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1、2022-8-81Oct. 31, 2011计算电磁学第五讲（二）Dr. Ping DU (杜平)E-mail: School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT)2022-8-82n Berenger完全匹配层 n Gedney完全匹配层 Outline2022-8-83n Berenger完全匹配层 PML媒质的定义 首先，以二维TE( )情形为例建立PML媒质的方程。 0zE 如图4所示，在直角坐标系中，电磁场不随z坐标变化，电场位于(x, y)平面。 图4 TE问
2、题 2022-8-84,xyzEEH00,电磁场只有3个分量Maxwell方程退为3个方程。媒质的介电常数、磁导率分别为磁阻率为 .Maxwell方程为 0 xzxEHEty0yzyEHEtx 0yxzzEEHHtyx(5-42)(5-43)(5-44)2022-8-85如果 00成立，则该媒质的波阻抗与自由空间波阻抗相等。当波垂直入射到媒质-自由空间分界面时，不存在反射。 zHzxzyHH和,xyzxzyEEHH定义TE情形下的PML媒质。需要将分裂为这样，PML媒质有4个场分量，其满足方程 两个分量。0()zxz yxyxHHEEty0()yzxzyxyEHHEtx (5-45)(5-46
3、)(5-47)2022-8-860yzxxzxEHHtx 0zyxyzyHEHtyxy和xy和其中，为电导率，为磁阻率。 (5-49)(5-48)2022-8-87 PML媒质中平面波的传播 考察正弦平面波在PML媒质中的传播。 0E令电场分量的振幅为，与y 轴夹角为 ，如图4所示。 zxzyHH、00zxzyHH、分裂磁场分量的振幅分别为这些场分量分别可表示为()0sinjtxyxEEe ()0sinjtxyyEEe(5-50)(5-51)2022-8-88()0jtxyzxzxHHe()0jtxyzyzyHHe和是角频率，t是时间，为复常数。 其中0E00zxzyHH、 、已知，方程(5-
4、50)-(5-53)中有4个待定量：假设将他们代入到方程(5-46)- (5-49)中，可得4个待定量的关系式为 00000sinsinyzxzyEjEHH(5-53)(5-52)(5-54)2022-8-8900000coscosxzxzyEjEHH0000cosxzxzxHjHE0000sinyzyzyHjHE消去00zxzyHH、，可得 00000cossin1sin11yxyjjj (5-57)(5-56)(5-55)(5-58)2022-8-81000000cossin1cos11xxyjjj 我们可以解出和首先，和的比值为 001sin=cos1yxjj(5-59)(5-60)20
5、22-8-811然后由式(5-60)和(5-59)可求得 。22和由(5-60)、(5-58)可求得由此，存在两组符号相反的，代表着两个相反的传播方向 选择正的一组解，有 0001cosxjG 0001sinyjG (5-62)(5-61)2022-8-812其中， 22cossinxyGww0011xxxjwj0011yyyjwj于是求得了PML媒质中平面波的传播常数。 (5-65)(5-64)(5-63)2022-8-8130用 代表该平面波的任一场分量，其振幅为。由式(5-50)-(5-53)及式(5-61)-(5-62)，有00sincoscossin0=yxxyxyjtcGcGcGe
6、ee 最后，将式(5-61)、(5-62)的值代入式(5-56)(5-57)，可解得 200001=coszxxHEwG200001=sinzyyHEwG(5-66)(5-67)(5-68)2022-8-814由式(5-63)-(5-65)，可得 000000zxzyHHHEG电场与磁场的振幅比为 001ZG现在假设两组参数 和 均满足(5-45)。 xx、yy、此时，对任何频率 均等于1. xywwG、和(5-69)(5-70)2022-8-815场分量和波阻抗的结果为 00sincoscossin0yxxyxyjtccceee00Z (71)第一指数项表明，PML媒质中的波在垂直于电场的方
7、向 以自由空间中的波速传播； 后两个指数项表明，此时波的振幅沿x和y方向按指数规律减小 式(72)表明：此时PML媒质的波阻抗与自由空间波阻抗相同(5-71)(5-72)2022-8-816 对式(5-66)，如果波沿y方向传播，并且 ，0yy 反之，如果波沿x方向传播，并且 ，0 xx则波沿x方向无衰减地传播，PML不能吸收波。则波沿y方向无衰减地传播，PML不能吸收波。观察波函数表达式(5-71)，如果 ，则沿y方向的指数项等于1，波只在x传播方向被吸收；0yy 反之，如果 ，则沿x方向的指数项等于1，波0 xx只在y传播方向被吸收2022-8-817 PML-PML媒质分界面处波的传播
8、考察电磁波从一种PML到另一种PML媒质的传播问题。先考虑分界面垂直于x轴的情形，如图5所示。图5 垂直于x轴的PML-PML媒质分界面 2022-8-81812-r 、itrEEE、 、1111xxyy、2222xxyy、设分别表示入射、透射、反射电场相对分界面的角度和媒质参数分别为如果PML媒质满足匹配条件(5-45)，根据式(5-71)，12r、分别为相对分解面法向定义的入射角、透射角、反射角(见图5) 假设分界面为无限大，入射、透射、反射波均为平面波。 itrEEE、 、00itrEEE0、记振幅分别为 由式(5-66)可写出入射、反射、透射电场在x=0分界面的表达式为 2022-8-
9、81911010sin=exp1yj tiiyEE ejjcG 1r010sin=exp1yj trryEE ejjcG 22010sin=exp1yj tttyEE ejjcG 其中， 22cossin,(1,2)kxkkykkGwwkxkykww和可由(5-64)和(5-65)算出(5-75)(5-74)(5-73)(5-76)2022-8-820由(5-69)和(5-70)式可知入射、反射、透射磁场在x=0分解面分别为1=/iiHEZ1=/rrHEZ2=/ttHEZ (5-77) (5-78) (5-79)在分界面处，切向电磁场分量yzxzyEHH和必须连续，因而有12cos -cos=
10、cosirrtEEE+=irtHHH (5-80) (5-81)2022-8-821 将式(73)-(75)代入到(80)，该式要对所有的y都成立，必须使式(73)-(75)中的指数因子相等.由此可得1=r12120102sinsin1= 1yyjjGG (5-82)这两式为PML-PML媒质分界面处的Snell定律。 (5-83)最后，式(5-80)和(5-81)变为 2022-8-822010102coscos=cosirtEEE000112+=irtEEEZZZ(5-84)(5-85) 定义反射系数为分界面处反射与入射电场切向分量之比。由上面两式，可得TE情形的反射系数为22112211
11、coscos=coscospZZRZZ由式(5-70)，反射系数还可写成12211221coscos=coscospGGRGG12GG、12、其中是的函数，可由(5-76)计算 (5-86)(5-87)2022-8-823,yy考察特殊情况：两种媒质的相同。此时Snell定律(5-83)变为 1212sinsin=GG将(5-88)代入到式(5-87)，有12211221sincossincos=sincossincospR(5-88)(5-89)对(5-89)两边平方，将 12GG、用式(5-76)代入，注意此时 12yyww,得 212121sin cos=sincosxxww(5-90)
12、2022-8-824由(5-89)和(5-90)，可得 1212=xxpxxwwRww(5-91) 这表明：即使媒质不满足匹配条件式(5-45)，只要两种媒质具有相同的 ,yy,反射系数将不随入射角 1变化； 只通过式(64)、(65)随频率而改变 如果媒质是匹配的，有 121GG,式(5-88)、(5-89)简化为 12=12121212sinsin=sin=sin=GG()(5-92) 1221=0sincossincos0pR(5-93) 2022-8-825这表明：如果媒质满足匹配条件式(5-45)，只要两种媒质具有相同的 ,yy, 任意入射角、任意频率的平面波将无反射地通过PML-P
13、ML媒质分界面当PML-PML分界面垂直于y轴时，有类似结论 综上所述，可得出结论： 在垂直于x轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的 ,yy则反射系数始终为零 相同, 在垂直于y轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的 ,xx相同,则反射系数始终为零 2022-8-826u 用于FDTD的PML 图6为PML与FDTD网格结合的方案。FDTD仿真区域假设为自由空间，它被PML媒质包围，PML又被PEC包围。 图6 FDTD网格与PML的结合 2022-8-8270cos( )(0)exprrc(5-94)0cos( )exp2Rc(5-95)00cos( )exp2( )Rr dr
14、c(5-96)在PML媒质中距离分界面为r的地方，外向平面波的幅度可写成 其中 是相对媒质分界面定义的入射角， 是x或yy如果PML媒质厚度为 ，则其表面的反射系数为 电导率从自由空间-PML分界面的0到PML最外面逐渐增加。 设离开自由空间-PML分解面距离为r处的导电率为 ( ) r则分界面反射系数为 ，2022-8-828如果取max( )nrr(5-97)(5-98)将其代入到(5-96)，可得max02cos( )exp(1)Rnc当0(垂直入射)时， max02(0)exp(1)Rnc(5-99)2022-8-829PML中差分格式 在PML中可以采用指数差分，也可以采用普通的中心
15、差分公式二者的计算复杂度相当，准确程度也差不多对于PML媒质中的偏微分方程(5-46)-(5-49)，仍旧采用Yee差分网格 xyEE、的取样位置不变；zxzyHH、都在标准Yee差分网格中 zH的取样位置取样(见图7) PML媒质内部，式(5-46)-(5-49)的指数差分格式分别为 2022-8-830图7 右上角区域的FDTD网格 2022-8-83100( )( )111221122111,22( )1111,22221111,2222yyjtjtnnxxynnzxzynnzxzyeEijeEijjyHijHijHijHij00( )( )1112211221111,222( )111
16、1,22221111,2222xxititnnyyxnnzxzynnzxzyeEijeEi jixHijHijHijHij(5-100)(5-101)2022-8-832001( + )12( + )211221111111,+,+1,1222222( + )2xxititnnnnzxzxyyxeHijeHijEijEi jix001( + )12( + )211221111111,+,+,1,1222222( + )2yyjtitnnnnzyzyxxyeHijeHijEijEijjy(5-102)(5-103)其中，xx、在左、右侧边及角处是 x(i)的函数，在上、下侧边为零 在上、下侧边及
17、角处是 y(j)的函数，在左、右侧边为零 yy、2022-8-833 对于位于分界面上的电场分量，其差分格式中要用到自由空间的磁场分量zzxzyHHH在jJ的上分界面 00( )( )1111222111,22( )111111,222222yyJtJtnnxxynnnzxzyzeEijeEiJJyHiJHiJHiJ(5-104)在的右分界面 iI00( )( )1111222111,22( )111111,222222xxItItnnyyxnnnzxzyzeEI jeEI jjxHIjHIjHIj(5-105)2022-8-834在公式中， ( )( )( )( )xxyyiijj、均取以取
18、样点为中心的单元上的平均值,如 ( )2( )21( )( )xx ixxxx iix dxx0()zxz yxyxHHEEty0()yzxzyxyEHHEtx 0yzxxzxEHHtx 0zyxyzyHEHty(5-106)(5-107)(5-108)(5-109)(5-110)2022-8-835结论： 在垂直于x轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的 ()yy,相同,则反射系数始终为零 在垂直于y轴的PML-PML媒质分界面，如果两种媒质的 相同,则反射系数始终为零 ()xx,对TM模，可以像TE情形那样构造无反射PML吸收层。 三维情况的PML 此时，直角坐标系下的6个场分量均被
19、分裂：xxyxzEEEyyxyzEEEzzxzyEEExxyxzHHHyyxyzHHHzzxzyHHH2022-8-836PML媒质中的场分量满足下列方程 0()xyzxzyyxyHEEHty 0()yxyzxzzxzEEHHtz0()yzxyxzzyzHEEHtz 0()yxzxzyxyxHEEHtx0()yxyzzxxzxEEHHtx (5-111)(5-112)(5-113)(5-114)(5-115)2022-8-8370()zyxyxzyzyHEEHty0()xyzxzyyxyEHHEty0()yxyzxzzxzHHEEtz 0()yzxyxzzyzEHHEtz0()yxzxzyxy
20、xEHHEtx 0()yxyzzxxzxHHEEtx0()zyxyxzyzyEHHEty (5-116)(5-119)(5-118)(5-117)(5-120)(5-121)(5-122)2022-8-838匹配条件为 00(, , )iiix y z当该条件满足时，波在i方向很快衰减。 2max( )irrmax2cos( )exp3iR(5-123)(5-124)(5-125)2022-8-839对方程(5-111)-(5-122)进行差分化，得PML媒质中的差分格式 112211,1, ,11111122,A,B222222nnzznnhhxyyxyyEi jkEi j kHi jkjH
21、i jkjy 112211,1,11111122,A,B222222nnyynnhhxzzxzzEi jkEi jkHi jkkHi jkkz 112211, ,1, ,11111122, ,A, ,B222222nnxxnnhhyzzyzzEij kEij kHij kkHij kkz(5-126)(5-127)(5-128)2022-8-8401122111, , ,11111122, ,A, ,B222222nnzznnhhyxxyxxEij kEi j kHij kiHij kkx 1122111,11111122,A,B222222nnyynnhhzxxzxxEijkEi jkHij
22、kkHijkix 112211,1, ,11111122,A,B222222nnxxnnhhzyyzyyEijkEij kHijkjHijkjy(5-129)(5-130)(5-131)2022-8-841 1122121111,112222, ,A, ,B22nnzznenexyzxzzHijkHijkEij kk Eij kky 112211111, , ,1112222, ,A, ,B222nnyynenexzzxzzHij kHij kEij kkEij kkz 112211111,1112222,A,B222nnxxneneyzzyzzHi jkHi jkEi jkk Ei jkkz
23、(5-134)(5-133)(5-132)2022-8-842 112211111,1112222,A,B222nnzzneneyxxyxxHijkHijkEi jkiEi jkix 112211111, , ,112222, ,A, ,B22nnyynenezxxzxxHij kHij kEi j ki Ei j kix 112211111,1112222, ,A,B222nnxxnenezyyzyyHi jkHi jkEi j kj Eijkjy(5-135)(5-136)(5-137)2022-8-843其中，系数A、B分别按不同差分格式分别给出： (1)指数差分格式112Aexp(,
24、, )2ihiltlix y z121 exp1B(, , )122ihiiltlix y zl Aexp(, , )ieiltlix y z 1 expB(, , )ieiiltlix y zl(5-138)(5-139)(5-141)(5-140)2022-8-844(2) 标准中心差分格式12112A(, , )12212ihiiltlix y zlt1B(, , )21212hiitlix y zlt 12A(, , )12ieiiltlix y zlt B(, , )12eiitlix y zlt(5-142)(5-143)(5-144)(5-145)2022-8-845 PML参数
25、选择 PML层数N、电导率分布阶数n、PML表面反射系数R(0)。数值实验表明: 减小反射误差措施 误差来自PML外侧PEC引起的理论反射系数；数值网格引起的误差。当电导率分布阶数较小时，前者为主；当其较高时，后者为主。 减小误差的措施有： 分界面出参数合理取值； 1) 当PML厚度固定，减小R(0)可以使局部及总体误差都单调减小。但当其小于10-5时，这种现象不再存在。一般选取R(0)=1%.2) 增加PML厚度可以使局部及总体误差都单调减小。但层数太多增加计算量。一般N为48层。 3) 电导率分布阶数的改变不会影响计算量、但会影响吸收边界效果。常数分布会带来较强的数值反射；线性分布可以改善
26、结果；选择n=2可进一步改进吸收效果。 2022-8-846 用吸收算子代替PML外侧的理想导体 衰减模的吸收 1997年，南京理工大学 D. G. Fang (方大纲)教授等在亚太微波会议上提出了MPML(修正PML)来吸收衰减模。2022-8-847n Gedney完全匹配层(UPML) 与Berenger提出的PML在数学上是等效的 理论体系是Maxwell方程的,便于理解和高效数值实现 既可吸收传播模，也能同时吸收凋落模。 初始Berenger的PML难以完成的 完全匹配单轴媒质 设一任意极化的时谐平面波 0exp()inciixzjxjzHH在各向同性媒质中传播，并照射到半无限大空间
27、的单轴各向异性媒质假设分界面为z=0平面 (146)2022-8-848在单轴各向异性媒质中激起的是平面波，其满足Maxwell方程 传播常数为 aiaxzxz这样能保证分界面处相位匹配 将平面波代入到Maxwell方程，得 0ar EH0ar HEwhere rrare the relative permeability and the relative permittivity of the isotropic media, respectively, which areand(148)(147)2022-8-849000000ccd000000aab(149)和(150)式中，假设了该各
28、向异性媒质关于z轴旋转对称。 注：当时谐场的时间因子(time dependence)为 exp()j t时，j k这样， jkk为波的传播矢量 (149)(150)2022-8-850由(149)和(150)，可推导得波动方程 10aa2kH +Hwhere2002rrk (151) can be expressed in matrix form as 12112121212000002zxzx2zxyzxzxk caaHk cabHHak da whereixxazzand(151)(152)2022-8-851 只有系数行列式为零时，才可以得到非零解，也就得到了该单轴媒质的色散关系。这样
29、，我们可得到4个本征模解。 对其进行去耦分解，得到前传和后传的 yTE模和yTM模它们满足121212120,0,2zxy2zxyk cabfor TEk acdfor TM101exp(2) exp()iiizxzyHjzjxjzH101exp(2)1exp(2)exp()iiiiiixzzzxzxjzzjzHjxjzE计算分界面的反射系数。先考察 yTE模入射。上半部各向同性媒质中的场表示为 (153)(154)(155)2022-8-852透射进入各向异性媒质半空间的波也是 yTE, 满足色散关系(153), 可表示为 20exp()iixzyHjxjzH1120exp()iaiaxzx
30、zbaxzHjxjzEwhereandare the reflection and transmission coefficients, respectively 利用边界切向分量连续条件，得 11iazziazzaa 121iziazza (156)(157)(158)(159)2022-8-853我们需要使反射系数对任意入射角都为0. 也就是说， 1iazza由式(152)，可进一步表示为 21211()()i2izxk cab awith22()()i2izxk显然，当ca且1ba时，1iazza成立.对yTM模, 可相似地推导出无反射条件为 ca且1da。由此，可以得出： 当平面波照射
31、到由式(149)和(150)描述的单轴各向异性媒质时， 如11acbd, 则平面波无反射. 且不随入射角、极化、频率变化而变化 另外，由式(153)可知，此时 yTE模和yTM模的传播特性相同 .(160)2022-8-8540001000101001zzzjjj为使单轴媒质有耗，可取 01/zaj 此时zr已对归一化于是，相对介电常数和相对磁导率张量为 (161)2022-8-855色散关系现在可表示为 22220()()1aizxzkj(162)由此可解出 01aizzzj (163)单轴媒质中的 yTE模场表达式为 20exp()exp()iixzzyHjxjzzH(164)2022-8
32、-856020001exp()exp()izxiiizxzzrrjxzHjxjzz E(165)where00cosiizzzz (166)i是相对于z轴的入射角。透射波与入射波的相速相同。 透射波沿z轴是衰减的，衰减常数不随频率变化，但与入射角及单轴媒质的导电率有关。透射波的横向特征波阻抗与入射波相同。因此，媒质是完全匹配的。2022-8-857如果上半部各向同性媒质是有耗的，相应的入射波是有衰减的平面波0exp()inciixzxzHHMaxwell旋度方程为 0arj EH0arj HEwhereaiaxzxz.0 ( )rrj is the complex relative diele
33、ctric constant. is the conductivity of isotropic media. The complex wavenumber becomes 2200rrk (167)(169)(168)2022-8-858仍然假设单轴各向异性媒质是关于z轴旋转对称的， 和满足(149)和(150) 此时，单轴各向异性媒质中的 yTE模和 yTM模满足色散关系 12121212()()0,()()0,2aizxy2aizxyk cabfor TEk acdfor TM(170)yTE模的反射系数为 11/()/()reiniaiayyzzzzHHaa (171)由匹配条件 0
34、要求1iazza(172)2022-8-859According to the dispersion relation, we have1221211()()aizxak cab a (173)It can be observed that (172) holds when c=a and b=a-1.For the mode, we can derive the condition with zero reflection, which is 11acbdyTM可得出结论：当有耗平面波照射到由式(149)、(150)描述的单轴各向异性媒质时，如果 ,则平面波将全部透射到该单媒质中。 11ac
35、bd它不会随入射波的入射角、极化、频率的变化而变化。 2022-8-860如果仍取 01/zaj 由iiizzzj和色散关系可以推出 00aiiiizzzzzzzj(174)当入射波主要特征是凋落波时， 0/iizzz 观察(173)式发现单轴媒质几乎不提供附加衰减，电磁波在其中以与入射波相同的速度衰减。 To accelerate the attenuation, we can choose0zzaj(175)2022-8-861where1zThus, we can obtain00aiiiizzzzzzzzzj (176)u UPML媒质中FDTD差分格式(FDTD formulatio
36、n in the UPML) 如果电磁波入射区是无耗的各向同性媒质，以相对于z轴旋转对称的完全匹配单轴各向异性媒质为例，Maxwell旋度方程可写成 00001000101001yzzxxzzryzyxzHHjyzEHHjEzxjEHHxyj (177)2022-8-86200001000101001yzzxxzzryzyxzEEjyzHEEjHzxjHEExyj (178)式(176)中的第三式不是标准形式，必须单独处理.定义011zzzEjE(179)采用两步方式进行FDTD仿真2022-8-863于是，(177)中的第三式可写成 yxzHHExyt(180)采用标准FDTD方式刷新 zE
37、11122112211( , ,)( , ,)221111(, ,)(, ,)22221111( ,)( ,)2222nnzznnyynnxxtEi j kEi j kHij kHij kxHi jkHi jky(181)2022-8-864By (179), we have 0zzzzj EEj E(182)通过替换 /jt , 可得其时域表达式 0zzzzEEEtt(183)By using the central difference, we obtain 111001122nnnnzzzzzzttEEEE(184)于是，利用式(181)和(184)可以通过两步方式刷新法向电场分量 zE
38、2022-8-865 对式(178)，记等效磁阻率为 z, 满足关系 00zz(185)于是，式(178)可重写为 00001000101001yzzxxzzryzyxzEEjyzHEEjHzxjHEExyj (186)式(186)中第一、二两式与横向场分量 xyHH、相关，表达式同各向同性有耗媒质中的公式完全一样，因而可使用标准的FDTD差分格式。 2022-8-866式(186)中第三式不是标准形式，需要单独处理。采用两步方式进行FDTD仿真。定义011zzzHHj(187)于是，式(186)中第三式可写成 yxzEEHxyt (188)采用标准FDTD方式刷新 zH2022-8-8671
39、1121111(, )(, )222211(1, )( , )2211(,1, )(, , )22nnzznnyynnxytHijkHijkEijkEi jkxEijkHij ky(189)由式(187)，有 0zzzzj HHj H(190)通过替换 /jt ，得到其时域表达式 2022-8-8680zzzzHHHtt(191)用中心差分，得到其差分格式如下 11112222001122nnnnzzzzzzttHHHH(192)这样，利用式(189)和(192)可以通过两步方式刷新法向磁场分量 zH如果电磁波入射区是有耗导电的各向同性媒质，相对介电常数为复数 ( )r ，完全匹配PML媒质中
40、的Maxwell旋度方程可写为 2022-8-869000000 ( ) 00100yzzzxxzzrzyzyxzzHHjyzEHHjEzxjEHHxyj (193)00000000100yzzzxxzzrzyzyxzzEEjyzHEEjHzxjHEExyj (194)2022-8-870对于(193)中的第一、第二两式，定义 ( )xrxEE ( )yryEE (195)(196)于是，第一、第二式可以写为 00yzzzxHHjEyzj00 xzzzyHHjEzxj(197)(198)2022-8-871Transforming them into time-domain counterpa
41、rts, we have 0yxzzzxHEHEyzt 0yxzzzyEHHEzxt (199)(200) 他们与各向同性有耗媒质中的公式完全相同，因此可使用标准的FDTD差分格式刷新得到 和 . xEyE 转到第二步，由辅助关系式(195)、(196)刷新 xEyE和.对各向同性的有耗媒质， 0 ( )rrj (201)2022-8-872辅助关系(195)、(196)的时域表达式为 0 xxrxEEEtt(202)0yyryEEEtt(203)由中心差分可得到刷新 xE的公式为 1100012111122nnnnrxxxxrrrtEEEEtt (204)2022-8-873刷新 yE的公式
42、与此相似。 对于式(192)中的第三式，定义 01zzzzEEj(205)这样，式(192)的第三式，可写成0 ( )yxrzHHjExy (206)对于各向同性的有耗媒质， 0 ( )rrj ,上式可按标准的FDTD公式刷新 zE2022-8-87410011220011221211, , ,22121111, , ,2222121111,2222nnrzzrnnyyrrnnxxtEi j kEi j ktHij kHij ktxtHi jkHi jky (207)从解的稳定性考虑，对良导体也可采用指数差分格式或Luebbers差分格式。然后，转入第二步，由辅助关系(205)可得到时域方程2
43、022-8-8750zzzzzEEEtt(208)用中心差分可得到其差分格式如下 110022nnnnzzzzzzzzttEEEE(209)于是，利用式(207)和(209)可以通过两步方式刷新法向电场分量 zE 对于式(192)，采用等效磁阻率 z的定义(185)，可将式(194) 重写为 2022-8-87600000000100yzzzxxzzrzyzyxzzEEjyzHEEjHzxjHEExyj (210)进一步，记 rrz /zzz(211)(212)2022-8-877则式(210)可进一步写成 00000000100yzzzxxzzrzyzyxzzEEjyzHEEjHzxjHEE
44、xyj (213)该式与式(186)形式相同，差分格式也应该相同。这里不再叙述。 对于以 xconst或yconst平面为分界面的单轴各向异性完全匹配层，其公式也类似。2022-8-878u角区的差分格式角区的差分格式 在角区，电磁场满足Maxwell旋度方程 0rj EH0rj HE(214)(215)其中，00= = 0000yzxxzyxyzs sss sss ss(216)xyzsss、 、分别只与x、y、z方向的分界面有关，且分别只沿x、y、z方向有变化 2022-8-87901xxsj 01yysj 01zzsj (217)(218)(219)在角区之外，相应的 i为零，式(216
45、)退化为单一平面边界的结果。 角区的差分格式可按相似的过程推导出。以式(215)中的第三个方程为例，定义 xzzzsEEs(220)2022-8-880该式中的第三个方程可写成 0yyxzzHHj EExy(221)将其转换到时域，可用标准的FDTD差分格式刷新 zE然后由式(220)，可得 00 xzzzzzj EEj EE(222)将其转换到时域，采用中心差分格式，可得到下列二阶精度的差分方程 10010001112221122nnzzxzznnzzxxtttEEEEtt(223)2022-8-881由式(220)的标准FDTD公式和式(222)，按两步方式可以刷新角区的 zE其余分量的F
46、DTD刷新公式可相似地得到。 如仿真区是有耗导电媒质，此时设在角区的电磁场满足Maxwell旋度方程 0rj EH0rj HE(224)(225)其中， 0 ( )=rrj ， 和依然按照式(215)定义 0 xxxsj0yyysj0zzzsj (226)(227)(228)差分格式的推导与前面相似。 2022-8-882u PML的参数选择 Parameter choice for PML 为避免在PML表面引入反射，以 0zz的PML表面为例， ( )zz( )zz、 应从表面起渐变增加，可采用如下形式 0,max|( )1 (1)mzzmzzzzd 0max|( )mzmzzzzd (229)(230)其中， zd为PML媒质厚度。根据Gedney的经验，一般取 m=4,8 10zdz.注意：PML媒质中的时间步长仍要满足CFL稳定条件。 (231)max1150zrm2022-8-883Thank you very much!