当 时时,解方程组解方程组 由由得基础解系得基础解系:所以对应于所以对应于 的的全部全部特征向量为特征向量为 例例 求求的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2重重 特征值特征值 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型AE=当当 时时,得基础解系得基础解系:线线性无关性无关的特征的特征向量的最大个数向量的最大个数为为1 1注注:1 属于同一个特征值的特征向量有属于同一个特征值的特征向量有无穷多个无穷多个！2 属于同一特征值的属于同一特征值的线性无关线性无关特征向量的特征向量的最大个数最大个数不一不一定等于它的重数，但定等于它的重数，但不会超过它的重数不会超过它的重数.解方程组解方程组
6、解方程组解方程组(A-EA-E)x x=0.=0.由由由由的的全部全部特征向量是特征向量是所以对应于所以对应于 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型三三 特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质性质性质1 矩阵矩阵特征值特征值特征向量特征向量不确定不确定不确定不确定 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型证明证明证明证明:作业作业作业作业 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型（1）矩矩阵阵A 的的n个特征个特征值值之和等于之和等于A 的的n个个对对角角线线元素之和，即元素之和，即:（2）矩阵矩阵A的的n个特征值的乘积等于个特征值的乘积等于A的行列式的值的行列式的值,即即:性质性质
7、 2 注注1:矩阵矩阵矩阵矩阵A A的的的的n n个对角线元素之和称为个对角线元素之和称为个对角线元素之和称为个对角线元素之和称为A A的迹的迹的迹的迹,记为记为记为记为tr(A).注注2：矩阵：矩阵：矩阵：矩阵A A可逆的充要条件是可逆的充要条件是可逆的充要条件是可逆的充要条件是A A的特征值的特征值的特征值的特征值全不为零全不为零.CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型例例解解:例例 CH5 相似矩相似矩阵阵及二次型及二次型定理定理设设是是n 阶方阵阶方阵A的的m个特征值个特征值,依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量.如果如果 互不相等互不相等,则则 线性无关线性无关.不同不同特征值对应的特征向量必特征值对应的特征向量必线性无关线性无关.简记为：简记为：性质性质 3作业：作业：P121 2;4;5;7;8