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1、1 【教材习题及解答】4-1 【答】所谓根轨迹，是指系统开环传递函数的某一参量从零变化到无穷时，闭环系统特征方程式的根在 s 平面上变化而形成的轨迹。根轨迹反映了闭环系统特征根在s 平面上的位置以及变化情况，所以应用根轨迹可以直观地分析参数变化对系统动态性能的影响，以及要满足系统动态要求，应如何配置系统的开环零极点，获得期望的根轨迹走向与分布。4-2【答】运用相角条件可以确定s平面上的点是否在根轨迹上；运用幅值条件可以确定根轨迹上的点所对应的参数值。4-3【答】考察开环放大系数或根轨迹增益变化时得到的闭环特征根移动轨迹称为常规根轨迹。除开环放大系数或根轨迹增益变化之外的根轨迹称为广义根轨迹，如
2、系统的参数根轨迹、正反馈系统根轨迹和零度根轨迹等。绘制参数根轨迹须通过闭环特征方程式的等效变换，将要考察的参数变换到开环传递函数中开环放大系数或根轨迹增益的位置上，才可应用根轨迹绘制规则绘制参数变化时的根轨迹图。正反馈系统的闭环特征方程1G(s)H(s)=0 与负反馈系统的闭环特征方程1+G(s)H(s)=0 存在一个符号差别。因此，正反馈系统的幅值条件与负反馈系统的幅值条件一致，而正反馈系统的相角条件与负反馈系统的相角条件反向。负反馈系统的相角条件（+2k ）是 180 根轨迹，正反馈系统的相角条件（0+2k ）是0 根轨迹。因此，绘制正反馈系统的根轨迹时，凡是与相角有关的绘制法则，如实轴上
3、的根轨迹，根轨迹渐近线与实轴的夹角，根轨迹出射角与入射角等，都要变+2k 角度为 0+2k 。4-4【答】由于开环零极点的分布直接影响闭环根轨迹的形状和走向，所以增加开环零极点将使根轨迹的形状和走向发生改变，从而使系统性能也随之发生变化。一般来说，增加合适的开环零点，可使闭环系统的根轨迹产生向左变化的趋势，从而改善系统的稳定性和快速性。增加开环极点时，增加了根轨迹的条数，改变了根轨迹渐近线的方向，可使闭环系统的根轨迹产生向右变化的趋势，削弱系统的稳定性和快速性。增加开环零极点，都将改变根轨迹渐近线与实轴的交点与夹角，可能改变根轨迹在实轴上的分布。4-5 【解】 (1) 将1j 3s代入系统的开
4、环传递函数有：( )( )180G s H s，满足根轨迹的相角条件，故1j3s是该根轨迹上的点。当点1j 3s在根轨迹上时，有( )( )1G s H s。即124Ksss于是，可得12K。(2) 系统的特征方程为( )(1)(2)(4)0D ssssK，由劳斯表32101147890078ssKKssK易得使闭环系统稳定的K*值的范围为 - 8 K* 90。4-6【答案】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - - 2
5、jjjj(a) (b) (c) (d) jjjj(e) (f) (g) (h) 图 4-10 开环传递函数根轨迹图4-7 【解】 (1) ( )( )(0.2)(0.5)(1)KG s H ssss，绘制步骤如下：1) 该系统有 3 个开环极点，无开环零点，分别为p1- 0.2，p2-0.5，p3- 1。2) 系统有 3 条根轨迹分支，均趋向于无穷远处。3) 实轴上 (-, - 1和- 0.5,- 0.2区域为根轨迹。4) 由于 n- m 3，故系统有 3 条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：(21)=60 , 180 ( 0,1 )3akk11( 0.2)( 0.5)( 1)0.5673
6、nmijijapznm5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式，有( )(0.2)(0.5)(1)A ssss，( )1B s，代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到233.40.80ss求解上述方程，得到10.8s，20.33s由于 s2在根轨迹 -0.5, - 0.2上，故取分离点坐标为0.33d。6) 确定根轨迹与虚轴的交点。由系统的开环传递函数，可得对应的闭环特征方程为321.70.80.10sssK将 sj代入上式，整理得到231.70.1j(0.8 )0K分别令上式中的实部和虚部为零，即231.70.100.80K解得 0.89，K*1.
7、26。系统的完整根轨迹如图4-11 所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - - 3 j-1 -0.5 -0.2 0a+j0.89-j0.89d图 4-11 题 4-7(1)系统的根轨迹图(2) 2(2)( )( )(210)KsG s H sss，绘制步骤如下：1) 该系统有 2 个开环极点， 1 个开环零点，分别为p1,2-1j3，z1- 2。2) 系统有 2 条根轨迹分支，一条终止于有限开环零点z1- 2，另一条
8、趋向于无穷远处。3) 实轴上 (-, - 2区域为根轨迹。4) 由于 n- m 1，故系统只有1 条根轨迹渐近线，其倾角和起点坐标分别为：(21)=180 ( 0 )1akk11( 13j)( 13j)( 2)01nmijijapznm5) 确定根轨迹的分离点或会合点。根据开环传递函数表达式，有2( )210A sss，( )2B ss，代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到2460ss求解上述方程，得到15.1623s，21.1623s由于 s1在根轨迹 (-, - 2上，故取分离点坐标为5.1623d。6) 确定根轨迹的出射角。由零、极点分布位置及出射角
9、计算公式，得到点p1处的出射角为11 121180arctan390161.57pz pp p根据对称性，点p2处的出射角为 - 161.57。系统的完整根轨迹如图4-12 所示。j p1p2d=-5.16-5 -4 -3 -2 -1 0+3j-3j图 4-12 题 4-7(2)系统的根轨迹图(3) (5)( )( )(2)(3)KsG s H ss ss，绘制步骤如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - - 4 1)
10、 该系统有 3 个开环极点， 1 个开环零点，分别为p10，p2- 2，p3- 3，z1- 5。2) 系统有 3 条根轨迹分支，其中一条终止于有限开环零点z1- 5 处，另两条则趋向于无穷远处。3) 实轴上 -5,- 3和- 2,0区域为根轨迹。4) 由于 n- m 2，故系统有 2 条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：(21)=90 ( 0 )2akk11( 2)( 3)( 5)02nmijijapznm5) 确定根轨迹的分离点。根据开环传递函数表达式，有( )(2)(3)A ss ss，( )5B ss，代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到32
11、22050300sss求解上述方程，得到16.5171s，22.5964s，30.8865s由于 s3在根轨迹 -2,0上，故取分离点坐标为0.8865d。系统的完整根轨迹如图4-13 所示。jd=-0.89-5 -4 -3 -2 -1 0图 4-13 题 4-7(3)系统的根轨迹图4-8【证】设 s为系统根轨迹上的一点，则根据相角条件有(6)(4)(21) , 0, 1, 2, ssskk然后，将 s j代入上式，得到(6j)(j)(4j)(21) , 0, 1, 2, kk即arctanarctanarctan(21) , 0, 1, 2, 64kk移项，得arctanarctan(21)
12、arctan, 0, 1, 2, 64kk对上式两边取正切，可得6416整理可得222(6)(2 3)可见，这是一个以（- 6,0）为圆心，以2 3为半径的圆方程。即证明该系统的复数根轨迹部分为一圆，其名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - - 5 圆心坐标为（ - 6,0） ，半径为2 3。4-9【解】 K*1 时，系统的闭环特征方程为21( )( )10(2)sTG s H sss即2(2)0sssT则以 T 为参变量
13、时的等效开环传递函数为32( )( )2TGs Hssss以下绘制以 T 为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有3 个开环极点，无开环零点，即p10，p2,3- 1。2) 新系统具有 3 条根轨迹，均终止于无穷远处。3) 实轴上的 (- , - 1和- 1,0均为根轨迹区域。4) 新系统有 3 条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为60和180，交点为110( 1)( 1)233nmijijapznm5) 根轨迹的分离点根据等效开环传递函数的表达式，有32( )2A ssss，( )1B s，于是2( )( )( ) ( )3410A s B sA s B sss解得 s1- 1，
14、s2-1/3。显然，分离点坐标为d- 1/3。6) 根轨迹与虚轴的交点以 T 为参变量时，系统的闭环特征方程为3220sssT将 sj代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到2220(1)0T求解上述方程组，得到解为1,2T根据以上信息，绘制的根轨迹如图4-14 所示。j-1 02313+j1-j1图 4-14 题 4-9 的参数根轨迹4-10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - - - 6 10(2)s s1sR(s)C(
15、s)-图 4-15 题 4-10 的系统结构图【解】系统的开环传递函数为10(1)( )( )(2)sG s H ss s系统的闭环特征方程为2210100sss则以 为参变量时的等效开环传递函数为2( )( ), (10 )210KsGs HsKss以下绘制以 为参变量时的系统根轨迹：1) 等效开环传递函数有2 个开环极点和1 个开环零点，即p1,2-1j3，z10。2) 新系统具有 2 条根轨迹，一条终止于z10，另一条终止于无穷远处。3) 实轴上的 (- ,0 为根轨迹区域。4) 新系统有 2 条根轨迹渐近线，与实轴正方向的夹角分别为0和180，交点为11( 13)( 13)21nmij
16、ijapzjjnm5) 根轨迹的汇合点根据等效开环传递函数的表达式，有2( )210A sss，( )B ss，于是2( )( )( ) ( )100A s B sA s B ss解得1,2103.16s。显然，汇合点坐标为d- 3.16。6) 根轨迹的出射角11121180(180arctan3)90198.43pz pp p，2198.43p根据以上信息，绘制的参数根轨迹如图4-16 所示。jp1p2d=- 3.16-5 -4 -3 -2 -1 0+3j-3j图 4-16 题 4-10 的系统根轨迹4-11【解】（1）确定满足条件的极点容许区域。由题意% 5，及关系式21%100%e，可得
17、0.69。根据arccos，可得阻尼角46.3。又由8sst，及3.53.5snt（为极点实部），可知0.4375。因此，极点容许区域如图4-17 中的阴影区所示。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - - 7 j-2 -1 0K*K*K*图 4-17 极点容许区域（2）确定根轨迹与容许区域边界交点处的K*值。用幅值条件不难确定实轴根轨迹与垂线s=- 0.4375 交点处的 K*值为 0.684；复平面上根轨迹与扇形区边界
18、交点 1j1.046 处的 K*值为 2.094，故满足条件的K*值范围为0.684 K* 2.094 4-12 【解】 （1）由于已知开环传递函数是由两个有限极点和一个有限零点组成的，故该系统根轨迹的复数部分为一圆，其中圆心在有限零点z1- 6 处，半径为有限零点到分离点（会合点）的距离。由开环传递函数知：2( )3A sss，( )6B ss。代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到：212180ss。解得 s1-1.76，s2- 10.24。由图可知， s1为分离点坐标， s2为会合点坐标。系统的根轨迹如图4-18 所示。-14-12-10-8-6-4-
19、202-6-4-20246Root LocusReal AxisImaginaryAxis-1.76-10.24A图 4-18 题 4-12 系统增加开环零点后的根轨迹图（2）根据幅值条件，可知：分离点 s1- 1.76 对应的开环根轨迹增益为11.7601.76( 3)0.5151.76( 6)K会合点 s2- 10.24对应的开环根轨迹增益为210.24010.24( 3)17.48510.24( 6)K由根轨迹图可知，当0K*0.515 时，系统有两个相异的负实根，此时系统处于过阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程；当0.515K*17.485 时，系统有一对负实部的共轭复根，此时系统处于
20、欠阻尼状态，单位阶跃响应为衰减振荡过程；当K*17.485 时，系统又具有两个相异的负实根，系统回到过阻尼状态；当K*0.515 或 17.485 时，系统有两个相等的负实根，此时系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼状态快。（3）过坐标原点作根轨迹圆的切线，切点为A，如图 4-18 所示。由关系式cos可知，该切线与负实轴夹角的余弦就是所要求的系统最小阻尼比，此时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - -
21、- - - 8 coscos450.707相应的 A 点坐标为 - 3+3j。根据对称性，系统最小阻尼比所对应的闭环极点为- 3 3j。由幅值条件易知，A 点处的开环根轨迹增益为33j033j( 3)333j( 6)K因此，系统的闭环传递函数为2( )( )3(6)3(6)( )1( )( )(3)3(6)618G s H ssssG s H ss ssss单位阶跃输入时，有( )1R ss，因此，系统阶跃响应的拉氏变换为223(6)113( )( ) ( )618618ssC ss R sssssss对上式求拉氏反变换，得到3( )1( )cos3tc ttet图 4-19 为该系统的单位阶
22、跃响应曲线。由图可见，在系统最小阻尼比时，系统的单位阶跃响应具有较好的平稳性和快速性。00.511.522.533.544.5500.20.40.60.811.2Step ResponseTime (sec)Amplitude图 4-19 题 4-12 系统的单位阶跃响应曲线4-13 【解】 （1）具体绘制步骤省略，得到的根轨迹如图4-20 所示。-4-3-2-1012-3-2-10123Root LocusReal AxisImaginaryAxisd1.414j-1.414jK*=6K*=0.385AB图 4-20 题 4-13 系统的根轨迹图（2）经计算根轨迹在实轴上的分离点坐标为d-
23、0.423，根轨迹与虚轴的交点为1,2j 2j1.414s，对应的临界开环根轨迹增益为K*6。当系统动态过程为衰减振荡形式时，说明系统处于欠阻尼工作状态，此时系统有一对负实部的共轭复数极点。从根轨迹图4-20 可以看出，当闭环极点位于从分离点到虚轴交点之间的根轨迹时，系统处于欠阻尼工作状态。 因此，只要求出分离点及虚轴交点处对应的开环根轨迹增益，就能得到满足题意的K*值范围。由幅值条件，可得分离点d 处对应的开环根轨迹增益为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共
24、41 页 - - - - - - - - - 9 0120.385Kddd因此，当 0.385 K*6 时，系统动态过程为衰减振荡形式。（3）显然，当K*6 时，系统响应呈等幅振荡形式，对应的振荡频率为2。（4）由题意，0.5时，阻尼角arccos60。过坐标原点作两条与负实轴成60 的射线，与根轨迹交于 A、B 两点，这两点即为系统的闭环主导极点。于是，A、B 两点的坐标为1,213j33s。由于系统的 nm2 ，因此闭环极点之和应等于开环极点之和，即123123sssppp由此可得第三个闭环极点为3131370( 1)( 2)(j)(j)33333s根据幅值条件，这三个闭环极点对应的开环根
25、轨迹增益为3330121.037Ksss由此可得系统的闭环传递函数为1.037( )71313jj33333ssss由于3s离虚轴的距离是1,2s离虚轴距离的7 倍多，所以1,2s是系统的闭环主导极点。于是，可将此时的三阶系统，即1.037K时的闭环系统近似为二阶系统来处理。简化后系统的闭环传递函数为20.445( )0.6670.445sss由此可得0.667n，0.5。单位阶跃信号作用下的性能指标为21%100%16.3%e3.510.5 ssnt由系统的开环传递函数知该系统为I 型系统，故其静态速度误差系数为0lim( )( )2vsKKsG s H s因此，系统在单位斜坡输入下的稳态误
26、差为121.93ssveKK4-14【解】（1）正反馈系统的根轨迹（此时应按零度根轨迹规则绘制）1) 该系统有 4 个开环极点和1 个开环零点，即p1,20，p3- 2 和 p4- 4，z1- 1。2) 该系统有 4 条根轨迹分支，一条趋向于z1- 1，其余三条均趋向于无穷远处。3) 实轴上 -4,- 2、- 1,0和0,+ )为根轨迹区域。4) 由于 nm3，故系统有3 条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：2= 0 , +120 , 1203ak110( 2)( 4)( 1)533nmijijapznm5) 根轨迹的分离点。根据系统开环传递函数的表达式，可知2( )(2)(4)A s
27、sss，( )1B ss。代入方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - 10 ( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到32(3162616)0ssss求解上述方程，得到方程的根为s10，s2 3.0837，s3,4 1.1248j0.6814 根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d- 3.0837。正反馈系统的根轨迹如图4-21(a)所示。（2）负反馈系统的根轨迹（此时应按常规根轨
28、迹规则绘制）1) 该系统有 4 个开环极点和1 个开环零点，即p1,20，p3- 2 和 p4- 4，z1- 1。2) 该系统有 4 条根轨迹分支，一条趋向于z1- 1，其余三条均趋向于无穷远处。3) 实轴上 (-, - 4和- 2,- 1为根轨迹区域。4) 由于 n- m 3，故系统有 3 条根轨迹渐近线，其与实轴的交角和交点分别为：(21)= 60 , 1803ak110( 2)( 4)( 1)533nmijijapznm5) 根轨迹的分离点。根据系统开环传递函数的表达式，可知2( )(2)(4)A ssss，( )1B ss。代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B
29、s，整理得到32(3162616)0ssss求解上述方程，得到方程的根为s10，s2-3.0837，s3,4- 1.1248j0.6814 根据实轴上系统根轨迹的分布，所以分离点坐标应取d0。6) 根轨迹与虚轴的交点系统的闭环特征方程为432680sssK sK将 sj代入上式，并令实部和虚部分别为零，得到42280(6)0KK求解上述方程组，得到解为2, 12K负反馈系统的根轨迹如图4-21(b)所示。dj-4 -2 -1 0j-4 -2 -1 0j2j2(a)正反馈系统根轨迹(b)负反馈系统根轨迹图 4-21 题 4-14 的系统根轨迹4-15 【解】 (1) 当c( )tG sK s时，
30、系统的开环传递函数为1000( )(1010)(20)tG ss sKs名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - - - - 11 系统的闭环传递函数为3230200100010(20)0tsssK s s于是，以 Kt为参变量的等效开环传递函数为3210(20)( )302001000tK s sGssss绘制以 Kt为参变量的根轨迹，如图4-23 所示。Root LocusReal AxisImaginaryAxis-30-2
31、5-20-15-10-505-6-4-20246图 4-23 当c( )tG sK s时的参数根轨迹图根据参变量的等效开环传递函数表达式，可知32( )302001000A ssss，2( )20B sss。代入方程( )( )( ) ( )0A s B sA s B s，整理得到分离点方程如下：432404002000200000ssss求解得到123,46.8377, 6.2849, 20.2764 7.3661sssi根据实轴上系统根轨迹的分布，取分离点坐标为d- 6.28。此时，对应的根轨迹增益为323020010000.788610 (20)tdddKd d在这种情况下， 可以在 0
32、 Kt 0.7886 范围内， 通过改变 Kt的值使系统的主导极点具有0.707的最佳阻尼比。(2) 当2c( )aG sK s时，系统的开环传递函数为1000( )(1010)(20)aG ss sK s s系统的闭环传递函数为32230200100010(20)0asssK ss于是，以 Ka为参变量的等效开环传递函数为23210(20)( )302001000aK ssGssss绘制以 Ka为参变量的根轨迹，如图4-24 所示。-30-25-20-15-10-505-6-4-20246Root LocusReal AxisImaginaryAxis图 4-24 当2c( )aG sK s
33、时的参数根轨迹图这种情况下，由于Ka的值越大，系统的闭环极点就越靠近虚轴，从而使系统的稳定性越差，因此不能通过改变 Ka的值来使系统的性能达到最佳。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - - 12 (3) 当2c( )/ (20)aG sK ss时，系统的开环传递函数为21000( )(3020010)aG ss ssK s系统的闭环传递函数为322302001000100asssK s于是，以 Ka为参变量的等效开环传
34、递函数为23210( )302001000aK sGssss绘制以 Ka为参变量的根轨迹，如图4-25 所示。Root LocusReal AxisImaginaryAxis-30-25-20-15-10-505-6-4-20246图 4-25 当2c( )/ (20)aGsK ss时的参数根轨迹图这种情况下，也不能通过改变Ka的值来使系统的性能达到最佳。综上所述，应选取第一种传递函数，即c( )tG sK s。5-1 解：系统闭环传递函数为9( )10ss则，闭环频率特性为2299()(),()arctan101010jMj，由线性系统频率特性的特点和已知的输入信号可得，系统的稳态输出分别为
35、：2212229(1)sin(30arctan)0.9sin( +24.3 )10109(2)2cos(245arctan)1.8cos(256.3 )1010sssscttctt；(3) 根据线性系统叠加性有：0.9sin(24.3 )1.8cos(256.3 )ssctt。5-2 解：系统闭环传递函数为222( )2nnnsss对应的幅频和相频特性表达式分别为2222222222(),()arctan()4nnnnnj由题设条件知，1，( 1)2, (1)45j。则：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整
36、理 - - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - - 13 22222221221()2()42( )arctan45nnnnnj解之得：11.244,0.22ns。5-3 解：(1) ( )1,0,2(1)KG smns Ts，奈氏曲线起点坐标为(， -90)，终点坐标为(0，-180)，可知图形位于第象限。如图5-10(a)所示。由传递函数知，该系统为典型型系统，当KK11和TT时的对数幅频特性曲线分别如图 5-10(b)中的和所示。ReIm( )/LdB1/ s0 K 1/T K 0(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图-20-40-40-20图 5
37、-10 题 5-3（1）解答图2(1)(2)( )()2,1,3(1)KsG sTmnsTs，奈氏曲线起点坐标为(， -180 )，终点坐标为(0，-180) 系统相位( )arctanarctan To-180可见，T时奈氏曲线位于第象限，T时时奈氏曲线位于第象限。如图 5-11(a)(b)所示 。 由传递函数知该系统为典型型系统，两种情况下的对数幅频特性曲线如图5-11(c)(d)所示 。ReIm0ReIm0(d) T时对数幅频特性图(a) T(b) T() /LdB1/s(c) T时对数幅频特性图-40-40-60() /LdB1/ s-20-40-4000图 5-11 题 5-3（2）
38、解答图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - - 14 1(3)( )0,1,1,11sG sKmnTs。奈氏曲线起点为(1,0)，终点为 (1T,0) 系统相位为( )arctanarctan T可见，1T时奈氏曲线位于第象限，如图 5-12(a)中的所示；1T时奈氏曲线位于第象限， 如图 5-12(a)中的所示。1T时的对数幅频特性曲线如图 5-12 (b) 中的所示；1T时的对数幅频特性曲线如图5-12 (b) 中
39、的所示。ReIm() /LdB1/ s0 1/T 1 1/T 0 1 1/T 1 T1 T1(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图图 5-12 题 5-3（3）解答图(4) 11( )()11sjG sG jTsjT，则，11( 0)10 ,()180G jG jTT奈氏曲线起点坐标为(1，0)，终点坐标为(1/T，-180) 系统相位为( )arctanarctanT可见，奈氏曲线位于第、象限，如图 5-13(a)所示。由传递函数知该系统为非最小相位系统，Bode 图与第（ 3）题相同。1T和1T时的对数幅频特性曲线分别如图 5-13 (b) 中的和所示。ReIm0 -1/T 1(a)奈氏图()
40、 /LdB1/ s0 1/T 1 1/T T1 T 1(b) 对数幅频特性图图 5-13 题 5-3（4）解答图1(5)( )1,1,0,3(1)(21)G sKmns ss奈氏曲线起点坐标为(， -90)，终点坐标为(0，-270) 因此，奈氏曲线位于第、象限，与负实轴有交点。令：()soo-1x90 -arctan-arctan2=-180 ，得=0.7则，22(1)(14)Axxxx12()=-3由此概略绘制奈氏图如图 5-14(a)所示 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
41、- - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - - 15 11( )1,10.5(1)(21)G sKKss ss-212，20lg=0dB，=1s对数幅频特性图如图 5-14 (b)所示 。ReIm( ) /LdB1/ s0 0.1 0.5 1 -1 -2/3 0(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图-20-40-60图 5-14 题 5-3（5）解答图241(6)( )2,1,4(1)(21)sG smnsss，奈氏曲线起点坐标为(， -180 )，终点坐标为(0，-360) 因此，奈氏曲线位于第、象限，与负实轴有交点。令( )arctan4soo-1x180 -arcta
42、n-arctan2=-180 ，得=0.354则，2222(1)(14)xxxxAx1+16()=10.7由此概略绘制奈氏图如图 5-15(a)图所示。1241( )2,10.25(1)(21)sG sKKssssss-1-1123，20lg=0dB，=0.5,=1由此概略绘制对数幅频特性图如图 5-15 (b)图所示 。ReIm()/LdB1/s0 0.1 0.25 0.5 1 -10.7 0(a)奈氏图(b) 对数幅频特性图-20-40-40-60图 5-15 题 5-3（6）解答图5-4 解：21222112121212112( )1( )( )1( )/1oiUsRR R CsRRRC
43、saG sR RUsR R CsRRRRRCsCsRR由图得，令21211212RRRKRCTCRRRR，则，( )(1)( ),( )1oiUsKsG sKUsTs且1， T由此概略绘制对数幅频特性图如图 5-17(a)图所示 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - - 16 2212121( )1( )( )1( )()1oiRUsR CsCsbG sUsRR CsRRCs由图得，令212()R CTRR C，则，
44、( )1( ),1( )1oiUssG sKUsTs且T由此概略绘制对数幅频特性图如图 5-17(b)图所示 。2112221122112212121( )(1)(1)( )( )11( )()1/oiRUsRC sR C sCscG sUsRC R C sRCR CRCsRRCsCs由图得，令111222312TRCTR CTRC，则，12212123( )(1)(1)( )( )()1oiUsTsT sG sUsTT sTTT s令121212123TTTTTTTTT=，=+则，1212(1)(1)( )(1)(1)T sT sG sT sT s网络传函可写为再设121212TTTTTT=
45、 ，且则有，12112221(1)(1)( )/(1)(1)TsT sG sTTTTTT ss，且 由此概略绘制对数幅频特性图如图 5-17(c)图所示 。() /LdB1/s(a) 11T()/LdB1/s(b) 11T( )/LdB1/s(c) 11T11T21T2T-20-20+20+20图 5-17 题 5-4 解答图5-5 解：12311(1)20lg6010000,1,10300LKdBKTTT由(a) 图得，。且则，10001(1)()()10300G ssss( )=1+1+1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
46、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - - - 17 121( )11001,100bKTT由图得，则1001(1)()100G ss ss( )=+ 111( )2100.01100cKTK由图得，。且有两个惯性环节则，20.01100sG ss2( )=1(+ 1)1212111( )10.5dKTT由图得，=2，,且在2处有两个惯性环节则，11(sG sss222( )=1+1)(+1)12( )1(0.01)-10111(1)20lg=20lg103032.6=100,=100.010.010.1eLdBLKdBKT
47、T由图得，则，得，且则，(100sG ss32.6( )=s+1)(10 +1)1211()0(1)20lg2010,580fLKdBKTT由图得，且在1-1=5s处为振荡环节，=0.2；在2-1=80s处为二阶微分环节，=0.1则，222222111110(20.11)10(1)808080400( )111220.2112552525ssssG sssss由( )1100gK图得，在r-1n=45.3s处有一振荡环节由220lg 214.850.3dB则，245 3G ss(ss.2100( )=10.6+ 1)45.3412111( )20.01100.42hKTTK由图得，且，在1-
48、1=0.4s有两个惯性环节，在2- 1=2s处有一个惯性环节则，0 42sG sss.42210( )=11(+1) (+1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - - 18 5-6 解：由3212(1)( )214(1)(1)K T sG smns T sT s可知，奈氏曲线起点坐标为(， -180 )，终点坐标为(0，-270) 令123()180arctanarctanarctan180TTToo=，312123x
49、TTTTT T得可知，在312TTT时，奈氏曲线与负实轴有交点，位于第、象限。且此时，可判断Ax() 1，奈氏图 如图 5-19(a)所示 ，作增补线，由奈氏判据可知系统闭环稳定。在312TTT时，奈氏图与负实轴无交点，位于象限，如图 5-19(b)所示 ，作增补线，由奈氏判据可知系统闭环不稳定。ReIm -1ReIm312( )a TTT312( )b TTT -1()xA图 5-19 习题 5-6 解答图5-7 解：奈氏判据的内容是：如果系统开环传递函数中有P 个不稳定的极点（即 s右半平面的极点），则当 =0变化时， 开环奈氏曲线 逆时针 方向包围 （ -1, j0）点的圈数为N = P
50、/2（即 Z = 0）时系统闭环稳定；否则，不稳定。对于 (a)图， P =1， N =1/2 = P/2，系统闭环稳定；对于 (b)图， P =1， N = -1/2 P/2，系统闭环不稳定；对于 (c)图， P =1， N = -1/2 P/2，系统闭环不稳定；对于 (d)图， P =0，需做辅助线 如图 5-21(d)， 则 N = 0 = P/2，系统闭环稳定；对于 (e)图， P =2，需做辅助线 如图 5-21 (e)， 则 N = 1= P/2，系统闭环稳定；对于 (f)图， P =0，需做辅助线 如图 5-21 (f )， 则 N = -1 P/2，系统闭环不稳定；对于 (g)