《2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-07 四边形中的动点问题（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年中考数学压轴题专项高分突破训练-07 四边形中的动点问题（教师版）.pdf（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专练07四边形中的动点问题1.如图，在四边形 A B C D 中，A D B C,Z B=90,A D=3 c m,A B=4 c m,B C=6c m,动点 P 从点 A 出发，以每 秒1 c m的速度沿ATBTC匀速运动，设线段D P扫过四边形A B C D所形成的阴影面积为S (c m?),点P运动的时间为t(s)(0 t 1 0),请解答以下问题：(1)边D C的长为 c m；(2)当点P在B C上运动时，求出阴影面积S (c m2)与运动时间t (s)之间的关系式；(3)是否存在某一时刻t,使 线 段DP把四边形A B C D分成面积相等的两部分?如果存在，请求出t的值；如果不存在，
2、请说明理由；(4)是否存在某一时刻3使a D P C恰好是直角三角形?如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)如 图1,过点D作D H L B C于H,A D 11 B C ,B =9 0二 八=4=90.四边形A B H D是矩形/.D H=A B=4 c m,B H=A D=3 c m,C H=B C-B H=6-3 =3 (c m)在R t C D H中，根据勾股定理得，CD=y/DH2+CH2=V42+32=5(c m)；(2)解：当点P 在 BC上运动时，4 t 10,如图2,连接BD,根据题意AB+BP=tc m，BP=t-AB=(t-4)cm/.s=+A
3、。)AB=3 x(t-4+3)X 4s=2t-2(4 t 1 0)；(3)解：存在某一时刻3使线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分1,:S四边形ABC D=5+BC).AB1)x(3+6)x 4=18(cm2)3s四边形ABCD=N=9(C7H2)SAABD=,i4B=：x 3 x 4 =6,SA AB D S四边形ABCD当线段DP把四边形ABCD分成面积相等的两部分时，点 P 必在BC上，如图2,s=9cm2J 2t-2 =9t=5.5(4)存在某一时刻t,使4D PC恰好是直角三角形ZC 90:.乙PCD 904DPC为直角三角形有两种情况：当 P 在 AB上，且 NcDP=90
4、。时，如图3,连接PC,=AD2+AP2=+t2=9+t2在 RpBCP 中，PC?=PB2+BC2=(4-t)2+62=(4-t)2+36在 Rt4CDP 中，NCDP=90，PD2+CD2=PC2即 9+t2+52=(4-t)2+36解得：t=2.25当 P 在 AB上，且 zC p D=9 0 时,:.PD2+CD2=PC2即 9+t2+(4-t)2+36=52整理得 t2-4 t +10=0此方程无实数根；当 P 在 BC上，且 zD p c=9 0 时，如图4,点 P 与点H 重合,图4BP=BH=3,t=7综上所述，当 t 的值为2.25或 7 时，DPC恰好是直角三角形.2.如图
5、，在正方形ABCD中，E 为直线A B上的动点(不与A,B 重 合)，作射线D E并绕点D 逆时针旋转4 5 ,交直线BC边于点F,连结EF.(1)当点E在边A B上，求证：E F=A E+C F.(2)当点E在边A B上，且A D=2时，则A B E F的周长是.(3)当点E不在边AB上时，E F,A E,C F三者的数量关系是【答案】(1)证明：如图，延长B A到G,使A G=C F,连接D G,四边形A B C D是正方形，D A=D C,N D A G=/D C F=90。，.,.D A G A D C F (S A S),/.Z 1=Z 3,D G=D F,V Z A D C=90,
6、N E D F=4 5,:.Z E D G=Z 1+Z 2=Z 3+Z 2=4 5=Z E D F,：D E=D E,.,.G D E A F D E (S A S),二 E F=E G=A E+A G=A E+C F(2)B E F 的周长=B E+B F+E F,由探究得：E F=A E+C F,:.A B E F 的周 K=B E+B F+A E+C F=A B+B C=2+2=4,故答案为4；(3)当点E不在边AB上时，分两种情况:点E在B A的延长线上时，如图2,EF=CF-AE,理由是：在 C B上取CG=A E,连接DG,V ZDAE=ZDCG=90,AD=DC,/.DAEADC
7、G(SAS)ADE=DG,ZEDA=ZGDCV ZADC=90,:.ZEDG=90 ZEDF+ZFDG=90,V ZEDF=45,ZFDG=90-45=45,ZEDF=ZFDG=45,在a EDFfHA GDF 中，V DE=DG,ZEDF=ZGDF,DF=DFAAEDFAGDF(S A S),AEF=FG,/.EF=CF-CG=CF-AE；当点E 在 A B的延长线上时，如图3,EF=AE-CF,理由是:延长BC到 G,使 CG=AE,连接DG,DA=DC,Z DAE=Z DCG=90,CG=AE.,.DAEADCG二 DE=DG,ZADE=ZCDG.，NADE+NEDC=/CDG+NEDC
8、=90.即：ZADC=ZEDG=90,:/EDF=45,，ZGDF=90-45=45,，ZEDF=ZGDF,VDF=DF,ZEDF=ZGDF,DE=DG.EDF 也GDF,，EF=GF,，EF=CG-CF=AE-CF：综上所述，当点E 不在边A B上时，EF,AE,CF三者的数量关系是：EF=CF-AE或 EF=AE-CF3.在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90。.如图，长方形ABCD中，AD=9cm,AB=4cm,E为边AD上一动点，从点D 出发，以 lcm/s向终点A运动，同时动点P从点B 出发,以acm/s向终点C 运动,运动的时间为ts.(1)当 t=3
9、时，求线段C E的长；当EP平分NAEC时，求 a 的值；(2)若 2=1,且4 CEP是以C E为腰的等腰三角形，求 t 的值；(3)连接DP,直接写出点C 与点E 关于D P对称时的a 与 t 的值.【答案】解：当t=3时 厕 DE=3,在 RtA CDE 中，由勾股定理可得:CE=VDE2+CD2=V32+42=5;当EP平分/A E C 时，根据角平分线的性质可得:点P 到 EC 的距离等于点P 到 AD的距离，即 EC边上的高等于 4,所以 SAPCE=|X4XEC=|XPCXCD,所以|x 4 x 5 =|x P C x 4 ,所以 PC=5厕 PB=BC-PC=95=4,又因为P
10、B=at=3t,所以31=4,解得a=2；4(2)解：在 RSCDE 中，由勾股定理可得:CE=VDE2+CD2=Vt2+42=Vt2+16,所以 PC=BC-BP=9-t,由勾股定理可得:PE=J(9 2t尸+16,当 EC=PE吐Vt2+16=J(9-2t尸+1 6，解得t=3或 t=9(不符合题意，舍去)，当 EC=PC时，Vt2+16=9-t,解得 t=黑,lo所以t=3或 t=筹,18(3)解：因为点C 与点E 关于DP对称，所以D P垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,所以 DE=t=4,因为BP=at,所以BP=4a,所以 PC=94a,由勾股定理可得:PE=716+(
11、5-4 a)2,1 6 +(5-4a尸=94a,解得 a=|,所以 a=-,t=4.44.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点A 出发沿A B 以 lcm/s的速度向点B 移动；同时，点 Q 从点B 出发沿B C 以 2cm/s的速度向点C 移动.设运动时间为t 秒.备用图（1）当 t=2 时，ADPQ的面积为 cm2；（2）在运动过程中4D P Q 的面积能否为26cm2?如果能，求出t 的值，若不能，请说明理由；（3）运动过程中，当 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上时，求 t 的值；（4）运动过程中，当以Q 为圆心，Q P为半径的圆，与矩形ABCD的边共有
12、4 个交点时，直接写出t 的取值范围.【答案】（1）由题意得AP=1 x 2 =2,BQ=2 x 2 =4 PB=AB-AP=6-2=4,CQ=CB-BQ=12-4=8.c _ 12X2 _ c _ 4X4%DAP-，bAQBP-o，SADCQ=等=24 SDPQ=S矩形ABCD _ SADAP-SAQBP-SADCQ=72-12-8-24=28(cm 2)；故答案为：28；（2）解：法一：根据题意得1 i i,DAP=6 x 12 x 12t x 2t(6 t)-x 6 x(12 2t)=26整理得 t2-6 t+1 0 =0b 2-4 a c=-4 0,方程无实数根.,.DPQ的面积不可能
13、为26cm2法二：S&DAP=6 x 12-X 12t X 2t(6 t)x 6 x(12 2t)=1?-6t+36=(t-3)?+27当 t=3 时，DPQ的面积有最小值为27 cm2.DPQ的面积不可能为26cm2(3)解：V ZA=90:.A、P、D 三点在以D P为直径的圆上若点Q 也在圆上，则NPQD=90VPQ2=(6-t)2+(2t)2,DQ2=62+(12-2t)2,当 PQ2+DQ2=DP2,ZPQD=90二(6-1)2+(2t)2+62+(122t)2=t2+122解得 tl=6,t2=|；.t=6 或|时 A、P、Q、D 四点恰好在同一个圆上.(4)如 图 1,DP2=t
14、2+122O Q 与边AD相切过点Q 作 QEJ_AD；G)Q 与边AD相切；.QE=QP62=(6-t)2+(2t)2解得tl=O (舍 去)，t2=yO Q 与过点D则 QD=QP(6-1)2+(2t)2=62+(12-2t)2h =2V 117-18,t2=-2VH7-18(舍去).当 y t 2 V 1 T 7-1 8 时，Q 与矩形ABCD的边共有四个交点.5.如图，梯形 ABCD 中，ADBC,AD=2cm,AB=BC=8cm,CD=10cm.动点 P 从点 B 出发，以 Icm/s的速度，沿 B-A-D-C方向向点C 运动；动点Q 从点C 出发，以 lcm/s的速度，沿 C-D-
15、A方向向点A 运动，过点Q 作 QELBC于点E.若 P、Q 两点同时出发，当其中一点停止时另一个点同时停止，设运动时间为t秒.问:(1)当点P 在边BA上运动，t=时，直线PQ将梯形ABCD的周长平分；(2)在运动过程中，是否存在这样的3使得以P、A、D 为顶点的三角形与ACQE相似?若存在，求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由：(3)在运动过程中，是否存在这样的，使得以P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ为腰的等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的t 的值或取值范围.【答案】(1)A DVBP=CQ=t,AAP=8-t,DQ=10-t,:AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,，
16、8-1+2+10-t=t+8+L，t=3 8(不合题意舍去)3 3 26-27343第二种情况：8三氐1()时.DP=DQ=l()-t.二当 8t10时，以 DQ为腰的等腰 DPQ恒成立.第三种情况：10曰 2 时.DP=DQ=l-10.当 10tl2时，以 DQ为腰的等腰 DPQ恒成立.综上所述，t=至二更 或 8t10或 10t12时，以 DQ为腰的等腰 DPQ成立.36.正方形ABCD中，点O 是对角线AC的中点，P 是对角线AC上一动点，过点P 作 PF_LCD于点F.如图1,当点P 与点0 重合时，显然有DF=CF.（1）如图2,若点P 在线段AO上（不与点A、O 重合），PELPB
17、且 PE交 C D 于点E.求证：DF=EF；写出线段PC、PA、C E之间的一个等量关系；并说出理由；（2）若点P 在线段OC上（不与点0、C 重合），PELPB且 PE交直线C D 于点E.请完成图3 并判断（1）中的结论、是否分别成立？若不成立，写出相应的结论.（所写结论均不必证明）【答案】（1）解：连接PD,四边形 ABCD 是正方形，AC 平分/B C D,CB=CD,A BCPADCP,/.ZPBC=ZPDC,PB=PDVPBPE,NBCD=90。，A ZPBC+ZPEC=360-ZBPE-ZBCE=180,，/PE D=/PB C=/PD C,；.PD=PE,V PF1CD,DF
18、=EFPC=V2 CE+PA,理由如下：延长FP交 AB于点G,则四边形ADFG是矩形，；.AG=DFV A FCP是等腰直角三角形，CP=V2 CF=V2(CE+EF)=V2(CE+DF)=V2(CE+AG)=V2(CE+乎 AP)=V2 CE+PA(2)解：如图，V PB1PE,BCCE,AB,P、C、E 四点共圆，NPEC=NPBC,在 PBC和4 PDC中BC=DC(已 知)，ZPCB=ZPCD=450(已 证)，PC 边公共边，/.PBCAPDC(S A S),，NPBC=NPDC,/.ZPEC=ZPD C,V PF ID E,，DF=EF；同理：PA=V2PG=V2DF=V2EF,
19、PC=V2CF,.,.PA=V2EF=V2(CE+CF)=V2CE+V2CF=V2CE+PC即 PC、PA、CE 满足关系为：PA=V2CE+PC.7.如图，在矩形力B C D 中，AB=2cm,乙4DB=30。.P、Q 两点分别从A,B 同时出发，点 P 沿折线 A B-B C 运动，在A B上的速度是2cm/s,在B C上的速度是2b cm/s;点 Q 在上以2 c m/s的速度向终点D 运动，过点P 作PN L A D,垂足为点N.连 接 PQ,以 PQ,P N为邻边作 P Q M N .设运动的时间为x(s),回 PQM N与 矩 形A B C D重叠部分的图形面积为y Q m?).(
20、善用图)(1)当 PQ 1 4B 时，x=.(2)若 直 线M Q与A D交于点E,当 x=:时，求 E Q的长；(3)求 y 关于x 的函数解析式，并写出x 取值范围；(4)直 线A M将 矩 形A B C D的面积分成1:3 两部分时，直接写出x 的值.【答案】当 PQ A B 时，如图所示.PQAD,，ZPQB=ZADB=30,BQ=2PB,由题意可得AP=2x,BQ=2x.*.BP=AB-AP=2-2x.2x=2(2 2x)2X=3故答案为：|.(2)解：当 x=：时，如下图所示43 3BQ=2x-=cm在 R S ABD 中，ZADB=30，BD=2AB=4cm/.DQ=BD-BQ=
21、|.EQ=：DQ=（3）解：如图1 中，当 0/3xy=AP-QH=2V3x2.如图2 中，当|/3 x，E Q=|D Q =|(4 -2 x)=2 -x ,A P=2 xy =1(E Q +A P)-Q H =y x2+V 3 x如图3中，当lx/3(x 1),D Q=4 2 x,A D=B D c o s 3 0=2A/3E Q=|D Q =|(4-2 x)=2-X,D E=D Q c o s 3 00=苧(4 -2 x)=2 /3 -V 3 x.,.E N=A D-D E-A N=-V 3 x +2 7 3y =1(E Q +N P)-E N =y x2-3 g x+4 7 32 V 3
22、 x2(0 X|)综上所述 y =y x2+V 3 x(|x 1)y x2-3 V 3 x +4 5/3(l x 0,A AB=Vna，AD na r-M =扁=诉；(3)解：若 AD=4AB,则 A B=：a,4如图2,当 点 F 落在线段B C 上时，EF=AE=AB=a，此时=a,4Dn=4,当 点 F 落在矩形内部时，n 4 ,V ZCGF=90,如图 3,/.ZCGD+ZAGF=90,v ZFAG 4-ZAGF=90,Z.CGD=zFAG=Z.ABE,v ZBAE=ZD=90,AABE ADGC,AB AE-fDG DC二 AB DC=DG-AE,DG=AD AE-EG=na-2a=
23、（n-2）a,（：a）2=（n-2）a-a,n=8+4A/2 或 n=8-4/2（由于 n 4,所以舍），即：n=8+4V29.如图，已知四边形ABC。中，AB/DC,A B=D C,且 AB=4cm,B C=8 cm,对角线4 C=4而(1)求证：四边形ABCO是矩形；(2)如图，点。是A C 上一点，点尸是BC上一点，点 P 不与点B 重合，衣 BP=2CQ,连接BQ、AP若 4P_LBQ,求 B P 的值；(3)如图，若动点。从点C 出发，以每秒6cm 的速度在对角线A C 上运动至点A 止，过点。作 B C 垂线 于 点 尸，连接尸。,将PQ C沿 P Q 折叠，使点C 落在直线2 c
24、 上的点E 处，得 PQE,是否存在某一时刻t,使得 E A Q 为直角三角形?请求出所有可能的结果.【答案】（1）证明：ABDC,AB=DC,四边形ABCD是平行四边形，；AB=4,BC=8,AC=4V5，AB2+BC2=80,AC2=80,，AB2+BC2=AC2AZB=90,.四边形ABCD是矩形；(2)解：如图，过 Q 作 QE_LBC于 E,.CQ _ CE _ QE*CA-CB-AB.CQ CE QE*w l-V ACQ=V5QE,CE=2QE,丁 AP1BQ,ZABC=90,ABPABEQ,.AB _ BP*BE-QE VBE=BC-CE=8-2QE,遍 BP=2CQ=2V5QE
25、,；.BP=2QE,4 _ 2QE*8-2QE QE AQE=3,/.BP=6cm；(3)解:当 NAEQ=90。时，由折叠的性质得 CQ=EQ=V5t,QPBC,EP=CP,QPAB,AACQPACAB,.3 =U ,即 隼=也，CA AB 4V5 4APQ=t,EP=CP=2t,.Z AEQ=Z ABC=ZQPE=90,A ZQEP+ZAEB=90,ZBAE+ZAEB=90,AZBAE=ZQEP,.ABESAEPQ,-AB _ BE m4 _ _ _ 8-4t*,EP PQ，即 2t：-t，.It郡.10.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，
26、点C在y轴的正半轴上，OA=5,OC=4.y(1)在0(2边上取一点口，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，则E点的坐标为；D点的坐标为.(2)如图，若AE上有一动点P(不与A、E重 合)自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每 秒1个单位长度，设运动的时间为t秒(0 t 5),过P点作ED的平行线交AD于点M,过点M作AE的平行线交DE于点N.求四边形PMNE的面积S与 时 间t之间的函数关系式；(3)在(2)的条件下，当t为何值时，以A、M、E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应时刻点M的坐标.【答案】(1)依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，,在 RsABE
27、中，AE=AO=5,AB=4,BE=3.ACE=2.E点坐标为(2,4).在 RS DCE 中，DC2+CE2=DE2,XVDE=OD.(4-OD)2+22=OD2.解得：0D=25；.D点坐标为(0,2.5).故答案为：(0,2.5),(2,4)；(2)VPM/7ED,AAAPMAAED./.PM：ED=AP：AE,PM=AED,AE又.,AP=t,ED=2.5,AE=5,5t i/.PM=2 =-35 2V PM/7DE,MNEP,.四边形NMPE为平行四边形.又,.NDEA=90。，四边形PMNE为矩形.S 矩形 PMNE=PMPE=t(5-t)=-lt2+lt；(3)(I)若以A E为
28、等腰三角形的底，则 ME=MA(如图)在 RtA AED 中，ME=MA,:PM1AE,；.P 为 A E的中点，.t=A P=-AE=2.5,2又：PMED,.M为 AD 的中点.过点M 作 MF_LOA,垂足为F,则 M F是4 OAD的中位线,；.M F=-OD=-，OF=-OA=2.5,24 2.当t=2.5时，(0V2.5V5),A A M E 为等腰三角形.此时M 点坐标为(2.5,1.25).(II)若以AE为等腰三角形的腰,则 AM=AE=5（如图）在 RtA AOD 中，AD=VOD2+AO2=竽.过点M 作 MF_LOA,垂足为F,：PMED,AAAPMAAED.AP：AE
29、=AM：AD.，t=A P=2 V5.ADPM=t=V5.MF=MP=V5,OF=0 A-AF=OA-AP=5-2 遍，当 t=2 V 5 时，(02 V5 0,a 为常数）的图象同时经过E,F,直接写出a 的值.【答案】（1）解：AE=AB-BE=6-2=4;由勾股定理得OBR0A2+AB2=V62+62=6企，OF=2V2BE，BE=t=2,.OF=4V2，BF=OB-OF=2 近,故答案为：4,2V2；（2）解：如图，由题意，得 EB=t,BF=6V2-2V2tFH=6-2t由面积得1 t(6-t)=：解 得 t=?(3)解：由已知得：OF2=(2 低)2=8t2EF2=(6-2t)2+(6-3t)2=13t2-60t+72EO2=62+(6-1)2=t2-12t+72(I)OF=EF则有 8t2=13t2-60t+72解 得 t=丑的空5(n)EF=OE则有 t2-12t+72=13t2-60t+72解得t=4,(III)OF=OE解 得 t=迹a7由题意及图象可得：V OF=2V2BE，设 B E=t,四边形 OABC 是正方形，AB=6,OF=2V2t,AE=6-t,F(2t,2t),E(6,6-t)45=_4V y=-+a 同时经过点E、F,e+a=6-t，解 得 二、X+a=2t z-22t故答案为：-4.