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1、定定 积积 分分 及及 其其 应应 用用习习 题题 课课问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容定积分的应用定积分的应用1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）iniixfA )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成
2、.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 S.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依
3、次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和S总总趋趋于于确定的极限确定的极限I，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限I为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfS )(1
4、 ，可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1定理定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfb
5、a )(ba 性质性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论：推论：则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定理定积分中值定理)设设M及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abMdxxfabmba . )(xf在在区区间间
6、,ba性质性质6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式积分中值公式5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)
7、(xF是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原函数，则 )()()(aFbFdxxfba .)()(babaxFdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分
8、adxxf)( babdxxf)(lim当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称广义积分时，称广义积分发散发散. badxxf)( badxxf)(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim05 5、定积分应用的常用公式、定积
9、分应用的常用公式(1) 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 21)()(ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)(
10、)(212122极坐标情形极坐标情形(2) 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cdxo badxxAV)(xdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA(3) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为)( )( rr 弧长弧长 drrs )()(22(4) 旋转体的侧面积旋转体的侧面积xdx
11、x xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22侧侧五、定积分在经济上的应用五、定积分在经济上的应用 主要目的：如已知目标函数的边际函数，如主要目的：如已知目标函数的边际函数，如何求原函数（即目标函数）何求原函数（即目标函数） xdxxRxRxR0)()(),()1则则已已知知)0()()(),()20CdxxCxCxCx 则则已已知知)0()()(),()30CdxxLxLxLx 则则已已知知 badttfQbaxfQ)(,),()4内内的的总总产产量量为为在在时时间间间间隔隔则则的的变变化化率率已已知知某某产产品品的的总总产产量量例例1. 求.de1elim
12、10 xxxxnn解解: 因为 1,0 x时,xxnxe1e0所以xxxxnde1e100 xxnd1011n利用夹逼准则得0de1elim10 xxxxnn,nx典型例题典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理e1elimnn0不对不对 ! 因为 依赖于,n且,10说明说明:xxxxnnde1elim10故没理由认为0limnnnnnnnnnnnI1212sinsin1sinlim解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式nkknkn11sin已知,2dsin1sinlim101xxnnknkn利用夹逼准则夹逼准
13、则可知.2Inknnknn11sin1nknnk11sin(1998考研) 11limnnn例例2. 求思考思考: :nnnnnnnJ1212sinsinlim提示提示: :由上题1sinlimnIJnn11) 1(sinnnnn?11) 1(sinlimnnnnn222sinsin1sinlim1212nnnnnnnnnI00故练习练习: 1.求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解：原式nn1limnini12)(11xxd1110242. 求极限).2212(lim12121nnnnnnnnn提示提示：原式nn1limnini121limnnnnini12n1xxd2102
14、ln111limnnnini12左边= 右边例例3.d411032xxx估计下列积分值解解: 因为 1 ,0 x3241xx 41,412xxxxd411032xd2110 xxd41102即xxxd411032216例例4. 证明.e2dee222042xxx证证: 令,e)(2xxxf则xxxxf2e) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,e1)(421f2e)2(f,e1)(min42,0 xf22,0e)(maxxf故2204e2dee22xxx例例5.设)(xf在1 ,0上是单调递减的连续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明：显然
15、1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .明对于任何例例6., 3) 1 (,0)(fxxf处连续在已知且由方程xyyxttfyttfxttf111d)(d)(d)(确定 y 是 x 的函数 , 求. )(xf解：解：方程两端对 x 求导, 得)( yxfyttf1d)(yyfx)(xttfy1d)()(xfy)(yxy令 x = 1, 得) 1 (d)()(1fyttfyyfy再对 y 求导,
16、 得) 1 (1)(fyyfy3Cyyf ln3)(, 3, 1Cy得令3ln3)(xxf故0例例7.ttttfxfxdcos2sin)()(02求可微函数 f (x) 使满足解解: 等式两边对 x 求导, 得)()(2xfxfxxxfcos2sin)(不妨设 f (x)0,则xxxfcos2sin21)(xxfxfd)()(xxxdcos2sin21Cx )cos2ln(21注意 f (0) = 0, 得3ln21C3ln21)cos2ln(21)(xxfxcos23ln21ttttfxfxdcos2sin)()(02Cxxf)cos2ln(21)(例例8. 求多项式 f (x) 使它满足方
17、程解解: 令, t xu 10302d) 1(d)(xxttfttxfx则10d)(ttxfxxuuf01d)(代入原方程得xuuf0d)(xttfx0d) 1(242xx 两边求导:)(xfxttf0d) 1() 1( xfxxx443)(xf ) 1(2xf) 1( xfx4122x可见 f (x) 应为二次多项式 , 设cxbxaxf2)(代入 式比较同次幂系数 , 得. 1,4, 3cba故143)(2xxxf再求导:二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有
18、关定积分命题的证明方法思考思考: 下列作法是否正确?xxx1d1112112xxd111132)(32xt 令0d23112111ttt例例9. 求.de12ln02xx解解: 令,sinetx则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(lntttcbcadcos99例例10. 选择一个常数 c , 使0d)(cos)(99xcxcxba解解: 令, cxt则xcxcxbad)(cos)(99因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使)(cbca即2bac可使原
19、式为 0 .例例11. 设,de)(022yxfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xxxxde) 1(31102322101) 1(2) 1d(e) 1(612xxx10de6euuu01e) 1(6euu)2(e61) 1(2 xu令1) 12(222xxxx例例12. 如图, 曲线 C 的方程为)2, 3(),(点xfy 解解: .d)()(302xxfxx 032)()(xfxx 是它的一个拐点, 线, 其交点为(2,4), 设函数f (x)具有三阶连续导数, 计算定积分xxfxxd)()
20、(302 直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0, 0)与(3, 2)处的切 xxfxd)() 12(30 0)3( f(2005 考研)03)() 12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)0()3( 216ff204162)3(; 2)0(ff043211 2 3 4 xO1l2ly)(xfy C例例13. 若, 1,0)(Cxf解解: 令试证 :xxfxd)(sin0 xxfd0)(sin2xxfd20)(sin,xt则xxfxd0)(sinttftd)(sin)(0ttfd0)(sinttftd)(sin0 xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20因为xxfd)
21、(sin0 xxfd)(sin20 xxfd2)(sin对右端第二个积分令xt xxfd)(sin220综上所述xxfxd)(sin0 xxfd)(sin20 xxfd)(sin20例例14. 证明恒等式)20(4darccosdarcsin22cos0sin0 xttttxx证证: 令ttttxfxxdarccosdarcsin)(22cos0sin0则)(xfxxxcossin2xxxcossin20因此, )0()(2xcxf又)(4fttttdarccosdarcsin212100tttdarccosarcsin210td21024故所证等式成立 .例例15.,0)(,)(, )(xg
22、baxgxf且上连续在设试证, ),(ba使baxxfd)(baxxgd)()()(gf分析分析: 即证0d)()(d)()(babaxxgfxxfgxaxxgd)(x故作辅助函数baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()(至少存在一点xaxxfd)(x即xaxxgd)(baxxfd)(xaxxfd)(baxxgd)(x0证明证明: 令baxabaxaxxgxxfxxfxxgxFd)(d)(d)(d)()()(, )(xgxf因在,ba上连续,)(上连续在故baxF在,),(内可导ba, 0)()(bFaF且至少, ),(ba使,0)(F即0d)()(d)()(ba
23、baxxgfxxfg因在,ba上)(xg连续且不为0 ,0d)(baxxg从而不变号,因此故所证等式成立 .故由罗尔定理知 ,存在一点思考思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?),(babaxxfd)(baxxgd)(,)()(gf要证: xattfxFd)()(xattgxGd)()(提示提示: 设辅助函数 例15 例例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 . 0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfab
24、ba(3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 baxxfaabfd)(2)(22(2003 考研) 证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(baxafxf(2) 设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2即 )(2d
25、)(22fttfabba(3) 因 0)()(ff)()(aff在a, 上用拉格朗日中值定理),(),( )(aaf代入(2)中结论得)(2d)(22afttfabba因此得 baxxfaabfd)(2)(22例16 题)(xf例例17. 设, ,)(baCxf证证: 设且试证 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x) 单调不减 ,0)()(aFbF即 成立.)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(
26、ax 例例18.设)(xf在1 ,0上是单调递减的连续函数， 试证1 ,0q都有不等式100d)(d)(xxfqxxfq证明证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)qxxf0d)(10d)(xxfqqxxfq0d)()1 (1d)(qxxfq)1 (q)(1fqq)()1 (2fq , 01q1 ,2q10 q当时,)()()1 (21ffqq0故所给不等式成立 .明对于任何例例19. 求抛物线21xy在(0,1) 内的一条切线, 使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解: 设抛物线上切点为)1 ,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1 (2xXxxY它与 x , y 轴的交
27、点分别为, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面积)(xSxx2) 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyx)(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS且为最小点 . 故所求切线为34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一驻点33x, 1 , 0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 11MBAyx例例20. 设非负函数上满足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1) 求函数; )(xf(2) a 为何值时, 所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解: (1)时，当0 x由
28、方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2 ,体积最小 ? 即xCxaxf223)(故得xyO又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小值点, 因此5a时 V 取最小值 .1)(xf0 x e例例21. 过坐标原点作曲线xyln轴围成平面图形D.(1) 求 D 的面积;(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.解解: (1) 设切点的横坐标为,0 x则所求切线方程为)(1ln000 xxxx
29、yxxy及ln, 01ln0 x由切线过原点知的切线. 该切线与曲线因此,0ex 故切线方程为xey1D 的面积为yex 12eDxylnyOxxye11yyeeAyd)(10(2003考研)(2) 求D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积.切线、x 轴及直线ex 2131eVex 所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线ex yeeVyd)(2102ex 所围图形绕直线旋转所) 14(22ee因此所求旋转体体积为31256221eeVVV0 x eyex DxylnyOxxye11得旋转体体积为例例22. 证明曲边扇形),(0,0rr 绕极轴.dsin)(323rVox)(rr drd证证: 先求d,上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积.doxV体积元素rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋转而成的体积为xOxy224xxyOyx)d5(dxu 故所求旋转体体积为xxxd5)2(225157516xxxVd)2(552220uVdd2APxd2ud例例23. 求由xy2与24xxy所围区域绕xy2旋转所得旋转体体积.解解: 曲线与直线的交点坐标为),4,2(A曲线上任一点)4,(2xxxP到直线xy2的距离为xx2251),(2如图为数轴以uxy u则