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1、7/28/2022 9:06:55 AM1第二讲 有限差分法Dr. Ping DU (杜平)School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT)E-mail: 7/28/2022 9:06:56 AM2x( )f x()( )ff xhf x 它是函数 的一阶差分。由于它是有限量的差，被称为有限差分。其与增量的商为一阶差商 ()( )ff xhf xxh( )f xxh (1)(2)微积分中一阶导数0()( )hdff xhf xdxhlim(3)可以看出，h越小，(2)和
2、(3)的值越接近。 2.1 差分运算基本概念设函数 ，其自变量 有一很小的增量 ,则该函数的增量为7/28/2022 9:06:56 AM3( )()( )dff xf xhf xdxxh(前向差分)一阶导数也可近似表达为 ( )( )()dff xf xf xhdxxh(后向差分)或者，( )()()2dff xf xhf xhdxxh(中心差分) (4)(5)(6)一阶导数可近似表示为它们对一阶导数的逼近度可通过Taylor级数展开式得到。7/28/2022 9:06:56 AM4222( )1( )()( ).2!df xd f xf xhf xhhdxdx222( )1( )()( )
3、.2!df xd f xf xhf xhhdxdx式(4)和(5)都略去了 及更高幂次项。 2h式(6)相当于将相应的Taylor公式 333( )2( )()()2.3!df xd f xf xhf xhhhxhdxdx的 项及更高幂次项略去了。 3h(7)(8)(9)由Taylor级数展开，式(6)的截断误差小于式(4)和(5)。因此，一般采用中心差分公式。 7/28/2022 9:06:56 AM5对二阶导数也可近似表达为差商的差商（二阶差商），如下 22211()( )( )()()2 ( )()xxd fdfdfdxxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh
4、推导过程： 由式(7)和(8)，有 242424( )2( )()()2 ( )4!d f xd f xf xhf xhf xhhdxdx当略去 及更高幂次项，可得到式(10). 4h(10)(11)7/28/2022 9:06:56 AM6在上面的差分公式中，自变量x的微分为 . 在广义差分中，可取 dxxh 0,2( , )()his fixeddxhhO h如1( , )hehl 有限差分法原理及步骤 原理：有限差分法是利用差分原理，将电磁场连续域的问题变 为离散系统的问题来求解。 有限差分法分析电磁场边值问题，其步骤为： (12).7/28/2022 9:06:56 AM7 采用一定的
5、网格划分离散场域。常见的规则网格有正方形、矩形、平行四边形、等角六边形和极坐标网格等。 基于差分原理，对场域内偏微分方程以及场域边界上的边界条件，也包括不同媒质分界面上的边界条件，进行差分离散化处理，给出相应的差分计算格式。 结合选定的代数方程组的解法，编写计算程序，求解由上所得 对应于待求边值问题的差分方程组。所得解答即为边值问题的数值解。 7/28/2022 9:06:56 AM8 2.2 二维电磁场Poisson方程的差分格式设 在一个由边界C限定的二维场域D内满足Poisson方程 22222( , )f x yxy图1 场域D及矩形网格离散 (2.2-1)7/28/2022 9:06
6、:57 AM9第一步: 采用矩形网格离散场域D. 点0对x的一阶偏导数可通过前向/后向差商得到，其为 1001xh或0303xh可以看出，单侧差商误差较大。 (2.2-2)(2.2-3)7/28/2022 9:06:57 AM10为得到较精确的差分格式，引入待定常数 、 ，对 和 进行Taylor级数展开，有 1310302221313200()()1()().2hhhhxx 令 项系数为0，得 和 满足 220 x2321hh 将(2.2-5)代入式（2.2-4），并舍去高次项，可得 的另一差分表达式 0 x2231013001 313()()()hhxhh hh(2.2-4)(2.2-5)
7、(2.2-6)7/28/2022 9:06:57 AM11若 ，有 13xhhh1302xxh推导二阶偏导数的差分表达式。令(2.2-4)中的 项的系数为0，则 0 x 和 满足 31hh将(2.2-8)代入式(2.2-4)，忽略三阶以上的高次项，可得 231013021 3130()()2()hhxhh hh(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)7/28/2022 9:06:57 AM12若 ，有 13xhhh21302202xxh与上面的类似，我们可以很容易地推导出 2420240224240()()2()hhyh h hh若 ，有 24yhhh22402202yyh(2.2-10)(
8、2.2-11)(2.2-12)7/28/2022 9:06:57 AM13将(2.2-9)、（2.2-11）代入式（2.2-1)，可得二维Poisson方程的差分表达式 23101304202401 313242400()()()()2()()(,)hhhhhh hhh h hhf xy当 , ，上式变为 13xhhh24yhhh2130240220022(,)xyhhf xy可用节点的下标将上式写为 1,1,1,1,221122iji jiji ji ji ji jxyfhh这就是“五点差分格式”。 (2.2-13)(2.2-14)(2.2-15)7/28/2022 9:06:57 AM14
9、当 ，有 xyhhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh f当 时 (Laplace方程)，上式变为 0f 1,1,1,1,40ijiji ji ji j柱坐标系下的差分公式 22222211rrrrrz柱坐标系下Laplace算子的公式(2.2-16)(2.2-17)(2.2-18)7/28/2022 9:06:57 AM15如果 是旋转对称的，则上式右边第二项为0. 经过简单推导，可得 222221rrrz图2 旋转对称场的不等距网格 (2.2-19)7/28/2022 9:06:58 AM16其差分表达式对不等距网格为 031024241 3 0224424030113
10、0 11303132222()()22()()rhhh hhh rh hhh hhrhrhr h hhr h hh在等间距情形下， 。令轴线处 ，点0位于第j (j1)行,则。 。根据式（2.2-20），有1234hhhhh1j 0(1)rjh02413114112(1)2(1)jj(2.2-20)(2.2-21)7/28/2022 9:06:58 AM17若点0位于 轴上，需特别处理。 ， 。由罗必塔法则， 1j 0r 0r22220001limlim/ rrrrrrrr这种情况下，Laplace方程变为 222220rz(2.2-22)(2.2-23)7/28/2022 9:06:58 A
11、M18等间距情形时，差分格式推导 2204222zh2130222rh由于旋转对称性， 。则式（2.2-25）变为 132102222rh(2.2-25)(2.2-24)(2.2-26)7/28/2022 9:06:58 AM19将式（2.2-24）、（2.2-26）代入式（2.2-23），有22221020422012422022220640rzhhh经过化简，可得 012464(2.2-27)(2.2-28)7/28/2022 9:06:58 AM20Homework:1. Derive (2.2-20) or (2.2-21).7/28/2022 9:06:58 AM21Thank you very much!