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1、专题05 一元二次方程的整数根阅读与思考 解一元二次方程问题时，我们不但需熟练地解方程，准确判断根的个数、符号特征、存在范围，而且要能深入地探讨根的其他性质，这便是大量出现于各级数学竞赛中的一元二次方程的整数根问题。这类问题因涵盖了整数的性质、一元二次方程的相关理论，融合了丰富的数学思想方法而备受命题者的青睐. 解整系数（即系数为整数）一元二次方程的整数根问题的基本方法有：1直接求解若根可用有理式表示，则求出根，结合整除性求解.2利用判别式在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举讨论、不等分析求解3运用根与系数的关系由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式，从中消去
2、待定字母，再通过因式分解和整数性质求解.4巧选主元若运用相关方法直接求解困难，可选取字母为主元，结合整除知识求解.例题与求解【例1】 已知关于的方程的解都是整数，求整数的值.（绍兴市竞赛试题） 解题思路：用因式分解法可得到根的表达式，因方程类型未指明，故须按一次方程、二次方程两种情形讨论，这样确定的值才能全面而准确.【例2】 为质数且是方程的根，那么的值是（） A B C D（黄冈市竞赛试题） 解题思路：设法求出的值，由题设条件自然想到根与系数的关系【例3】 关于的方程的整数解的组数为（ ） A2组 B3组 C4组 D无穷多组 解题思路：把看作关于的二次方程，由为整数得出关于的二次方程的根的判
3、别式是完全平方数，从而确定的取值范围，进而求出的值.【例4】 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.（全国初中数学联赛试题）解题思路：因方程的类型未确定，故应分类讨论. 当时，由根与系数的关系得到关于的两个不等式，消去，先求出两个整数根.【例5】 试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的两位数之和的平方，恰好等于这个四位数.（全国初中数学联赛试题）解题思路：设前后两个两位数分别为，则，即，于是将问题转化为求一元二次方程有理根、整数根的问题.【例6】 试求出所有这样的正整数解，使得二次方程至少有一个整数根. （“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：本题有两种解法. 由于的次
4、数较低，可考虑“反客为主”，以为元，以为已知数整理成一个关于的一元一次方程来解答；或考虑因方程根为整数，故其判别式为平方式.能力训练A级1已知方程有两个质数根，则 (江苏省竞赛题)2已知一元二次方程（是整数）有两个不相等的整数根，则(四川省竞赛题)3若关于的一元二次方程和的根都是整数，则整数的值为_4若正整数，且一元二次方程的两个根都是正整数，则的值等于_.5两个质数恰是的整系数方程的两个根，则等于（ ） A B C D6若的两个根都是整数，则可取值的个数是（ ） A2个 B4个 C6个 D以上结论都不对7方程恰有两个整数根，则的值是（ ） A B C D（北京市竞赛试题）8若都是整数，方程的
5、相异两根都是质数，则的值为（ ）（太原市竞赛试题） A100 B400 C700 D10009求所有的实数，使得方程的根都是整数. （“祖冲之”邀请赛试题）10已知关于的方程和，是否存在这样的值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，求出这样的值；若不存在，请说明理由. （湖北省选拔赛试题）11若关于的方程至少有一个整数根，求整数的值.（上海市竞赛试题）12已知为整数，且是关于的方程的两个根，求的值.（全国初中数学联赛试题）B级1已知，并且二次方程的根都是整数，则其最大根是_.2若关于的二次方程只有整数根，则 . （美国数学邀请赛试题）3若关于的方程的解都是整数，
6、则符合条件的整数的值有_个.4使方程的两根都是整数的所有正数的和是_.（上海市竞赛题）5已知方程（其中为非零实数）至少有一个整数根，那么. （全国初中数学联赛试题）6设方程有两个不同的奇数根，则整数的值为_（学习报公开赛试题）7若，且有及，则的值为（ ） A B C D8若方程有一个正跟，和一个负根，由以为根的二次方程为（ ） A B C D9设关于的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数的值.（全国初中数学联赛试题）10当为何有理数时，恰为两个连续的正偶数的乘积？（山东省竞赛题）11是否存在质数使得关于的一元二次方程有有理数根？（全国初中数学竞赛试题）12已知关于的方程组只有一组解且为整数解，其中均为整数且，满足，（1）求的值；（2）求的值及它对的的值.