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1、2021年中考数学压轴题专项训练四边形1如图，在矩形ABCD中，已知BC8cm，点G为BC边上一点，满足BGAB6cm，动点E以1cm/s的速度沿线段BG从点B移动到点G，连接AE，作EFAE，交线段CD于点F设点E移动的时间为t（s），CF的长度为y（cm），y与t的函数关系如图所示（1）图中，CG2cm，图中，m2；（2）点F能否为线段CD的中点？若可能，求出此时t的值，若不可能，请说明理由；（3）在图中，连接AF，AG，设AG与EF交于点H，若AG平分AEF的面积，求此时t的值解：（1）BC8cm，BGAB6cm，CG2cm，EFAE，AEB+FEC90，且AEB+BAE90，BAEFE
2、C，且BC90，ABEECF，t6，BE6cm，CE2cm，CF2cm，m2，故答案为：2，2；（2）若点F是CD中点，CFDF3cm，ABEECF，EC28EC+180647280，点F不可能是CD中点；（3）如图，过点H作HMBC于点M，C90，HMBC，HMCD，EHMEFC，AG平分AEF的面积，EHFH，EMMC，BEt，EC8t，EMCM4t，MGCMCG2，CFEMMC，EHFH，MHCFABBG6，AGB45，且HMBC，HGMGHM45，HMGM，2，t2或t12，且t6，t22问题提出：（1）如图1，ABC的边BC在直线n上，过顶点A作直线mn，在直线m上任取一点D，连接B
3、D、CD，则ABC的面积DBC的面积问题探究：（2）如图2，在菱形ABCD和菱形BGFE中，BG6，A60，求DGE的面积；问题解决：（3）如图3，在矩形ABCD中，AB12，BC10，在矩形ABCD内（也可以在边上）存在一点P，使得ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，求ABP周长的最小值解：问题提出：（1）两条平行线间的距离一定，ABC与DBC同底等高，即ABC的面积DBC的面积，故答案为：；问题探究：（2）如图2，连接BD，四边形ABCD，四边形BGFE是菱形，ADBC，BCEF，ADAB，BGBE，ACBE60，ADB是等边三角形，BGE是等边三角形，ABDGBE60，BDGE，SDG
4、ESBGEBG29；（3）如图3，过点P作PEAB，交AD于点E，ABP的面积等于矩形ABCD的面积的，12AE1210AE8，作点A关于PE的对称点A，连接AB交PE于点P，此时ABP周长最小，AEAE8，AA16，AB20，ABP周长的最小值AP+AB+PBAP+PB+AB20+12323（1）方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为DC、BC边上的点，且满足EAF45，连接EF将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，易证GAFEAF，从而得到结论：DE+BFEF根据这个结论，若CD6，DE2，求EF的长（2）方法迁移：如图，若在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E、F分
5、别是BC、CD上的点，且EAFBAD，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，证明你的结论（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，ABAD，B+ADC180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAFBAD，试探究线段EF、BE、FD之间的数量关系，请直接写出你的猜想（不必说明理由）解：（1）方法感悟：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，GBDE2，GAFEAFGFEF，CD6，DE2CE4，EF2CF2+CE2，EF2（8EF）2+16，EF5；（2）方法迁移：DE+BFEF，理由如下：如图，将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABH，由旋转可得，AHAE，BHDE，12，DABH，E
6、AFDAB，HAF1+32+3BAD，HAFEAF，ABH+ABFD+ABF180，点H、B、F三点共线，在AEF和AHF中，AEFAHF（SAS），EFHF，HFBH+BF，EFDE+BF（3）问题拓展：EFBFFD，理由如下：在BC上截取BHDF，B+ADC180，ADC+ADF180，BADF，且ABAD，BHDF，ABHADF（SAS）BAHDAF，AHAD，EAFBAD，DAE+BAHBAD，HAEBADEAF，且AEAE，AHAD，HAEFAE（SAS）HEEF，EFHEBEBHBEDF4如图1，在ABCD中，AB3cm，BC5cm，ACAB，ACD沿AC的方向匀速平移得到PNM，
7、速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速移动，速度为1cm/s，当PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图2，设移动时间为t（s）（04），连结PQ，MQ，解答下列问题：（1）当t为何值时，PQMN？（2）当t为何值时，CPQ45？（3）当t为何值时，PQMQ？解：（1）AB3cm，BC5cm，ACAB，AC4cm，MNAB，PQMN，PQAB，ts（2）如图2，过点Q作QEAC，则QEAB，CE，QEt，CPQ45，PEQEt，t+t+t4，ts（3）如图2，过点P作PFBC于F点，过点M作MHBC，交BC延长线于点H，四边形PMHF是矩形，PMFH5，APFC90，ACBPCF
8、，ABCFPC，PF，CF，QH5FQ5（CFCQ），PQMQ，PQF+MQH90，且PQF+FPQ90，FPQMQH，且PFQH90，PFQQHM，ts5问题背景：如图1，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得四边形EFGH是正方形类比探究：如图2，在正ABC的内部，作123，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点（D，E，F三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明；（2）DEF是否为正三角形？请说明理由；（3）如图3，进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系，设BDa，A
9、Db，ABc，请探索a，b，c满足的等量关系（1）ABDBCECAF；理由如下：ABC是正三角形，CABABCBCA60，ABBCAC，又123，ABDBCECAF，在ABD、BCE和CAF中，ABDBCECAF（ASA）；（2）DEF是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF是正三角形； （3）c2a2+ab+b2作AGBD于G，如图所示：DEF是正三角形，ADG60，在RtADG中，DGb，AGb，在RtABG中，c2（a+b）2+（b）2，c2a2+ab+b26如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，ABCCDA90，BCCD，延长BC交AD
10、的延长线于点E（1）求证：ABAD；（2）若AEBE+DE，求BAC的值；（3）过点E作MEAB，交AC的延长线于点M，过点M作MPDC，交DC的延长线于点P，连接PB设PBa，点O是直线AE上的动点，当MO+PO的值最小时，点O与点E是否可能重合？若可能，请说明理由并求此时MO+PO的值（用含a的式子表示）；若不可能，请说明理由（1）证明：ABCCDA90，BCCD，ACAC，RtABCRtADC（HL）ABAD （2）解：AEBE+DE， 又AEAD+DE，ADBEABAD，ABBEBADBEAABC90，BAD45由（1）得ABCADC，BACDACBAC22.5 （3）解：当MO+PO
11、的值最小时，点O与点E可以重合，理由如下：MEAB，ABCMEC90，MABEMAMPDC，MPC90MPCADC90PMADEAMPMA 由（1）得，RtABCRtADC，EACMAB，EMAAMP即MC平分PME 又MPCP，MECE，PCEC 如图，连接PB，连接PE，延长ME交PD的延长线于点Q 设EAM，则MAP 在RtABE中，BEA902 在RtCDE中，ECD90BEA2PCEC，PEBEPCECDPEDBEA+PEB90MEAB，QEDBAD2 当PEDQED时，PDEQDE，DEDE，PDEQDE（ASA）PDDQ 即点P与点Q关于直线AE成轴对称，也即点M、点E、点P关于
12、直线AE的对称点Q，这三点共线，也即MO+PO的值最小时，点O与点E重合 因为当PEDQED时，902，也即30 所以，当ABD60时，MO+PO取最小值时的点O与点E重合 此时MO+PO的最小值即为ME+PEPCEC，PCBECD，CBCD，PCBECD（SAS）CBPCDE90CBP+ABC180A，B，P三点共线 当ABD60时，在PEA中，PAEPEA60EPA60PEA为等边三角形EBAP，AP2AB2aEPAE2aEMAEAM30，EMAE2aMO+PO的最小值为4a7已知：如图，在正方形ABCD中，点E在AD边上运动，从点A出发向点D运动，到达D点停止运动作射线CE，并将射线CE
13、绕着点C逆时针旋转45，旋转后的射线与AB边交于点F，连接EF（1）依题意补全图形；（2）猜想线段DE，EF，BF的数量关系并证明；（3）过点C作CGEF，垂足为点G，若正方形ABCD的边长是4，请直接写出点G运动的路线长解：（1）补全图形如图1所示：（2）线段DE，EF，BF的数量关系为：EFDE+BF理由如下：延长AD到点H，使DHBF，连接CH，如图2所示：四边形ABCD是正方形，BCDADCB90，BCDC，CDH90B，在CDH和CBF中，CDHCBF（SAS）CHCF，DCHBCFECF45，ECHECD+DCHECD+BCF45ECHECF45在ECH和ECF中，ECHECF（S
14、AS）EHEFEHDE+DH，EFDE+BF；（3）由（2）得：ECHECF（SAS），CEHCEF，CDAD，CGEF，CDCG4，点G的运动轨迹是以C为圆心4为半径的弧DB，点G运动的路线长28如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF（1）若BAP，直接写出ADF的大小（用含的式子表示）；（2）求证：BFDF；（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明（1）解：由轴对称的性质得：EAPBAP，AEAB，四边形ABCD是正方形，BAD90，ABAD，DAE902
15、，ADAE，ADFAED（180DAE）（90+2）45+；（2）证明：四边形ABCD是正方形，BAD90，ABAD，点E与点B关于直线AP对称，AEFABF，AEABAEADADEAEDAED+AEF180，在四边形ABFD中，ADE+ABF180，BFD+BAD180，BFD90BFDF；（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AFBF+CF，理由如下：过点B作BMBF交AF于点M，如图所示：四边形ABCD是正方形，ABCB，ABC90，ABMCBF，点E与点B关于直线AP对称，BFD90，MFBMFE45，BMF是等腰直角三角形，BMBF，FMBF，在AMB和CFB中，AMBCFB
16、（SAS），AMCF，AFFM+AM，AFBF+CF9如图1，已知等腰RtABC中，E为边AC上一点，过E点作EFAB于F点，以为边作正方形，且AC3，EF（1）如图1，连接CF，求线段CF的长；（2）将等腰RtABC绕点旋转至如图2的位置，连接BE，M点为BE的中点，连接MC，MF，求MC与MF关系解：（1）如图1，ABC是等腰直角三角形，AC3，AB3，过点C作CMAB于M，连接CF，CMAMAB，四边形AGEF是正方形，AFEF，MFAMAF，在RtCMF中，CF；（2）CMFM，CMFM，理由：如图2，过点B作BHEF交FM的延长线于H，连接CF，CH，BHMEFM，四边形AGEF是正
17、方形，EFAF点M是BE的中点，BMEM，在BMH和EMF中，BMHEMF（AAS），MHMF，BHEFAF四边形AGEF是正方形，FAG90，EFAG，BHEF，BHAG，BAG+ABH180，CBH+ABC+BAC+CAG180ABC是等腰直角三角形，BCAC，ABCBAC45，CBH+CAG90，CAG+CAF90，CBHCAF，在BCH和ACF中，BCHACF（SAS），CHCF，BCHACF，HCFBCH+BCFACF+BCF90，FCH是等腰直角三角形，MHMF，CMFM，CMFM；10如图将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度（090）得到正方形ABCD（1）如图1，BC与AC交于
18、点M，CD与AD所在直线交于点N，若MNBD，求；（2）如图2，CB与CD交于点Q，延长CB与BC交于点P，当30时求DAQ的度数；若AB6，求PQ的长度解：（1）如图1中，MNBD，CMNCBD45，CNMCDB45，CMNCNM，CMCN，CBCD，MBND，ABAD，ABMADN90，ABMADN（SAS），BAMDAN，BAD90，MAN45，BAMDAN22.5，BAC45，BAB22.5，22.5（2）如图2中，ABQADQ90，AQAQ，ABAD，RtAQBRtAQD（HL），QABQAD，BAB30，BAD90，BAD30，QADBAD30如图2中，连接AP，在AB上取一点E，
19、使得AEEP，连接EP设PBaABPABP90，APAP，ABAB，RtAPBRtAPB（HL），BAPPAB15，EAEP，EAPEPA15，BEPEAP+EPA30，PEAE2a，BEa，AB6，2a+a6，a6（2）PB6（2），PCBCPB66（2）66，CPQ+BPB180，BAB+BPB180，CPQBAB30，PQ12411已知，如图1，在边长为2的正方形ABCD中，E是边AB的中点，点F在边AD上，过点A作AGEF，分别交线段CD、EF于点G、H（点G不与线段CD的端点重合）（1）如图2，当G是边CD中点时，求AF的长；（2）设AFx，四边形FHGD的面积是y，求y关于x的函数
20、关系式，并写出x的取值范围；（3）联结ED，当FED45时，求AF的长解：（1）E是AB的中点，AB2，AEAB1，同理可得DG1，AGEF，AHFHAF+AFH90，四边形ABCD是正方形，ADG90DAG+AGD，AFHAGD，EAFADG90，EAFADG，即，AF；（2）如图1，由（1）知：EAFADG，即，DG2x，HAFDAG，AHFADG90，AHFADG，AH，FH，ySADGSAFH，2x，如图2，当G与C重合时，EFAG，AHE90，EAH45，AEH45，AFAE1，0x1；y关于x的函数关系式为：y2x（0x1）；（3）如图3，过D作DMAG，交BC于M，连接EM，延长
21、EA至N，使ANCM，连接DN，设CMa，则ANa，ADCD，NADDCM90，NADMCD（SAS），ADNCDM，DNDM，EFAG，DMAG，EFDM，EDMFED45，ADE+CDMEDM45，NDA+ADENDEEDM，EDED，NDEMDE（SAS），ENEMa+1，BM2a，在RtEBM中，由勾股定理得：BE2+BM2EM2，12+（2a）2（a+1）2，a，AEF+EAGEAG+DAG，AEFDAGCDM，tanAEFtanCDM，AF12如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
22、请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，ACB中，ACB90，ACAG且ACAG，ABAE且AEAB，连结CE、BG、GE已知AC4，AB5，求GE的长解：（1）四边形ABCD是垂美四边形，理由如下：连接AC，BD，ABAD，点A在线段BD的垂直平分线上，CBCD，点C在线段BD的垂直平分线上，AC是线段BD的垂直平分线，四边形ABCD是垂美四边形；（2）ACBD，AODAOBBOCCOD90，由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2AO2+BO2+CO
23、2+DO2，AD2+BC2AB2+CD2；故答案为：AB2+CD2AD2+BC2；（3）CAGBAE90，CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE，在GAB和CAE中，GABCAE（SAS），ABGAEC，又AEC+AME90，ABG+AME90，即CEBG，四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2，AC4，AB5，BC3，CG4，BE5，GE2CG2+BE2CB273，GE13如图1，四边形ACEB，连接BC，ACBBEC90，D在AB上，连接CD，ACDABC，BECD（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）如图2，连接DE，DE交BC于点O，若tanA2，
24、在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中所有长度与AD的长度相等的线段（1）证明：ACB90，A+ABC90，ACDABC，A+ACD90，ADC90，BDC1809090BEC，在RtBCD和RtCBE中，RtBCDRtCBE（HL），BDCE，CDBE，四边形CDBE是平行四边形，又BEC90，四边形CDBE为矩形；（2）解：图中所有长度与AD的长度相等的线段为ACOCOBODOEAD理由如下：由（1）得：四边形CDBE为矩形，ADC90，BCDE，ODOE，OBOC，OCOBODOEBC，ADCACB90，tanA2，CD2AD，BC2AC，ACAD，DEBC2AC，OCOBOD
25、OEBCACAD，ACOCOBODOEAD14如图在直角坐标系中，四边形ABCO为正方形，A点的坐标为（a，0），D点的坐标为（0，b），且a，b满足（a3）2+|b|0（1）求A点和D点的坐标；（2）若DAEOAB，请猜想DE，OD和EB的数量关系，说明理由（3）若OAD30，以AD为三角形的一边，坐标轴上是否存在点P，使得PAD为等腰三角形，若存在，直接写出有多少个点P，并写出P点的坐标，选择一种情况证明解：（1）（a3）2+|b|0，a3，b，D（0，），A（3，0）；（2）DEOD+EB； 理由如下：如图1，在CO的延长线上找一点F，使OFBE，连接AF，在AOF和ABE中，AOFAB
26、E（SAS），AFAE，OAFBAE，又OAB90，DAE，BAE+DAO45，DAFOAF+DAO45，DAFEAD，在AFD和AED中，AFDAED（SAS），DFDEOD+EB；（3）有3种情况共6个点：当DADP时，如图2，RtADO中，OD，OA3，AD2，P1（3，0），P2（0，3），P3（0，）；当AP4DP4时，如图3，ADP4DAP430，OP4D60，RtODP4中，ODP430，OD，OP41，P4（1，0）；当ADAP时，如图4，ADAP5AP62，P5（3+2，0），P6（32，0），综上，点P的坐标为：P（3，0）或（0，3）或（0，）或（1，0）或（3+2，0）
27、或（32，0）证明：P5（3+2，0），OAD30且ADO是直角三角形，又AO3，DO，DA2，而P5A|3+23|2，P5ADA，P5AD是等腰三角形15已知，在四边形ABCD中，点M、N、P、Q分别为边AB、AD、CD、BC的中点，连接MN、NP、PQ、MQ（1）如图1，求证：四边形MNPQ为平行四边形；（2）如图2，连接AC，AC分别交MN、PQ于点E、F，连接BD，BD分别交MQ、NP于点G、H，AC与BD交于点O，且ACBD，若tanADB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有长度等于OD的线段（1）证明：如图1，连接BDQ，P分别是BC，CD的中点，所以PQBD，PQBDM，N分别是AB，AD的中点MNBD，MNBDPQMN，且PQMN四边形MNPQ是平行四边形（2）解：四边形MNPQ是平行四边形，ACBD，四边形MNPQ是矩形，四边形NHOE和四边形EOGM都是矩形，NHOEMGAE，tanADB，NHOEMGAE即长度等于OD的线段有NH，OE，MG，AE