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1、第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变上限的积分、牛顿上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。法、分部积分法、广义积分。数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理学和社会科学。会有这样一天，经济的争执学和社会科学。会有这样一天，经济的争执能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。现在想象这一天的到来
2、不再是谎缪的了。伽德纳伽德纳Archimedes第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质abxyo实例实例1 1 （求曲边梯形的面积）（求曲边梯形的面积）一、定积分问题的提出一、定积分问题的提出abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然显然:小矩形越多，矩形总面积越接近曲小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）Aera=?公元前公元前二百二百多年前的阿多年前的阿基米德就已基米德就已会用此法求会用此法求出许多不规出许多不规则图形的面则图形的面积积阿基米德阿基米德观察下列演示过程，
3、注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如图所示：曲边梯形如图所示：（1）分割）分割（2）近似代替）近似代替（3）求和）求和（4）取极限）取极限曲边梯形面积为曲边梯形面积为求曲边梯形面积所用的方法步骤：求曲边梯形面积所用的方法步骤：分割、分割、近似代替、近似代替、求和、求和、取极限取极限.实例实例2 2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便，求出各小段的路程再相加，
4、便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值分过程求得路程的精确值（1）分割）分割（3）求和）求和（4）取极限）取极限（2）近似代替）近似代替二、定积分的定义二、定积分的定义定义定义被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限黎曼积分黎曼积分积分和积分和注意注意:则则则当则当例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分解解曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义前前前前定理定理1 1定理定理2 2定积分存在定理定积分存在定理
5、(可积充分条件可积充分条件)三、定积分的性质三、定积分的性质对定积分的对定积分的补充规定补充规定:说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小在，且不考虑积分上下限的大小证明证明（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1证明证明性质性质2 2补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.例例 若若（定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性）则则性质性质3 3证明证明性质性质4 4性质性质5 5性质性质5 5的推论：的推论：证明证明（1）（定积
6、分不等式性质定积分不等式性质）证明证明说明：说明：可积性是显然的可积性是显然的.性质性质5 5的推论：的推论：(绝对值不等式性质绝对值不等式性质)解解令令于是于是证明证明（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围）性质性质6 6解解解解证明证明由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的介值定理介值定理知知性质性质7 7（定积分中值定理定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使 小小 结结定积分的实质定积分的实质：特殊和式的极限：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和
7、方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）4典型问题典型问题（）估计积分值；（）估计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小证证命题得证命题得证所以可积必有界所以可积必有界.思考题思考题1、将和式极限：、将和式极限：2、表示成定积分、表示成定积分.思考题解答思考题解答1、原式、原式例例证明证明利用对数的性质得利用对数的性质得极限运算与对数运算换序得极限运算与对数运算换序得故故练练 习习 题题练习题答案练习题答案练习题答案练习题答案