《2022年高考数学一轮汇总训练《函数的单调性与最值》理新人教A版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮汇总训练《函数的单调性与最值》理新人教A版 .pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载第三节函数的单调性与最值 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1. 理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2. 会利用函数的图象理解和研究函数的性质 . 1. 函数的单调性，是高考考查的重中之重，主要考查求函数的单调区间、利用函数的单调性比较函数值的大小、利用函数单调性求函数值域或最值、利用函数的单调性解不等式等相关问题2. 函数的最值问题是每年高考的必考内容，一般情况下，不会对最值问题单独命题，主要是结合其他知识综合在一起考查，主要考查求最值的基本方法 . 归纳知识整合 1函数的单调性(1) 单调函数的定义：增函数减函数定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I，如果对于
2、定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数当x1f(x2) ，那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的(2) 如果函数yf(x) 在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x) 在区间D精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载具有 ( 严格的 ) 单调性，这一区间叫做yf(x) 的单调区间. 探究 1. 函数y1x的单调递减区间为( ， 0) (0 ，
3、 ) ，这种表示法对吗？提示： 首先函数的单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式的形式表示；如果一个函数有多个单调区间应分别写，分开表示， 不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结2 函数f(x) 在区间 a，b 上单调递增与函数f(x) 的单调递增区间为a，b 含义相同吗？提示：含义不同f(x) 在区间 a，b 上单调递增并不能排除f(x) 在其他区间上单调递增，而f(x) 的单调递增区间为a，b 意味着f(x) 在其他区间上不可能单调递增2函数的最值前提设函数yf(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x) M；存在x0I，使得f(x0) M. 对于任意xI
4、，都有f(x) M；存在x0I，使得f(x0) M. 结论M为最大值M为最小值 探究 3. 函数的单调性、最大( 小) 值反映在其图象上有什么特征？提示：函数的单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大 ( 小) 值反映在图象上为其最高( 低) 点的纵坐标的值 自测牛刀小试 1( 教材习题改编 ) 函数f(x) 2x1，x2,6，则下列说法正确的有( ) 函数f(x) 为减函数；函数f(x)为增函数；函数f(x) 的最大值为2；函数f(x)的最小值为25. ABCD解析：选 B 易知函数f(x) 2x1在x2,6上为减函数， 故f(x)minf(6) 25，f(x)maxf(2) 2. 2函数y
5、 (2k1)xb在( ， ) 上是减函数，则( ) Ak12Bk12Dk12解析：选 D 使y(2k1)xb在( ， ) 上是减函数，则2k 10，即k12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载3已知函数f(x) 为 R上的减函数，则满足f1xf(1) 的实数x的取值范围是 ( ) A( 1,1) B (0,1) C( 1,0) (0,1) D ( ， 1)(1 ，)解析：选 C 函数f(x)为 R上的减函数，且f1x1，即 |x|0. (1) 若 2f(1) f( 1) ，求a的值；(2) 证明：
6、当a1 时，函数f(x) 在区间 0 ， ) 上为单调减函数 自主解答 (1) 由 2f(1) f( 1)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载可得 222a2a，得a23. (2) 证明：任取x1，x20 ， ) ，且x1x2，f(x1) f(x2) x21 1ax1x221ax2x211x221a(x1x2) x21x22x211x221a(x1x2) (x1x2)x1x2x211x221a. 0 x1 x211，0 x2 x221，0 x1x2x211x2210，f(x) 在0 ， ) 上单调递
7、减 判断或证明函数的单调性的两种方法(1) 利用定义的基本步骤是：取值 ? 作差商变形 ? 确定符号? 得出结论(2) 利用导数的基本步骤是：求导函数? 确定符号? 得出结论1讨论函数f(x) axx21(a0) 的单调性解：由x210，得x1，即定义域为 ( ， 1) (1,1) (1， ) 当x( 1,1) 时，设 1x1x21，则f(x1) f(x2) ax1x21 1ax2x221ax1x22ax1ax2x21ax2x21x22ax2x1x1x2x21x22. 1x1x20，x1x210，(x211)(x221)0. 又a0，f(x1) f(x2)0 ，函数f(x) 在( 1,1) 上
8、为减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载设 1x1x2，则f(x1) f(x2) ax1x21 1ax2x221ax2x1x1x2x21x22，1x10，x2210，x2x10，x1x210. f(x1) f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x) 在(1 ， ) 上为减函数又函数f(x) 是奇函数，f(x) 在( ， 1) 上是减函数 . 求函数的单调区间 例 2 求下列函数的单调区间(1)yx22|x| 3；(2)ylog2(x21) 自主解答 (1) 依题意，可得当x0时，yx22x3
9、(x1)24；当x0，在(1 ， ) 上为增函数且0. 当x( ， 1) 时，ylog2(x21) 为减函数，当x(1 ， ) 时，ylog2(x2 1)为增函数1求函数单调区间应注意的问题函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行2求复合函数yfg(x) 的单调区间的步骤(1) 确定定义域；(2) 将复合函数分解成基本初等函数：yf(u) ，ug(x) ；(3) 分别确定这两个
10、函数的单调区间；(4) 若这两个函数同增或同减，则yfg(x) 为增函数；若一增一减，则yfg(x)为减函数，即“同增异减”2求函数yx2x6的单调区间解：令ux2x6，yx2x6可以看作有yu与ux2x6 的复合函数由ux2x60，得x 3 或x2.ux2x6 在( ， 3 上是减函数，在2 ， ) 上是增函数，而yu在(0， ) 上是增函数yx2x6的单调减区间为( ， 3 ，单调增区间为2 ， ).由函数的单调性求参数的值( 或范围 ) 例 3 已知函数f(x) x2ax(a0) 在(2 ， ) 上为单调递增函数，求实数a的取值范围 自主解答 在区间 (2 ， ) 上任取x1，x2，且x
11、1x2，则f(x1) f(x2) x21ax1x22ax2x1ax1x2ax2(x1x2) ax1ax2(x1x2) ax2x1x1x2，f(x) 在(2 ， ) 上为增函数，(x1x2) ax2x1x1x20. 又x1x2，即x1x20，ax1x21，即ax1x2. x1，x2(2 ， ) ，且x14. a4，又a0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载a的取值范围为 (0,4若将“f(x) x2ax(a0)”改为“f(x) x 5xa2”，如何求解？解：f(x) x5xa2 1a3xa. f(x)
12、 在(2 ， ) 上为增函数，3 02 2aa，解得30aa，即a0.故实数a的取值范围为， 0. 利用函数的单调性求参数的方法及注意点利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参需注意若函数在区间a，b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的3已知f(x) xxa(xa) ，若a0 且f(x) 在(1 ，) 内单调递减，求a的取值范围解：任设 1x10，x2x10，要使f(x1) f(x2)0，只需 (x1a)(x2a)0 恒成立a1. 综上所述，a的取值范围是 (0,1 函数的最值与应用
13、例 4 (2013昆明模拟 ) 已知函数f(x) x22xax，x1 ， ) (1) 当a12时，求函数f(x) 的最小值；(2) 若对任意x1 ， ) ，f(x)0 恒成立，试求实数a的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载 自主解答 (1) 当a12时，f(x)x12x 2，在1 ，) 上为增函数，f(x)minf(1)72. (2)f(x) xax2，x1 ， ) 当a0 时，f(x) 在 1 ， ) 内为增函数最小值为f(1) a 3. 要使f(x)0 在x1 ， ) 上恒成立，只需a3
14、0，即a3，所以 3a0.当 00，a3. 所以 01 时，f(x) 在1 ，a 上为减函数， 在(a，) 上为增函数， 所以f(x) 在1 ，) 上的最小值是f(a) 2a2， 2a20，显然成立综上所述，f(x)在 1 ，)上恒大于零时，a的取值范围是 ( 3， ) 1. 求函数最值的常用方法单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化
15、为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 2. 恒成立问题的解法mfx恒成立 ?mfxmax；mfx恒成立 ?mfxmin. 4设函数f(x) x2 1，对任意x32，fxm4m2f(x) f(x1) 4f(m)恒成立，求实数m的取值范围解：由题意知，x2m2 14m2(x21)(x1)2 14(m21) 在x32，上恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下载即1m24m23x22x1 在x32，上恒成立，当x32时，函数y3x22x1 取得最小值53，所以1m24m253，即 (3m2 1)(4m23
16、)0，解得m32或m32. 即实数m的取值范围为，3232，. 2 个防范函数单调区间的记法及性质的易误点(1) 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示(2) 两函数f(x)，g(x) 在x(a，b) 上都是增 ( 减) 函数，则f(x) g(x) 也为增 ( 减) 函数，但f(x) g(x) ，1fx等的单调性与其正负有关，切不可盲目类比2 种形式单调函数的等价变形设任意x1，x2a，b 且x10? (x1x2)f(x1) f(x2)0 ?f(x) 在 a，b 上是增函数；(2)fx1fx2x1x20?
17、(x1x2)f(x1) f(x2)0 ?f(x) 在 a，b 上是减函数4 种方法函数单调性的判断方法判断函数单调性的方法有以下四种：(1) 定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；(2) 复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；(3) 导数法：利用导数研究函数的单调性；(4) 图象法：利用图象研究函数的单调性. 易误警示分段函数单调性中的误区 典例 (2013福州模拟) 已知函数f(x) ax4a，x1，logax，x1满足对任意的实数x1x2都有fx1fx2x1x20 成立，则实数a的取值范围为 ( ) A(0,1) B. 0，13精选学习资料 - - - -
18、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载C.17，13D.17，1 解 析 据 题 意 使 原 函 数 在 定 义 域R上 为 减 函 数 ， 只 需 满 足3a10，0a1，a4aloga1，解得17a0，0，x0，1，x1，0，x1，x2，x1，4a20，a4a22，解得a 4,8) 一、选择题1(2012广东高考) 下列函数中，在区间(0 ， ) 上为增函数的是( ) Ayln(x 2) Byx1 Cy12xDyx1x解析：选 A 选项 A的函数yln(x 2) 的增区间为 ( 2， ) ，所以在 (0 ， ) 上一定是增函数
19、2已知函数f(x) log2x11x，若x1(1,2)，x2(2 ， ) ，则 ( ) Af(x1)0，f(x2)0 Bf(x1)0 Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0 解析：选 B 函数f(x) log2x11x在 (1 ， ) 上为增函数，且f(2) 0当x1(1,2) 时，f(x1)f(2) 0，即f(x1)0. 3若f(x) x22ax与g(x) ax1在区间 1,2上都是减函数，则a的取值范围是( ) A( 1,0) (0,1) B ( 1,0) (0,1 C(0,1) D (0,1 解析： 选 D 函数f(x) x22ax在区间 1,2上是减函数，a1.又函数g(x) ax
20、 1在区间 1,2 上也是减函数，a0. a的取值范围是 (0,14 (2013潍坊模拟 ) 已知函数f(x) 的图象向左平移1 个单位后关于y轴对称，当x2x11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载时， f(x2) f(x1) (x2x1)abBcbaCacbDbac解析： 选 D 根据已知可得函数f(x) 的图象关于直线x1 对称， 且在 (1 ，) 上是减函数af12f52，所以bac. 5若函数f(x) loga(2x2x)(a0 且a1)在区间0，12内恒有f(x)0 ，则f(x)的单调递
21、增区间为 ( ) A. ，14B. 14，C(0， ) D. ，12解析： 选 D 令g(x) 2x2x0， 得x0 或x12， 所以函数f(x) 的定义域为，12(0 ， ) 易知函数g(x) 在 0，12上单调递增， 所以在0，12上， 0g(x)0恒成立，故 0a1， 故函数ylogax在其定义域上为减函数而g(x) 2x2x在 ，12上是单调递减的，所以f(x) 的单调递增区间为，12. 6 定义在 R上的函数f(x) 满足f(xy) f(x) f(y) ， 当x0 ， 则函数f(x)在a，b 上有 ( ) A最小值f(a) B最大值f(b) C最小值f(b) D最大值fab2解析：选
22、 C f(x) 是定义在R上的函数，且f(xy) f(x) f(y) ，f(0) 0，令yx，则有f(x) f( x)f(0) 0. f( x) f(x) f(x) 是 R上的奇函数设x1x2，则x1x20. f(x) 在 R上是减函数f(x) 在a，b 有最小值f(b) 二、填空题 ( 本大题共3 小题，每小题5 分，共 15 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载7函数f(x) 13xlog2(x2) 在区间 1,1 上的最大值为 _解析： 由于y13x在 R 上递减，y log2(x2)在
23、 1,1 上递增， 所以f(x) 在1,1上单调递减，故f(x) 在 1， 1 上的最大值为f( 1) 3. 答案： 3 8(2013东城模拟) 函数f(x) 的定义域为A，若x1，x2A且f(x1) f(x2) 时总有x1x2，则称f(x) 为单函数例如：函数f(x) 2x1(xR) 是单函数给出下列命题：函数f(x) x2(xR) 是单函数；指数函数f(x) 2x(xR)是单函数；若f(x) 为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1) f(x2) ；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中真命题是_( 写出所有真命题的编号) 解析： 根据单函数的定义，函数是单函数等价于这个函数在其定
24、义域内是单调的，故命题是真命题，是假命题；根据一个命题与其逆否命题等价可知，命题是真命题答案：9已知函数f(x) ex2，x0，2ax1，x0(a是常数且a0) 对于下列命题：函数f(x) 的最小值是1；函数f(x) 在 R 上是单调函数；若f(x)0在12，上恒成立， 则a的取值范围是a1； 对任意的x10，x20且x1x2， 恒有fx1x220 在12，上恒成立，则2a1210，a1，故正确； 由图象可知在 ( ， 0)上对任意的x10，x20 且x1x2，恒有fx1x220，x0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共
25、17 页学习必备欢迎下载(1) 求证：f(x)在(0 ， ) 上是单调递增函数；(2) 若f(x) 在12，2 上的值域是12，2 ，求a的值解： (1) 证明：设x2x10，则x2x10，x1x20，f(x2) f(x1) 1a1x21a1x11x11x2x2x1x1x20，f(x2)f(x1) f(x) 在(0 ， ) 上是单调递增的(2) f(x) 在12，2 上的值域是12，2 ，又f(x) 在12， 2 上单调递增，f1212，f(2) 2. 易得a25. 11已知函数f(x) 对任意的a，bR恒有f(ab) f(a)f(b) 1，并且当x0时，f(x)1. (1) 求证：f(x)是
26、 R上的增函数；(2) 若f(4) 5，解不等式f(3m2m2)3. 解： (1) 证明：任取x1，x2R, 且x10，f(x2x1)1. f(x2) f(x1) f(x2x1) 10，即f(x2)f(x1) f(x) 是 R上的增函数(2) 令ab2，得f(4) f(2) f(2) 12f(2) 1，f(2) 3. 而f(3m2m 2)3，f(3m2m 2)f(2) 又f(x) 在 R上是单调递增函数，3m2m22，解得 1m0 成立(1) 判断f(x) 在 1,1 上的单调性，并证明它；(2) 解不等式f x12f1x1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
27、- - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载(3) 若f(x) m22am1 对所有的a 1,1 恒成立，求实数m的取值范围解： (1) 任取x1，x2 1,1 且x10，x1x20，f(x1) f(x2)0，即f(x1)f(x2) f(x) 在 1,1 上单调递增(2) f(x) 在 1,1 上单调递增，x121x 1，1x121，11x 11，解得32x0，则x2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载所以函数ylog12(x2 3x2) 的定义域为 (， 1)(2 ， )
28、又ux23x2 的对称轴x32，且开口向上所以ux23x2 在( ， 1) 上是单调减函数，在(2 ， ) 上是单调增函数而ylog12u在(0 ， ) 上是单调减函数，故ylog12(x23x2) 的单调减区间为(2 ， ) ，单调增区间为( ， 1) 2讨论函数f(x) mxx2(m0) 的单调性解：函数定义域为x|x2，不妨设x1，x2( ， 2) 且x1x2，f(x2) f(x1) mx2x22mx1x12mx2x1mx1x2x1x22m x1x2x1x2. m0，x1，x2( ， 2) ，且x1x2，x1x20. m x1x2x2x10，即f(x2)f(x1) ，故函数f(x) 在区
29、间 ( ， 2) 上是增函数同理可得函数f(x) 在区间 (2 ， ) 上也是增函数综上，函数f(x) 在( ， 2) ，(2 ， ) 上为增函数3已知函数f(x) 对于任意x，yR，总有f(x) f(y) f(xy) ，且当x0 时，f(x)x2，则x1x20，f(x1) f(x2) f(x1) f( x2) f(x1x2) ，又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0 ，即f(x1)x2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载则f(x1) f(x2) f(x1x2x2) f(x2) f(x1x2) f(x2) f(x2) f(x1x2) 又x0 时，f(x)0，f(x1x2)0 ，即f(x1)f(x2) 因此f(x) 在 R上是减函数(2) f(x) 在 R上为减函数，f(x) 在 3,3 上也为减函数，f(x) 在 3,3 上的最大值为f( 3)，最小值为f(3) ，而f(3) f(1 2) f(1) f(2) f(1) f(11) f(1) f(1) f(1) 3f(1) 2. 0f(0) f(33) f(3) f( 3) ，f( 3) f(3) 2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页