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1、2022年7月26日0时32分1计算电磁学第七讲Dr. Ping DU (杜平)E-mail: School of Electronic Science and Applied Physics， Hefei University of Technology (HFUT)Nov. 10, 2011 基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法ADI-FDTD法 2022年7月26日0时32分2 OutlineII. ADI-FDTD基本原理III. 解的稳定性与数值色散IV. 吸收边界条件V. 应用实例I. ADI-FDTD简介2022年7月26日0时32分37.1 ADI-FDTD简介 传统FDT
2、D属于显式差分方法，具有显式差分方法的共同特性，解的过程必须满足稳定性条件。对FDTD法就是必须满足CFL条件。 隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅受到数值误差的限制。然而，隐式差分也有缺点，那就是需要通过矩阵求逆或迭代求解大型线性方程组，计算复杂且量大。 1956年，Peaceman和Rachford提出了交变隐式差分方向法(Alternating-Direction Implicit Method, ADI法)。 其基本思想：然后，交换隐式和显式差分格式处理的变量方向。 对于空间变量为多维的偏微分方程，首先选取任一变量方向按隐式差分格式处理而余下的变量方向按显式差分格式处理。对每一步来说
3、，解仍然是有条件稳定的。但是两步复合的结果使得解是无条件稳定的。 (1) Difference between and conventional FDTD and ADI-FDTD2022年7月26日0时32分4ADI最早应用于抛物型偏微分方程的求解。 1999年，T. Namiki首先将其原理应用于FDTD法，提出了ADI-FDTD，并将其用于二维TE波问题的模拟。 G. Liu研究了Berenger的PML媒质中的ADI-FDTD差分格式。 C. P. Chen报道了ADI-FDTD法在VLSI互连线电磁特性模拟方面的应用。 这些结果初步显示ADI-FDTD法相对于传统FDTD法的优势。
4、(2) ADI-FDTD法的早期历史2022年7月26日0时32分57.2 ADI-FDTD基本原理 考虑空间为一个无源区域，其媒质参数不随时间变化且各向同性，Maxwell旋度方程在直角坐标系中写成分量式为 1yxzxEHEHtzy1yxzyHEEHtxz1yxzzEEHHtyx(1) ADI-FDTD差分格式I(7-1)(7-2)(7-3)2022年7月26日0时32分61yxzxHEHEtyz1yxzyEHHEtzx1yxzzHHEEtxy(7-4)(7-5)(7-6) 在ADI-FDTD算法中，仍旧采用Yee矩形差分网格。E和H的6个分量如图4-1所示放置。每个磁场分量由4个电场分量环
5、绕；反之，每个电场分量也由4个磁场分量环绕。 空间偏微分仍旧采用中心差分格式。方程左边的时间偏微分项仍旧采用中心差分格式，左边第二项采用半步长前向近似格式。ADI-FDTD与传统FDTD区别: 对Maxwell旋度方程右边的时间离散化处理不同。2022年7月26日0时32分7图4-1 Yee差分网格(Yees cell) 2022年7月26日0时32分8过程一 111111, , ,221111,22221111, , ,2222nnxxnnzznnyytEij kEij kHijkHijktyHij kHij kz Maxwell旋度方程右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式。
6、(7-7)2022年7月26日0时32分9111111,2211111111,22222222nnyynnnnxxzztEi jkEi jkHi jkHi jkHijkHijktzx 111111, , ,2211111111, , ,22222222nnzznnnnyyxxtEi j kEi j kHij kHij kHi jkHi jktxy (7-8)(7-9)2022年7月26日0时32分1011111111,22221111,1, ,1,2222nnxxnnnnyyzztHi jkHi jkEi jkEi jkEi j kEi jktzy 11111111, , ,222211111
7、, , , , ,12222nnyynnnnzzxxtHij kHij kEij kEi j kEij kEij ktxz (7-10)(7-11)2022年7月26日0时32分1111111111,22221111,1, ,1,2222nnzznnnnxxyytHijkHijkEijkEij kEi jkEijktyx 过程二 (7-12)Maxwell旋度方程右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式。 2022年7月26日0时32分12211122111, , ,2211111111, , ,22222222nnxxnnnnzzyytEij kEij kHijkHijkHij k
8、Hij ktyz 211122111,2211111111,22222222nnyynnnnxxzztEi jkEi jkHi jkHi jkHijkHijktzx (7-13)(7-14)2022年7月26日0时32分13211122111, , ,2211111111, , ,22222222nnzznnnnyyxxtEi j kEi j kHij kHij kHi jkHi jktxy 21112211111,22221111,1, ,1,2222nnxxnnnnyyzztHi jkHi jkEi jkEi jkEi j kEi jktzy (7-15)(7-16)2022年7月26日0
9、时32分1421112211111, , ,222211111, , , , ,12222nnyynnnnzzxxtHij kHij kEij kEi j kEij kEij ktxz 21112211111,22221111,1, ,1,2222nnzznnnnxxyytHijkHijkEijkEij kEi jkEijktyx (7-17)(7-18)2022年7月26日0时32分15 在过程一中，将式(7-12)的 代入式(7-7)，将式(7-10)的 代入式(7-8),将式(7-11)的 代入式(7-9)，可得 1nzH1nxH1nyH111111111C,1,12C, ,C,1,22
10、211111, , , ,2222211,221nnnxxxnnnxyynztEijkEij kEijktEij kHij kHij kztyHijkt 211,2211111,1,22221nznnnnyyyyHijkty xEijkEi jkEijkEi jkt 其中， 221C1tyt(7-19)2022年7月26日0时32分16111222111C,112C,C,122211111,2222211,221nnnyyynnnyzznxtEi jkEi jkEi jktEi jkHijkHijkxtzHi jkt211,221111,1, ,1, ,22221nxnnnnzzzzHi jk
11、ty zEi jkEi j kEi jkEi j kt 其中， 222C1tzt(7-20)2022年7月26日0时32分17113313111, ,12, ,2211, ,211111, ,2222211, ,221nnzznznnnzxxnytCEij kCEi j kCEij ktEi j kHi jkHi jkytxHij kt211, ,221111, ,1, , ,1, ,22221nynnnnxxxxHij ktx zEij kEij kEij kEij kt 其中， 223C1tzt(7-21)2022年7月26日0时32分18过程一执行过程：1. 由式(7-19)-(7-21
12、)解出111nnnxyzEEE、2. 将其代入到式(7-10)-(7-12)，求得111nnnxyzHH、H、 线性方程组(7-19)-(7-21)是三对角型的，通过Gauss elimination法可以求得解。其计算量正比于未知量的数目N。2022年7月26日0时32分19 相似地，在过程二中，将式(7-18)的 代入式(7-13)、(7-16)的 代入式(7-14)、(7-17)的 代入式(7-15)，可得 1nzH1nxH1nyH2224441111111C, ,112C, ,C, ,122211111, ,222221, ,21nnnxxxnnnxzznytEij kEij kEij
13、 ktEij kHijkHijkytzHij kt121111111, ,22211111, , ,1, , ,22221nynnnnzzzzHij ktx zEij kEi j kEij kEi j kt 其中， 224C1tzt(7-22)2022年7月26日0时32分202225551111111C1,12C,C1,22211111,2222211,21nnnyyynnnyxxnztEijkEi jkEijktEi jkHi jkHi jkztxHijt 12111111,2221111,1, ,1, ,22221nznnnnxxxxkHijktx yEijkEij kEijkEij k
14、t 其中， 225C1txt(7-23)2022年7月26日0时32分212226661111111C,1,12C, ,C,1,22211111, , , ,222221,21nnnzzznnnzyynxtEi jkEi j kEi jktEi j kHij kHij kxtyHi jkt 121111111,2221111,1,1,22221nxnnnnyyyyHi jkty zEi jkEi jkEi jkEi jkt 其中， 226C1tyt(7-24)2022年7月26日0时32分22过程二执行过程：1. 由式(7-22)-(7-24)解出222nnnxyzEEE、2. 将其代入到式(
15、7-16)-(7-18)，求得222nnnxyzHH、H、 线性方程组(7-22)-(7-24)是三对角型的，通过Gauss elimination法可以求得解。其计算量正比于未知量的数目N。过程一和过程二交替执行，可实现对电磁场问题的时间步进仿真。由上述过程可见，ADI-FDTD需要对电场分量进行两层存储，对磁场分量只需一层存储，因而内存占用比传统FDTD增加50%。ADI-FDTD公式比传统FDTD要复杂些。但是， ADI-FDTD是无条件稳定的，比传统FDTD有更广泛的适应能力。2022年7月26日0时32分23(2) ADI-FDTD差分格式 II (continued) 如果在处理M
16、axwell旋度方程左边的第二项时不采用半步长前向近似格式而采用中心平均近似，则可得另一种形式的ADI-FDTD差分格式。 过程一 与方程(7-19)相对应的 的三对角型方程为 1nxE111111111, ,1,1, , , ,222222111111111, , , ,22222222211111, , , ,22222nnnxxxij kijkijka ij kb ij kc ij knnnxzzij kijkijkd ij ke ij kf ijknnyyij kij kg ij kCECECECECHCHCHH1111111,1, , ,222222nnnnyyyyijki jkij
17、ki jkh ij ki ij kCEECEE(7-25) 2022年7月26日0时32分24其中，21, ,212, ,111111112,22222222(2)111()22ij ka ij kijkijkijkijktCytt (7-26)21, ,212, ,11112,2222(2)()ij kb ij kijkijktCyt21, ,212, ,11112,2222(2)()ij kc ij kijkijktCyt(7-27)(7-28)2022年7月26日0时32分251111, , , , ,22222d ij kij kij kij kCt11111, ,222221, ,2
18、1111,222222ij kijkijke ij kijkijkttCyt11111, ,222221, ,21111,2222222ij kijkijkf ij kijkijkttCyt(7-29)(7-30)(7-31)2022年7月26日0时32分261, ,21, ,211, , ,2222ij kg ij kij kij ktCzt21, ,21, ,21111,2222(2)2ij kh ij kijkijktCx yt 21, ,21, ,21111,2222(2)2ij ki ij kijkijktCx yt (7-32)(7-33)(7-34)2022年7月26日0时32分
19、271, ,112, , ,2212ij kij kij kt(7-35)与式(7-20)、(7-21)相对应的 、 的方程可相似得到。 1nyE1nzE由三对角方程组解出 、 、 后, 代入 、 、 的差分格式可刷新磁场 1nxE1nyE1nzE1nxH1nyH1nzH其中， 的差分格式为1nzH111111111,22222222111111,1, ,1,2222nnzzijkijka ijkb ijknnnnyyxxijkij kijki jkHDHDEEEEyx(7-36)2022年7月26日0时32分28其中，1111,222211,111122,222222ijkijka ijki
20、jkijktDt11,111122,222222b ijkijkijktDt(7-37)(7-38) 、 的差分格式可类似得到。 1nxH1nyHHomework： 、 的三对角型方程、 、 的差分格式。 1nyE1nzE1nxH1nyH2022年7月26日0时32分29过程二 与方程(7-22)相对应的 的三对角型方程为 2nxE222111111, , ,1, ,1, , , ,22222211111111111, , , , , , ,2222222211111, ,222nnnxxxij kij kij ka ij kb ij kc ij knnnxyyij kij kij kd ij
21、 ke ij kf ij knzzijkig ij kCECECECECHCHCHH11,2211111111111, , ,1, , , , ,222222njknnnnzzzzij ki j kij ki j kh ij ki ij kCEECEE(7-39)2022年7月26日0时32分3021, ,212, ,111111112, , , , ,22222222(2)111()22ij ka ij kij kij kij kij ktCztt 21, ,212, ,11112, , ,2222(2)()ij kb ij kij kij ktCzt21, ,212, ,11112, ,
22、,2222(2)()ij kc ij kij kij ktCzt(7-40)(7-41)(7-42)其中， 2022年7月26日0时32分311111, , , , ,22222d ij kij kij kij kCt11111, , , ,222221, ,21111, , ,222222ij kij kij ke ij kij kij kttCzt11111, , , ,222221, ,21111, , ,2222222ij kij kij kf ij kij kij kttCzt(7-43)(7-44)(7-45)2022年7月26日0时32分321, ,21, ,211, , ,22
23、22ij kg ij kij kij ktCyt21, ,21, ,21111, , ,2222(2)2ij kh ij kij kij ktCx zt 21, ,21, ,21111, , ,2222(2)2ij ki ij kij kij ktCx zt (7-46)(7-47)(7-48)2022年7月26日0时32分331, ,112, , ,2212ij kij kij kt(7-49)与式(7-23)、(7-24)相对应的 、 的方程可相似得到。 2nyE2nzE 由三对角方程组解出 、 、 后，代入 、 、 的差分格式可刷新磁场。2nxE2nyE2nzE2nxH2nyH2nzH
24、的差分格式为 2nyH22111111, ,11, , , ,21222211111111, , , , ,22222222nnnnxyzzij kij ki j kij knnyzij kij ka ij kb ij kEEEEHDHDxz(7-50)2022年7月26日0时32分34其中， 1111, , ,222211, ,111122, , ,222222ij kij ka ij kij kij ktDt11, ,111122, , ,222222b ij kij kij ktDt(7-51)(7-52) 、 的差分格式可类似得到。2nxH2nzHHomework：推导出 、 的三对角
25、型方程、 、 的差分格式。 2nyE2nzE2nxH2nzH2022年7月26日0时32分35III 解的稳定性与数值色散二维、三维的ADI-FDTD有需要考虑稳定性问题。我们只讨论二维情形。 以无耗媒质中的二维TE波为例来讨论ADI-FDTD差分格式的稳定性问题。 在这种情况下，设场不随y坐标变化， 场分量只有 ，相对于y为TE波。xzyEEH、和过程一和过程二各自简化为如下所示。过程一1111111,222222nnnnxxyytEikEikHikHikz(7-53)2022年7月26日0时32分36111111111,222222nnnnzzyytEi kEi kHikHikx11111
26、11,222211111,12222nnyynnnnzzzzHikHikEikEi kEikEiktxz(7-54)(7-55)过程二 2122111111,222222nnnnxxyytEikEikHikHikz(7-56)2022年7月26日0时32分372111111111,222222nnnnzzyytEi kEi kHikHikx2+111+2+21111,222211111,12222nnyynnnnzzzzHikHikEikEi kEikEiktxz(7-57)(7-58)2022年7月26日0时32分38应用冯诺依曼方法来分析上述一、二复合过程的稳定性。将下列平面波本征模代入过
27、程一的式(7.53)(7.55)，010( , )(nnxxxzEi kEj ikxkkz ）010( , )(nnzzxzEi kEj ikxkkz ）010( , )(nnyyxzHi kHj ikxkkz ）(7-59)(7-60)(7-61)其中， ， 是过程一的增长因子，可以得到下列关系， 01j 12022年7月26日0时32分3910010 10000 11210sin2201sin0222sinsin122zxxzyzzkztjzEkxtjExHkzkzttjjzx (7-62)由该齐次方程组有非零解的条件，系数行列数为零，可得 21120pq(7-63)其中， 2221sin
28、2xkxtpx 2221sin2zkztqz (7-64)(7-65)2022年7月26日0时32分40过程一的增长因子可由式(7-63)解出为 0111=jpqp(7-66)相似地，将下列平面波本征模代入过程二的式(7.56)(7.58)， 020( , )(nnxxxzEi kEj ikxkkz ）020( , )(nnzzxzEi kEj ikxkkz ）020( , )(nnyyxzHi kHj ikxkkz ）(7-67)(7-68)(7-69)其中， 是过程二的增长因子，可以得到下列关系， 22022年7月26日0时32分41202020000202210sin2201sin022
29、2sinsin122zxxzyzzkztjzEkxtjExHkzkzttjjzx(7-70)由该齐次方程组有非零解的条件，系数行列式为零，可得 22220qp(7-71)则过程二的增长因子为 0211=jpqq(7-72)2022年7月26日0时32分42因此，过程一和过程二的复合增长因子为 12= (7-73)其模为 12=1qppq (7-74)所以，二维TE波的ADI-FDTD差分格式是无条件稳定的。与上面证明过程类似，二维TM波的ADI-FDTD差分格式也是无条件稳定的。三维ADI-FDTD差分格式也是无条件稳定的，此处不再证明2022年7月26日0时32分43IV. 吸收边界条件 A
30、DI-FDTD中吸收边界条件选取原则：吸收边界条件的引入不能破坏时间步进过程的无条件稳定性。主要有三种方案： (1) Mur吸收边界条件；(2) 在普通FDTD全局粗网格中嵌套ADI-FDTD局部细网格，仿真截断边界位于普通FDTD区，吸收边界条件的处理与普通FDTD法相同；(3) 采用ADI-FDTD差分格式的PML媒质。下面介绍第三种方案：Gedney的PML媒质中的ADI-FDTD格式 2022年7月26日0时32分44 不失一般性，设PML媒质与FDTD仿真区域的分界面为z=const平面，仿真区媒质无耗。PML媒质中的电磁场满足式(5-177)、(5-188)，写成时域分量表达式为0
31、1yxzzxHEHEtyz01yxzzyEHHEtzxyxzHHEtxy(7-75)(7-76)(7-77)2022年7月26日0时32分4501yxzzxEHEHtzy01yxzzyHEEHtxzyxzEEHtyx(7-78)(7-79)(7-80)其中， 和 满足匹配条件 zz00zz(7-81)2022年7月26日0时32分46 和 分别满足 zEzH0zzzzEEEtt0zzzzHHHtt(7-82)(7-83)写成差分式为 11001122nnnnzzzzzzttEEEE11001122nnnnzzzzzzttHHHH(7-84)(7-85)2022年7月26日0时32分47方程(7
32、-75)-(7-80)的ADI-FDTD算法由两个过程组成。 过程一: 方程(7-75)-(7-80)右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式差分格式。11011111, , ,2211111111, , ,22222222nnzxxnnnnzzyytEij kEij kHijkHijkHij kHij ktyz (7-86)2022年7月26日0时32分481011111,2211111111,22222222nnzyynnnnxxzztEi jkEi jkHi jkHi jkHijkHijktzx (7-87)11111, , ,2211111111, , ,22222222nnzznn
33、nnyyxxEi j kEi j kHij kHij kHi jkHi jktxy (7-88)2022年7月26日0时32分49101111111,22221111,1, ,1,2222nnzxxnnnnyyzztHi jkHi jkEi jkEi jkEi j kEi jktzy 1101111111, , ,222211111, , , , ,12222nnzyynnnnzzxxtHij kHij kEij kEi j kEij kEij ktxz (7-89)(7-90)2022年7月26日0时32分501111111,22221111,1, ,1,2222nnzznnnnxxyyHi
34、jkHijkEijkEij kEi jkEijktyx (7-91)过程二方程(7-75)-(7-80)右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式差分格式.2101122111, , ,2211111111, , ,22222222nnzxxnnnnzzyytEij kEij kHijkHijkHij kHij ktyz (7-92)2022年7月26日0时32分512101122111,2211111111,22222222nnzyynnnnxxzztEi jkEi jkHi jkHi jkHijkHijktzx (7-93)21112211, , ,2211111111, , ,22222
35、222nnzznnnnyyxxEi j kEi j kHij kHij kHi jkHi jktxy (7-94)2022年7月26日0时32分52210112211111,22221111,1, ,1,2222nnzxxnnnnyyzztHi jkHi jkEi jkEi jkEi j kEi jktzy 210112211111, , ,222211111, , , , ,12222nnzyynnnnzzxxtHij kHij kEij kEi j kEij kEij ktxz (7-95)(7-96)2022年7月26日0时32分532111221111,22221111,1, ,1,2
36、222nnzznnnnxxyyHijkHijkEijkEij kEi jkEijktyx (7-97)在过程一中，将式(7-85)、(7-91)的 、 代入式(7-86)，经整理得 1nzH1nzH111112B11A,1,2A, ,A,1,21B22nnnxxxEijkEij kEijk2022年7月26日0时32分5421111,112222, ,1B21B1111, , ,2222111,2211,2nnzznxnnyynnyynytHijkHijkEij kyHij kHij kztEijkEi jky zEijk 201,21111,1B2222nyznnzzEi jktyHijkH
37、ijk(7-98)其中， 22Aty02ztB，2022年7月26日0时32分55将式(7-89)的代入式(7-87)，经整理得 11111A,11B2A,221A,1211111,222221111,1B2222nnyynynnnyzznnxxEi jkEi jkEi jktEi jkHijkHijkxtxHi jkHi jk211,1, ,1B2211,1, ,22nnzznnzzty zEi jkEi j kEi jkEi j k (7-99)2022年7月26日0时32分56其中， 220A1ztzt0Bzt，将式(7-90)的代入式(7-84)，经整理得 111+B11+B11+B1
38、A1, ,12A, ,A1, ,1+2B21+2B21+2B211111, ,2222211, ,12B22nnzznnnzxxnnyyEij kEi j kij ktEi j kHi jkHi jkytxHij kHi22211, ,221111, ,1, , ,1, ,12B22221111, ,2, ,1, ,12B222nnnnxxxxnnnzzzj ktx zEij kEij kEij kEij ktxEij kEi j kEij k 1111 B1, ,2, ,1, ,222nnnzzzEij kEi j kEij k (7-100)2022年7月26日0时32分57其中， 22A
39、ty，0B2zt实际的执行过程：1nxE1nyE1nzE(2) 将其代入式(7-89)(7-91)、(7-85)，求得 、 、 1nxH1nyH1nzH 注意：线性方程组(7-98)(7-100)是三对角型系统，通过高斯消元法可求得其解，其计算量正比于N，N为未知量数目。 (1)由式(7-98)(7-100)、(7-84)解出 、 、 2022年7月26日0时32分5822211111A12A1A1, ,1B, , ,1B2B2B211111, ,22222111, , ,B222nnnxxxnnnxzznnyyEij kEij kEij ktEij kHijkHijkytHij kHijz2
40、11111211111, , ,1, , ,B2222nnnnzzzzktEij kEi j kEij kEi j kz x (7-101)其中， 22Atz，0B1zt2022年7月26日0时32分59将式(7-85)、(7-87)的 、 代入式(7-93)，可整理得2nzH2nzH22211111112B11A1,12A,A,21B221111,112222,1B2(1B)11,22nnnyyynnxxnynnzzEijkEi jkEi jkHi jkHi jktEi jkzHijkHi21111211011,221111,1, ,1, ,22221111,(12B)2222nnnnxxx
41、xnnzzzjkxtEijkEij kEijkEij kx ytHijkHijkx (7-102)2022年7月26日0时32分60其中， ， 22Atx0B2zt将式(7-95)、(7-84)的 、 代入式(7-94)，可整理得 2nxH2nzH222111A(1+B)12A(1B)1A(1+B)1,1,1, ,1,12B212B212B211111, , , ,2222212BnnnzzznnnzyyEi jkEi j kEi jktEi j kHij kHij kxty11211112121111,22221111,1,1,(12B)2222,1,(12B)nnxxnnnnyyyynzH
42、i jkHi jktEi jkEi jkEi jkEi jky xtEi jky 111111112, ,1,2221111 2B,1,2, ,1,222nnzznnnzzzEi j kEi jkEi jkEi j kEi jk(7-103)2022年7月26日0时32分61其中， ， . 22Aty0B2zt执行过程二步骤： (1)首先由式(7-101)(7-103)、(7-84)解出 、 、2nxE2nyE2nzE(2)将其代入式(7-95)(7-97)、(7-85)，求得 、 、 2nxH2nyH2nzH 注意：线性方程组(7-101)(7-103)是三对角型系统，通过高斯消元法可求得其解，其计算量正比于N，N为未知量数目。 2022年7月26日0时32分62 可以看出，在PML中采用ADI-FDTD算法，计算公式相当复杂。如果仿真区域是有耗媒质，则更加复杂。 因而对于ADI-FDTD算法来说，需要研究和采用新的高效、实用的吸收边界条件。2022年7月26日0时32分63Thank you very much!2022年7月26日0时32分64