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1、专练09四边形中的面积和周长问题1.如图1,在正方形ABCD中，E、F 分别为BC、C D 的中点，连接AE、B F,交点为G.(1)求证：AE1BF；(2)将ABCF沿 BF对折，得到ABPF(如图2),延长FP到与B A 的延长线于点Q,求 案 的值；(3)将 ABE绕点A 逆时针方向旋转，使边A B正好落在A E上，得到 AHM(如图3),若 AM 和 BF相交于点N,当正方形ABCD的面积为4 时，求四边形GHMN的面积.【答案】(1)证明：如 图 1,VE,F 分别是正方形ABCD边 BC,C D 的中点,CF=BE,在 R S ABE 和 RtA BCF 匚 3AB=BCABE=Z
2、BCFBE=CF R S A BEgRSBCF(S A S),AZBAE=ZCBF,XVZBAE+ZBEA=90,/.ZCBF+ZBEA=90,.ZBGE=90,AAE1BF.(2)解：如图2,根据题意得，FP二 FC,ZPFB=ZBFC,ZFPB=90V CD/AB,/.ZCFB=ZABF,AZABF=ZPFB,AQF=QB,令 PF=k(k 0),则 PB=2k在 RSBPQ 中，设 QB=x,J x2=(x-k)2+4k2,.5k X=一，2 BP 2k -=5k _ 4QB(3)解：如图3,正方形ABCD的面积为4,，边长为 2,AM=AB=V5VZBAE=ZEAM,AEJ_BF,:.
3、AN=AB=2,:ZAHM=90,GNHM,/.AGNAAHM SMGN _(AN、2*SAAHM-(1)当 AB=BC时，求证：四边形AECF是菱形;S-AGN _ 1 2、2*-(同，SAA GN=g 4 i,*S四 边 形 GHMN=SAAHM SAAGN=1-5=5.四边形GHMN的面积是1.2.如图，四边形ABCD为矩形，连接对角线A C,分别作/B A C、/B C A、NACD、NDAC的角平分线AE、CE、CF、AF.(2)设 AB=4,BC=3,分别作EM LAC于点M,FNJ_AC于点N,求 M N的长；(3)分别作EGJ_BC于点G,FHLCD于点H,当 GC=3,H C
4、=4时，求矩形ABCD的面积.【答案】(1)解：四边形ABCD为矩形，ABCD,AZBAC=ZDCA,TAE 平分 NBAC,CF 平分 NACD,AZEAC=ZFCA,AECF,同理，AFCE,四边形AECF是平行四边形，VAB=BC,NBAC=NACB,.,AE平分NBAC,C E平分NACB,AZEAC=ZECA,:.AE=CE,四边形AECF是菱形(2)解：过 E 作 EHJ_BC于点H,EG_LAB于点G,分别作EM LAC于点M,FNLAC于点N,V ZB=90,四边形BHEG为矩形，A E平分NBAC,CE平分NACB,EM=EG=EH,，四边形BHEG是正方形，:.BG=BH,
5、VEM=EG=EH,AE=AE,CE=CE,ARtA AEGRtA AEM(HL),RtA CEHRtA CEM(H L)，A AM=AG,CM=CH,VAB=4,BC=3,AC=5,x+y=5 x=3设 AM=AG=x,CM=CH=y,BH=B G=z,贝!j x+z=4,解得，y=2y+z=3 z=1 AM=3,CM=2,(1)知四边形AECF是平行四边形，AF=CE,AFCE,NFAN=NECM,VZANF=ZCME=90,AAANFACME(AAS),，AN=CM=2,AMN=AM-AN=3-2=1(3)解：过E作EKI.AB 丁点K,EL_LAC于点L,如图，G 矩形ABCD中ABC
6、D,NBAC=NACD,TAE、CF分别平分NBAC和NACD,AZKAE=ZHCF,四边形AECF是平行四边形，AE=CF,VZAKE=ZCHF=90,AAAEKACHF(A A S),AAK=CH=4,TAE 平分NBAC,CE 平分NACB,；EK=EL=EG,V A E=A E,CE=CE,ARtA AEKRtA AEL(HL),RtA CEGRtA CEL(H L),A K=A L=4,C G=C L=3,:.A C=AL+CL=4+3=7,.EK=EG,NEKB=NB=NEGB=90。，四边形BGEK为正方形，:.BG=BK,不妨设 BG=BK=x,则 AB=4+x,BC=3+x,
7、在 R S A B C 中，由勾股定理得，(x+3)2+(x+4)2=72,解得，x=H，或 x=1 曳=(舍 去)，2 2；.A B=4+x=,B C=3+x=，2 2二矩形A BCD 的面积=A BBC=24.3.如图，正方形A BCD 中，AB=6,点 E 在 边 C D 上，且，CD=3D E将 AADE沿AAFE，延 长 E F 交 边 B C 于 点 G,连 接 A G、CF.A E 翻折至(1)求证：AABG=AAFG(2)求证：BG=GC；(3)求 AFGC的面积.【答案】(1)证明：四边形ABCD是正方形,:.AB=DC=AD=6,ZB=ZD=90,:将 AADE对折得到AA
8、FE，二 AF=AD，zAFE=90,ZAFG=90=Z.B又 AG=AG,，AABGwAAFG(2)证明：AB=DC=6,CD=3DE,/.DE=2,CE=4,EF=DE=2,设 FG=x,贝 lj BG=FG=x,CG=6-x,CG=x+2,在直角三角形E C G 中，由勾股定理得，42+(6-X)2=(x+2)2,解 得 x=3,:.BG=FG=3,CG=6 3=3,BG=GC.(3)解：过 点 F 作 F N 1 C G 于 点 N,贝 ij zFNG=zDCG=90,又,:ZFGN=ZEGC,J AGFN-AGEC,GF FNGE EC 3 FN 二=，5 412A FN=y ,A
9、SA CGF=-CGFN=-x-x 3=-2 2 5 54.如图，四边形A BCD 中，AD=CD,/DAB=/ACB=90。，过点D 作 D E _L A C,垂足为F,D E与 A B 相交于点ED(1)求证：AB AF=CB CD(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P 是射线DE上的动点，设 DP=xcm(x 0),四边形BCDP的面积为yen?求y 关于x 的函数关系式；当 x 为何值时，aP B C 的周长最小，并求出此时y 的值。【答案】(1)证明：V ZDAB=90AZDAF+ZBAC=90VDF1ACA ZDFA=90,ZDAF+ZADF=90AZBAC=ZADF,ZDFA
10、=ZACB=90AADFAAACB.AF AD._，,CB AB AB AF=CB AD,:AD=CD,AB AF=CB CD；(2)解：)AB=15,BC=9,ZACB=90,A AC=VAB2-BC2=4152 92=12,:AD=CD,DE1AC,AAF=CF=6,y=j-(x 4-9)-6=3x+27；V BC=9,PBC 的周长=PB+PC+BC,J 当 PB+PC最小时，PBC的周长最小，山(1)知，点 C 关于直线DE的对称点是点A,.PB+PC=PB+PA,当 P、A、B 三点共线时PB+PA最小，此时 DP=DE,PB+PA=AB,AB AF=CB AD,A 15x6=9 A
11、D,AAD=10,再 是 4 ABC中位线，AAE=AB=7.5,2DE=VAE2+AD2=V7.52+102=y ,当 x=g时，PBC周长最小，129；.y=3x+27=詈.5.如图，矩形ABCD中，AB=8cm,B C=6cm,点。为对角线的中点，点 P 从点A 出发，沿折线AD-DO-OC,以每秒2 厘米的速度向终点运动，当点P 与点A 不重合时，过点P 作 PQLAB于点Q,以PQ为边向右作正方形PQ M N,点 P 运动的时间为t(秒).图1图2卷用图(1)求点N 落在BD上时t 的值；(2)当点。在正方形PQMN内部时，t 的取值范围；(3)当直线DN平分 BCD面积时求出t 的
12、值.【答案】(1)解：如图，当点N 落在BD上时，DcA(Q)MB丁四边形PQM N是正方形，工 PN/QM,PN=PQ=2t,DPN DQB,:.xO y,.PN=PQ=PA=2t,DP=6-2t,QB=AB=8,6-2t 2t.-=,6 8+12.t=一,7当 t=时，点 N 落在B D 上；(2)2 t OP _ PROC-CE fOP=2 t-l l ,0C=5,EC=3,2 t-ll PR H II n n 6 d 33=，BJ PR=-t-,5-3 5 5QR=BE=3,PQ=PR+QR=|t-y+3 =|t-y ,PN=PQ,152 24 4 6 人 18t=_ t5 5-5 5
13、,解 得 t=9 ,综上：t 的 值 为 意，y -y,【解析】解：（2）如图，当 M N 过点。时,QM=QP=2t,MB=8-2 t,.四边形PQMN是正方形，J MN/DQ,.点O是DB中点,，Q M=B M,二 2 t =8 -2 t ,解得 t =2 ,如图，当P Q过点O时，四边形A B C D是矩形，二 NA =9 0。，V A B=8,A D=6,.D B=1 0,点O是DB的中点，:.D O=5,2 t =A D +D O=6 +5 =1 1 ,解得 t =,.当点。在正方形P Q M N内部时，t的范围是2t；故答案为：2 t y;6.如图，四边形A B C D是正方形，点
14、F是 射 线AD上的动点，连 接C F ,C G F E (C,G,F,E按逆时针排列)，连 接B E,D G .以C F为对角线作正方形(1)当 点F在 线 段AD上时.求证：B E =D G ；求证：C D -F D =V 2 B E ;(2)设正方形A B C D的面积为S ,正 方 形C G F E的面积为S2,以C,G,D,F为原点的四边形的面积为S 3 ,当 兰=黄 时，请直接写出勤 的值.【答案】(1)解：证明：四边形A B C D和四边形C G F E都是正方形Z B C D =Z E C G =9 0 ,B C =D C,E C =G C，z B C D -z E C D =
15、z E C G -z E C D即 Z B C E =Z D C G B C E 三 D C G(S A S)B E =D G证明：方法一：在 线 段CD上 截C H =F D ,连 接H G ,设FG与CD相交于点M丁四边形A B C D和四边形C G F E都是正方形:.Z A D C =Z C G F =9 0 ,G C =G FZ MF D +Z F MD =9 0 ,z MC G +z C MG =9 0 NFMD=z C MG.NMF D =NMCG/F D G 三 C H G(S A S)D G =H G,Z D G F =z H G C二 Z.D G F +Z F G H =Z
16、 H G C +Z F G H =9 0 ,即 Z.D G H =9 0 在 R t D G H 中，D H2=D G2+H G2=2 D G2二 D H =V 2 D G =V 2 B EC D-F D =C D-H C =D HC D-F D =V 2 B E方法二：连 接A CAD.四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形NADC=ZFGC=90,AD=DC,FG=CG,zACDZACD-ZFCD=ZFCG-ZFCD即 ZACF=ZDCG在 Rt A ADC 和 Rt FCG 中，AC2=AD2+CD2=2CD2:.FC2=FG2+CG2=2CG2AC=V2CD,FC=V2CG任=吧=/
17、DC GCv zACF=zDCG二 ACF DCG=V2,AF=V2DG=V2BE；CD-FD=V2BE解:或 打zFCG=45根据 m=,设 DC=5n,GC=V13n,F D=n,由从 而 有 包 屋 竺5 空 竺=三Si 5nx5n 10 有，DG=2V2n，AD F 根 据 标=a，设 DC=5n,GC=V13n,FD=n,从而有S3 1(nx5n+VInxVIn)Si 5nx5n925故答案为：卷 或 卷，7.如图1,在正方形ABCD 中,G 为 线 段 B D 上一点，连 接 AG,过 G 作 AG _L G E 交 B C 于 E,连接 AE.(1)求证：BG=DG+V2BE;(
18、2)如图2,AB=4,E 为 B C 中点，P,Q 分别为线段AB,A E 上的动点，满 足 QE=VAP,则 在 P，Q 运动过程中，当 以 P Q 为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在AABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积.【答案】(1)证明：连接A C 与 B D 相交于O,作 GH LAB,G I1B C,.*.ZAHG=ZBIG=90,丁四边形ABCD为正方形，A ZABE=90,ZBAC=ZABD=ZCBD=45,ZAOG=90,AB=V2A0,BD=20D,HG=GI(角平分线上的点到角两端距离相等)，ZHGI=360-ZBHG-ZBIG-ZABE=90,Z AGH
19、=Z AGE-ZHGE=90-ZHGE,Z IGE=ZIGH-ZHGE=90-ZHGE,AZAGH=ZIGE,在 AGH和A EG I中，ZAHG=ZBIG/3，这=学，解得：9-x 3V3X=6,x2=0(舍去)即当P 与F 重合，Q 与C 重合时，四边形PEQB是矩形此时矩形PEQB的面积为BC-CE=6 x 6V3=36M,在正六边形 ABCDEF 中，ZCOD=60,OC=OD.OCD 是等边三角形，OC=OD=CD=6,OH=3显S 六边形 ABCDEF=g X CD x OH X 6=|x 6 x 3V3 x 6=54V3,，S 矩形 PBQE：S 六边形 ABCDEF=3673：
20、546=2：3IL 已知：在 RtAABC 中，ZABC=90,AB=BC,以 B 为顶点作 ABDE,BD=BE/DBE=90,连接AD,CE.(1)如图 1,若 ZCBE=120,AD 1 BD,BE=2.5,求 AABC 的面积:A(2)如图2,若F为AD的中点，连 接F B并延长交C E于H,求证：FH1CEA图2(3)如图 3,NCBE=120,G 为 AB 上一点，BG=BD,连接 DG,F 为 AD 上一点，rFBG=zFDG,连 接FG,过A作AH JL GF于 H,若 SACBE=36,SBDF=26,GF+DF=9,请直接写出 AH 的长.【答案】(1)解：V BE=2.5
21、 BD=BE=2.5v ZCBE=120A ZABD=360 一 乙 ABC zDBE-zCBE=360 90 90-120=60 AD 1 BD(2)证明：过 A 作 AM/BD交 B F 延长线于M Z3=Z4,乙 MAB+ZABD=180v F 为 A D 的中点 AF=DFv 在 AAFM 与 ADFB中Z3=Z4zl=z2AF=DF AAFM=ADFB(AAS)AM=BD：AM=BEv ZCBE+ZABD=360-zABC-zDBE=180（3）解：日【解析】（3）在 B F 上取一点M ,使 得 BM=DF,连 接 G M ,过 A 作 AN _ L BF 交 BF 延长线于N ,
22、先证：A G M B =A G FD（SA S）,可得等边 A G M F可得 B F=G F+D F=9o n再由角平分线推出A H=A N ,而 SAABF=36 -2 6 =1 0 ,故 A H=丁.1 2.（1）如 图 1,点 P为 矩 形 A B C D 对 角 线 BD上一点，过点P作 E F/B C ,分 别 交 AB、CD于点E、F.若 B E =2 ,P F=6 ,AAEP 的面积为 Si ,A C FP 的面积为 S2，则 St +S2=；（2）如图2,点 P为 0 A B C D 内 一 点（点 P不 在 BD上），点 E、F、G、H 分别为各边的中点.设四边形A E P
23、 H 的面积为Si ,四 边 形 P F C G 的面积为S2（其 中 S2 ST）,求 PBD的面积（用含S i、S2的代数式表示）；m2（3）如图3,点 P为 0 A B C D 内一点（点 P不 在 BD上）过 点 P作 E F/A D ,HG/A B ,与各边分别相交于点E、F、G、H.设四边形A E P H 的面积为St,四 边 形 P G C F 的面积为S2（其 中 S2 Si ）,求 APBD的 面 积（用 含 S i、S2的代数式表示）；W3（4）如图4,点A、B、C、D把。0四等分.请你在圆内选一点P （点P不 在AC、BD上）,设PB、PC、BC围成的封闭图形的面积为Si
24、 ,PA、PD、AD围成的封闭图形的面积为S2,P B D的面积为S3,A P A C的面积为S4 .根据你选的点P的位置，直接写出一个 含 有S i、S 2、S3、S4的 等 式（写出一种情况即可）.【答案】（1）1 2（2）解：如图，连 接PA、P C ,在A A P B中，因为点E是AB中点，可设 SA A P E=SA B P E=a ,同理，SA B P F SA C P F-b,SA C P G=SD FG=C SAD P H=SA A P H=d ,所以 S四 边 形 A E P H+S四 边 形 P FC G=SA A P E+SA P H+SC P F+SA C P G=a
25、+b +c +d ,S四 边 形 E D FP+S四 边 形 HP G D=SA B P E+SA B P F+SD P H+SA D P H=a +b +c +d .所 以S四 边 形E B FP+S四边形HP G D+S四 边 形A E P H+S四边形P FC G=Si +S2 ,所以 SA A B D=3 s giA B C D=S2+S2)所以 SA D P H=SA P H=S1-a .SA P B D=SA A B D (Si +SA B P E+SA P D H)=(S +S2)(Si +a +Sx a)=S2 Sx.(3)解：易证四边形E B G P、四 边 形 H P F
26、D 是平行四边形.所以 S四 边 形 E D G P =2SAEB P，S四 边 形 HPFD=2 S&HP D .所以 SAABD=(SOABCD=1(SI+S2+2SAEBF+2SAHPD)=(+S2)+SAEBP+SAH P D，SAFBD=SAABD (Si +SAEBP+SAHPD)=式S2 S).(4)解：答案不唯一，如：如 图 1 或图2,此 时|S!-S2|=S3+S4；如图 3 或图 4,此时|S1-S2|=|S3-S4|.【解析】解：(1)过 P点作A B M N,S 矩 形 AEPM+S 矩 形 DFPM=S 矩 限 CFPN+S 也 形 DFPM=S 矩 形 ABCD-S 更 形 BEPN乂 *SAAEP=2 S 矩形 AEPM，SACFP=CFPN*e SA A Ep=SA C Fp=1 x 2 x 6 =6,St 4-S2=12.