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1、第五章第五章定积分及其应用定积分及其应用习题课习题课问题问题1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定定积积分分的的性性质质定定积积分分的的计计算算法法牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式一一.本章提要本章提要定积分的应用定积分的应用1.利用牛利用牛-莱直接积分莱直接积分2.利用换元积分法积分利用换元积分法积分.注意注意:换元必换限换元必换限;不换不换元不换限元不换限3.比较两个定积分的大小比较两个定积分的大小4.证明定积分恒等式证明定积分恒等式(可作为结论掌握可作为结论掌握,如如被积函被积函数为奇偶数为奇偶时的
2、积分等时的积分等.)5.变上限积分的导数变上限积分的导数二二.本章解题类型本章解题类型6.求平面几何图形的面积求平面几何图形的面积,求旋转体的体积求旋转体的体积7.两类广义积分求解题两类广义积分求解题例例1.计算定积分计算定积分 解法一解法一令令x=secu,则则 dx=secu tanu du.原式原式=解法三解法三(以下同学们自已完成以下同学们自已完成).解法二解法二x2u原式原式=x2u例例2.计算定积分计算定积分 解解 原式原式=注注:被积函数被积函数中含绝对值中含绝对值符号的定积符号的定积分方法分方法又因为又因为f(x)在在1,2上连续上连续,f(x)在在1,2上单上单增增.例例3.
3、比较比较 与与 的大小的大小解一解一令令f(x)=1+x-lnx,当当1x0.则则,当当x1时时,f(x)f(1)=2,即即 1+xln x故故解二解二 因为因为故故因为因为证证例例4.证明证明x0at0证证例例5 证明证明证毕证毕例例6.求求解解原式原式=例例7.平面图形平面图形D是由曲线是由曲线 及直线及直线y=e 所围成所围成 的的,求求:解解(2)(1)平面图形平面图形D的面积的面积(2)平面图形平面图形D绕绕y轴旋转一周所生成的旋转体的体积轴旋转一周所生成的旋转体的体积.oyx(1)平面图形平面图形D的图形如图所的图形如图所示示另解另解(1)(1)平面图形平面图形例例8.设非负函数设非负函数曲线曲线与直线与直线及坐标轴所围图形及坐标轴所围图形(1)求函求函数数(2)a 为何值时为何值时,所围图形绕所围图形绕 x 轴一周所得旋转体轴一周所得旋转体解解:(1)由方程得由方程得面积为面积为 2,体积最小体积最小?即即故得故得又又(2)旋转体体积旋转体体积又又为唯一极小点为唯一极小点,因此因此时时 V 取最小值取最小值.CA训练题训练题CDBDAB1.C A C D B6.D B A C DCD作业作业: