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1、第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1 1页页定积分及其应用习题章节 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2 2页页问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨
2、公式莱布尼茨公式一、主要内容一、主要内容定积分的应用定积分的应用第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3 3页页1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积A）第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4 4页页实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5 5页页2 2、定积分的定义、定积分的定义定义定义第六章第六章 定积分定
3、积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第6 6页页记为记为第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第7 7页页可积的两个可积的两个充分充分条件：条件：定理定理1定理定理23 3、存在定理、存在定理第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第8 8页页4 4、定积分的性质、定积分的性质性质性质1性质性质2性质性质3第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第9 9页页性质性质5推论：推论：（1）（2）性质性质4第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院
4、11/6/202211/6/2022第第1010页页性质性质7(定积分中值定理定积分中值定理)性质性质6积分中值公式积分中值公式第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1111页页5 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理）第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1212页页定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式）也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1
5、313页页6 6、定积分的计算法、定积分的计算法换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1414页页、广义积分、广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1515页页(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1616页页5 5、定积分应用的常用公式、定积分应用的常用公式(1)平面图形的面积平面图
6、形的面积直角坐标情形直角坐标情形第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1717页页如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1818页页极坐标情形极坐标情形第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第1919页页(2)体积体积xyo第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2020页页平行截面面积为已知的
7、立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2121页页(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2222页页C曲线弧为曲线弧为弧长弧长(4)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2323页页五、定积分在经济上的应用五、定积分在经济上的应用 主要目的：如已知目标函数的边际函数，如主要目的：如已知目标函数的边际函
8、数，如何求原函数（即目标函数）何求原函数（即目标函数）第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2424页页例例1.求解解:因为时,所以利用夹逼准则得典型例题典型例题:一、与定积分概念有关的问题的解法一、与定积分概念有关的问题的解法第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2525页页思考例1下列做法对吗?利用积分中值定理不对不对!因为 依赖于且说明说明:故没理由认为第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2626页页解：解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式已
9、知利用夹逼准则夹逼准则可知(1998考研)例例2.求第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2727页页思考思考:提示提示:由上题故第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2828页页练习练习:1.求极限解：解：原式2.求极限提示提示：原式左边=右边第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第2929页页例例3.估计下列积分值解解:因为即第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3030页页例例4.证明证证:令则令得故第六章第
10、六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3131页页例例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3232页页例例6.且由方程确定 y 是 x 的函数,求解：解：方程两端对 x 求导,得令 x=1,得再对 y 求导,得故第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3333页页例例7.求可微函数 f(x)使满足解解:等式两边对 x 求导,得不妨设 f(x)0
11、,则第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3434页页注意 f(0)=0,得第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3535页页例例8.求多项式 f(x)使它满足方程解解:令则代入原方程得两边求导:可见 f(x)应为二次多项式,设代入 式比较同次幂系数,得故再求导:第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3636页页二、有关定积分计算和证明的方法二、有关定积分计算和证明的方法1.熟练掌握定积分计算的常用公式和方法2.注意特殊形式定积分的计算3.利用各种积分技巧计
12、算定积分4.有关定积分命题的证明方法思考思考:下列作法是否正确?第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3737页页例例9.求解解:令则原式第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3838页页例例10.选择一个常数 c,使解解:令则因为被积函数为奇函数,故选择 c 使即可使原式为 0.第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第3939页页例例11.设解解:第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4040页页例例12.如图,
13、曲线 C 的方程为解解:是它的一个拐点,线,其交点为(2,4),设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分直线 l1与 l2 分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切(2005 考研)043211 2 3 4 xO第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4141页页例例13.若解解:令试证:则第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4242页页因为对右端第二个积分令综上所述第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4343页页例例14.证明恒等式证证:令则因此又
14、故所证等式成立.第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4444页页例例15.试证使分析分析:即证故作辅助函数至少存在一点即第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4545页页证明证明:令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0,从而不变号,因此故所证等式成立.故由罗尔定理知,存在一点第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4646页页思考思考:本题能否用柯西中值定理证明?如果能,怎样设辅助函数?要证:提示提示:设辅助函数 例15 第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学
15、院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4747页页例例16.设函数 f(x)在a,b 上连续,在(a,b)内可导,且(1)在(a,b)内 f(x)0;(2)在(a,b)内存在点,使(3)在(a,b)内存在与 相异的点,使(2003 考研)第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4848页页证证:(1)由 f(x)在a,b上连续,知 f(a)=0.所以f(x)在(a,b)内单调增,因此(2)设满足柯西中值定理条件,于是存在 第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第4949页页即(3)因 在a,上用
16、拉格朗日中值定理代入(2)中结论得因此得 例16 题第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5050页页例例17.设证证:设且试证:则故 F(x)单调不减,即 成立.第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5151页页例例18.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立.明对于任何第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5252页页例例19.求抛物线在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所
17、围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为则该点处的切线方程为它与 x,y 轴的交点分别为所指面积第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5353页页且为最小点.故所求切线为得 0,1 上的唯一驻点第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5454页页例例20.设非负函数曲线与直线及坐标轴所围图形(1)求函数(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得面积为 2,体积最小?即故得第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5555页页又(2)旋
18、转体体积又为唯一极小值点,因此时 V 取最小值.第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5656页页例例21.过坐标原点作曲线轴围成平面图形D.(1)求 D 的面积;(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.解解:(1)设切点的横坐标为则所求切线方程为由切线过原点知的切线.该切线与曲线因此故切线方程为D 的面积为1(2003考研)第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5757页页(2)求D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积.切线、x 轴及直线所围三角形绕直线旋转所得圆锥的体积为曲线、x 轴及直线所围图形绕直线旋转所因此所求旋转体体积为1得旋转体体积为第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5858页页例例22.证明曲边扇形绕极轴证证:先求上微曲边扇形绕极轴旋转而成的体积体积元素故旋转而成的体积为第六章第六章 定积分定积分 嘉兴学院嘉兴学院11/6/202211/6/2022第第5959页页故所求旋转体体积为例例23.求由与所围区域绕旋转所得旋转体体积.解解:曲线与直线的交点坐标为曲线上任一点到直线的距离为则