2022年自动控制原理课后答案 2.pdf

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1、1 第四章根轨迹法习题及答案4-1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*sssKsHsG试证明点311js在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K和开环增益K。解 若点1s在根轨迹上， 则点1s应满足相角条件)12()()(ksHsG，如图解4-1 所示。对于31js，由相角条件)()(11sHsG)431()231() 131(0jjj6320满足相角条件，因此311js在根轨迹上。将1s代入幅值条件：1431231131)(*11jjjKsHsG）（解出：12*K，238*KK4-2已知开环零、极点如图4-22 所示，试绘制相应的根轨迹。（）（）（）（）名师资料总结 - - -精品

2、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 2 解 根轨如图解4-2 所示：4-3已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出系统根轨迹。) 15.0)(12.0()(sssKsG)3)(2()5()(*ssssKsG) 12()1()(sssKsG（）（）（）（）题 4-22 图开环零、极点分布图图解 4-2 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

3、 - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 3 解 )2)(5(10)15.0)(12 .0()(sssKsssKsG系统有三个开环极点：01p,22p,53p实轴上的根轨迹：5, 0, 2渐近线：,33)12(373520kaa分离点：021511ddd解之得：88.01d，7863.32d(舍去)。与虚轴的交点：特征方程为010107)(23kssssD令010)(Im0107)(Re32jDkjD解得710k与虚轴的交点（0，j10） 。 根轨迹如图解4-3(a)所示。 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：3,5, 0 ,2 渐近线：22) 12(0

4、2)5(320kaa 分离点：5131211dddd用试探法可得886.0d。根轨迹如图解4-3(b)所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - - 4 )21(2)1() 12() 1()(sssKsssKsG根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：1, 0, 5.0 分离点：115.011ddd解之得：707.1,293.0dd。根轨迹如图解4-3(c)所示。4-4 已知单位反馈系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。

5、)21)(21()2()(*jsjssKsG)1010)(1010()20()(*jsjsssKsG解 )21)(21()2()(*jsjssKsG根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2, 分离点：21211211djdjd解之得：23.4d 起始角：43.15390435.631801p由对称性得另一起始角为43.153。根轨迹如图解4-4(a)所示。)1010)(1010()20()(*jsjsssKsG系统有三个开环极点和一个开环零点。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：0,20名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 5 起始角：01359045180根轨迹如图解4-4(b)所示。4- 已知系统的开环传递函数，试概略绘出相应的根轨迹。)208()()(2sssKsHsG) 5)(2)(1()()(ssssKsHsG)22)(3()2()()(2sssssKsHsG)164)(1()1()()(2sssssKsHsG解 )208()()(2sssKsHsG实轴上的根轨迹：0,渐近线：,33)12(383)24()24(0kjjaa分离点：02412411jdjdd解之得：33.3,2 dd。与虚轴交点：Ks

7、sssD208)(23把js代入上方程，整理，令其实、虚部分别为零得：020)(Im(08)(Re(32jDKjD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 6 解得：00K1 6 052K起始角：由相角条件632p，633p。根轨迹如图解4-5(a)所示。) 5)(2)(1()()(ssssKsHsG实轴上的根轨迹：,2,50 , 1渐近线：43,44)12(24)1()2()5(0kaa分离点：05121111dddd

8、解之得：54.1,399.0,06.4321ddd(舍去)；与虚轴交点：KsssssD10178)(234令js，带入特征方程，令实部，虚部分别为零05)6()(Im(028)(Re(324KjDKjD解得：00K7.1912.1K根轨迹如图解4-5(b)所示。)22)(3()2()()(2sssssKsHsG系统有四个开环极点、一个开环零点。根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：,3,0, 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - -

9、 - - 7 渐近线：,33)12(13)2() 11()11(3kjjaa与虚轴交点：闭环特征方程为)2()22)(3()(2sKsssssD把js代入上方程，令05)6()(Im(028)(Re(324KjDKjD解得：00K03.761.1K 起始角57.2557.2513590451803p根轨迹如图解4-5(c)所示。)164)(1()1()()(2sssssKsHsG系统根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：,1,1 , 0渐近线：,33) 12(323)1()32()32(1kjjaa分离点：1132213221111djdjddd解得：16.276. 0,49. 0,26.24321

10、jddd、(舍去 ) 与虚轴交点：闭环特征方程为0) 1()164)(1()(2sKsssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - - - - - - - - 8 03)16()(Im(012)(Re(324KjDKjD解得：00K7.2138.1K3 .3766. 2K起始角：79.5489.130120901.1061803p由对称性得，另一起始角为79.54，根轨迹如图解4-5(d)所示。4-

11、 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2ssszsKsG产生纯虚根为1 j的z值和K值；（2）概略绘出)23)(23)(5 .3)(1()(jsjssssKsG的闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342zKsKssszsKssssD有0)30()200()(324KjzKjD令实虚部分别等于零即：0300200324KzK把1代入得：30K，30199z。（2）系统有五个开环极点：23,23, 5. 3, 1, 054321jpjpppp实轴上的根轨迹：,5. 3,0

12、 , 1渐近线：13.5( 32)( 32)2.15(21)3,555aajjk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 9 分离点：02312315 .31111jdjdddd解得：45.01d, 4. 22d(舍去) ,90.125.343jd、(舍去 ) 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5 .3)(1()(KjsjsssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：05 .455 .43)Im(0

13、5.795.10)Re(3524jKj解得：00K，90.7102.1K，3 .1554652.6K（舍去）起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74.923.1461359096.751804p由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6 所示。4- 已知控制系统的开环传递函数为22)94(2)()(sssKsHsG）（试概略绘制系统根轨迹。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2, 渐近线：,33) 12(323)2(5252kjjaa 分离点：21522522djdjd图解 4-6 根轨迹图图解 4-7 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

14、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 10 解之得：29.3d71.0d(舍去 ) 与虚轴交点：闭环特征方程为02)94()(22）（sKsssD把js代入上方程，令08)72()(Im(028134)(Re(324KjDKjD解得：9621K起始角：）（）（129022901kp解出135,4521pp根轨迹如图解4-7 所示。4- 已知系统的开环传递函数为)93()(2sssKsG试用根轨迹法确定使闭环系统稳定的开环增益K值范围。解 根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：0

15、,起始角：30渐近线：,33)12(136.25.16 .25.1kjjaa与虚轴交点：闭环特征方程0)9()(2KssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：图解 4-8 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 11 09)(Im(03)(Re(32jDKjD解得：00K273K根轨迹如图解4-8 所示。从根轨迹图可知，闭环系统稳定的K范围为270K，又9*KK，故相应的的K范围为30K。4- 单

16、位反馈系统的开环传递函数为) 174()1()12()(2sssKsG试绘制系统根轨迹，并确定使系统稳定的K值范围。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：4/7, 5. 0 渐近线：22)12(412)5.0(4/711kaa 与虚轴交点：闭环特征方程为01)7102(7174)(23KsKsssD把js代入上方程，令074)7102()(Im(0711)(Re(32KjDKjD解得：10K，792K根轨迹如图解4-9 所示。由图解4-9 可知使系统稳定的K值范围为791K。图解 4-9 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

17、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 12 4-10 单位反馈系统的开环传递函数为)5.0)(2()52()(2ssssKsG试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的K值范围。解 根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：5.0 ,2 分离点：由211211215 .01jdjddd解得：41. 01d。与虚轴交点：0)52() 5. 0)(2()(2ssKsssD把 s=j代入上方程，令0)25.1 ()(Im(015)1 ()(Re(2KjDKKjD解得：2.00K75.025.1K根轨迹如图解4-10 所示。由图解4-

18、10 可知系统稳定的K值范围为75.02.0K；又KK5，所以系统稳定的K值范围为75.31K。4-11 试绘出下列多项式方程的根轨迹。023223KKssss；010)2(323KsKss解 023223KKssss作等效开环传递函数ssssKsG32)2()(23*。根轨迹绘制如下：图解 4-10 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21 页 - - - - - - - - - 13 图解 4-11(b) 根轨迹图 实轴上的根轨迹：0, 2 渐近

19、线：22)12(02)2()21(21kjjaa 起始角：48.1926.1259074.541801p根轨迹如图解4-11(a)所示。(2) 010)2(323KsKss作等效开环传递函数ssssKsG23)10()(23*。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2,10,0 , 1； 渐近线：22)12(5.32)10(21kaa 分离点：10121111dddd解得4344. 01d,4752.142d(舍),5904.13d(舍) 与虚轴交点：闭环特征方程为010)2(3)(23KsKsssD把 s=j代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：0)2()(Im(0310)(Re(32KjDKj

20、D试根可得：图解 4-11(a) 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 14 00K7669.1K根轨迹如图解4-11(b)所示。4-12控制系统的结构如图4-23 所示，试概略绘制其根轨迹。解系统开环传递函数为3)2() 1()(ssKsG此系统为正反馈系统，应绘零度根轨迹。实轴上的根轨迹：2, 1 分离点：1123dd解得5 .0d 起始角：根据相角条件，njjmiik112得601p，602p，180

21、3p。根轨迹如图解4-12 所示。4-13 设单位反馈系统的开环传递函数为)2()1 ()(sssKsG试绘制其根轨迹，并求出使系统产生重实根和纯虚根的K值。解 由开环传递函数的表达式知需绘制0根轨迹。 实轴上的根轨迹：,0 , 2), 1； 分离点：11211ddd解得：732.01d, 732. 22d将732.01ds, 732. 22ds代入幅值条件得图解 4-12 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - -

22、 - 15 54.01dK, 46. 72dK 与虚轴交点：闭环特征方程为0)1()2()(sKsssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：0)2()(Im(0)(Re(2KjDKjD解得：00K241.1K根轨迹如图解4-13 所示，复平面上的根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到分离点的距离为半径的圆。系统产生重实根的K为 0.54，7.46，产生纯虚根的K为 2。4-14 已知单位反馈系统的开环传递函数，试绘制参数b从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出2b时系统的闭环传递函数。（1）)(4(20)(bsssG（ 2）)10()(30)(ssbssG解 （1）做等效开环传递函数G(s)

23、204)4(2sssb实轴上的根轨迹：4,(分离点：41421421djdjd解得：472.01d(舍去)，472.82d如图解 4-14(a)所示，根轨迹为以开环零点为圆心，开环零点到开环极点的距离为半径的圆。当2b时，两个闭环特征根为24. 432, 1j。此时闭环传递函数为图解 4-13 根轨迹图图解 4-14(a) 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 16 图解 4-14(b) 根轨迹图)24.4

24、3)(24.43(20)(jsjss（2）做等效开环传递函数G(s)=)40(30ssb实轴上的根轨迹：0,40分离点：04011dd解得：20d根轨迹如图解4-14(b)所示，当2b时，两个闭环特征根为44.381，56. 12此时闭环传递函数为)44.38)(56.1()2(30)(ssss4-15 已知系统结构图如图4-24 所示，试绘制时间常数T变化时系统的根轨迹，并分析参数T的变化对系统动态性能的影响。解：ssTssG20100)(23作等效开环传递函数32*)10020(1)(sssTsG根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：10,(,0,10 分离点：1023dd解得30d。根据幅值

25、条件，对应的015.0T。 虚轴交点：闭环特征方程为010020)(23ssTssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：图 4-24 系统结构图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 17 020)(Im(0100)(Re(32TjDjD解得：2 .010T 起始角：601p参数T从零到无穷大变化时的根轨迹如图解4-15 所示。从 根 轨 迹 图 可 以 看 出 ， 当015.00T时 ， 系 统 阶跃 响

26、应 为 单 调 收 敛 过 程 ；2.0015.0T时，阶跃响应为振荡收敛过程；2 .0T时，有两支根轨迹在s 右半平面，此时系统不稳定。4-16 实系数特征方程0)6(5)(23asasssA要使其根全为实数，试确定参数a的范围。解 作等效开环传递函数)3)(2()1(65)1()(23ssssassssasG当0a时，需绘制180根轨迹。实轴上的根轨迹：2, 3，0, 1渐近线：213)12(213132kaa分离点：1131211dddd解得47.2d分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得：4147.0132ddddKd图解 4-15 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -

27、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 18 根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由根轨迹图解4-16(a) 可以看出，当4147.00a时，多项式的根全为实数。当0a时，需绘制0根轨迹。 实轴上的根轨迹区段为：3,，1, 2，,0。由根轨迹图图解4-16(b) 可以看出， 当0a时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为4147.00a或0a。4-17某单位反馈系统结构图如图4-25 所示，试分别绘出控制器传递函数)(sGc为*1)(KsGc) 3(

28、)(*2sKsGc)1()(*3sKsGc时系统的根轨迹，并讨论比例加微分控制器)()(*cczsKsG中，零点cz的取值对系统稳定性的影响。解 *1)(KsGc时系统开环传递函数为2)(s)(2*sKsG根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2,( 渐近线：,33)12(3232kaa根轨迹如图解4-17(a)所示。)3()(2sKsGc；系统开环传递函数为2)(s)3()(2ssKsG，根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：2, 3图解 4-17(b) 根轨迹图图 4-25 系统结构图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

29、名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 19 渐近线：22)12(212)3(2kaa根轨迹如图解4-17(b)所示。)1()(3sKsGc系统开环传递函数为2)(ss)1()(2sKsG。根轨迹绘制如下： 实轴上的根轨迹：1, 2 渐近线：22)12(212) 1(2kaa根轨迹如图解4-17(c)所示。从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器)()(cczsKsG的加入使根轨迹向左移动，且当pzc时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。4-18 某单位反馈系统的开环传递函数为4)15.0()(sKsG试根据系统根轨

30、迹分析系统稳定性，并估算%3 .16%时的K值。解 4)2(16)(sKsG根轨迹绘制如下：实轴的根轨迹：实轴上的除点2外没有根轨迹区段。图解 4-18 根轨迹图图解 4-17(c) 根轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 20 渐近线：43,44)12(242222kaa与虚轴交点：令0)( jD，解得根轨迹与虚轴交点为2j。根轨迹与虚轴交点对应的根轨迹增益为64224jK相应开环增益为416*KK根轨迹如

31、图解4-18 所示。从根轨迹图中可以看出，当根轨迹增益640*K，开环增益40K，根轨迹全在左半 s 平面，系统稳定； 当轨迹增益64*K，开环增益4K，有两条根轨迹落在右半s 平面，此时系统不稳定。 对二阶系统来说，当%3.16%时，5.0。系统阻尼角为605.0arccos在 s 平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为60。OA 与根轨迹交点为1，其余3个交点为2，3和4。而本系统为四阶系统，其闭环极点分布满足主导极点的分布要求，可以认为，1、2是主导极点，忽略3、4作用，将该系统近似为二阶系统。不难计算268. 1732. 01j，带入幅值条件可得对应根轨迹增益为：646.016|2268

32、.1732.0|4jK4-19单位反馈系统开环传递函数为)22)(3()(2sssKsG要求闭环系统的最大超调量%25%，调节时间sts10，试选择K值。解 根轨迹绘制如下：实轴上的根轨迹：3, 渐近线：,33) 12(353113kjjaa名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 21 图解 4-19 根轨迹图 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为0685)(23KssssD把js代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：0

33、8)(Im(065)(Re(32jDKjD解得：3483.2K根轨迹如图解4-19 所示。由4.0%25%（4 .664. 0arccos） ，在 s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为4.66。OA 与根轨迹交点为1，其余 2 个交点为2，3。令nnnnjj92.04.0121则nnnnjj92.04.0122特征方程为3232233321)8. 0()8.0()()()(nnnnsssssssDKsss68523比较系数得Knnnn688 .058.032323解得8.4616.373.13Kn由调节时间sts10, 又5.35. 3nnst，当35.0n时，由根之和可得3. 43，由幅值条件确定出对应的5 .15K。要求闭环系统的最大超调%25%，调节时间sts10，则K取值范围对应为8.40K。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -