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1、第 11 卷第 3 期数 学 教 育 学 报Vol.11, No.32002 年 8 月JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Aug., 2002收稿日期： 20020114 作者简介：李康燮，男，韩国数学教育学会会长，Dankook 大学教授，已指导多名博士生，主要从事数学教育研究中学数学中的证明李康燮1，孙连举2，郭民2（1Dankook 大学，韩国； 2东北师范大学数学系，吉林长春 130024 ）摘要：证明是检验方案的一种类型，证明有构造性证明与非构造性证明之分信息时代的中学生需要熟悉各种不同类型的检验方案，目前的中学数学中涉及到的大多数证明都是构造性的在很
2、多情况下，许多检验方案与古典类型的构造性证明相比更有效，概率论方法就是这样的检验方案之一将一些不同于经典证明的检验方案应用到中学数学教学中去，用以培养学生新的数学观是十分必要的关键词：构造性；非构造性；检验方案；随机性中图分类号： G630 文献标识码： A 文章编号： 10049894 （2002）03004404 在漫长的数学历史发展进程中，在没有欧几里得的一些几何原理作参考的情况下，人们对数学还没有产生什么想法为了回答类似于“什么是数学？”或者“什么是数学证明？”这样的问题时，我们又回到了欧几里得几何原本 的有关内容 然而，从19 世纪早期以来，人们对数学的看法已经发生了重大变化，非欧几
3、何，选择公理，连续假设以及歌德尔不完备定理的出现正是这种变化发展的典型例子各种各样的有关数学本质的新方法由此产生，逻辑学、形式主义和直观论是最具特色的例子所有的这些都给我们提供了看待数学的不同方式物理学也经历了类似的变化，相对论、测不准原理、超弦理论是这种变化的例子我们已经注意到这 2 种理论中的变化是相互联系的比如，在非欧几何基础里也系统地阐述有关相对论理论数学学科的这些变化会导致数学概念、数学定义，乃至数学证明的多样性我们界定“证明”为其在经典数学中的原始定义，注意到它的“原始定义”已经成为我们继续讨论的课题，在许多场合我们将用“检验方案”来代替“证明”当然，在没有根本混淆其意思的情况下，
4、我们仍然使用“证明”的概念本文首先将简单地讨论各种类型的检验方案，同时还要强调现代密码学所提出的概率论，然后，我们将提供一些简单的适合中学生学习的例子1 检验方案首先，我们考虑2 种类型的证明：构造性证明和非构造性证明我们知道许多构造性证明的例子，比如，我们根据 6 有除数 2而证明 6 不是素数；当然还有许多非构造性证明的例子，比如考察著名的命题：一组所有的实数能被很好地排列这个问题的证明是非构造性证明的最典型的例子，现在大多数的数学工作者接受这个事实的证明然而，由此又导致了有关“什么是证明？”的大讨论，因为没有人能想到很好地排列一组实数其次，我们能根据构造性和随机性对检验方案进行分类中学数
5、学中的大多数证明都是构造性的，但是许多情况下，尤其是在信息社会，构造性的证明往往是不完全的甚至是不充分的在这种情况下就需要一种比古典类型的证明更加有效的检验方案，概率论方法就是我们所需要的这种类型的检验方案美国的阿沛尔和哈肯于1976 年证明了困扰世界数学界一百多年的“四色问题”，引起了关于怎样定义“证明”的争论阿沛尔和哈肯运用计算机对“四色问题”进行了数学归纳法的证明，他俩从十多万张不同的地图中挑选出两千多张输入电子计算机，对每张地图都使用了二十万种可能的着色方法，作出了两百亿个逻辑判断，经过一千二百多小时，终于解决了“四色问题”阿沛尔和哈肯首先提出所有可能的地图是有限变化的着色情况，然后运
6、用计算机进行计算，他们确信每种情况至多4种着色，但过去计算机程序运行的时间常常用来检验问题不是多项式然而，他们运用计算机程序检验这个问题是因为他们期望运行时间是多项式，他们之所以能够成功地完成如此繁重的计算，概率论在这里所扮演的角色并不是微不足道的，值得注意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第 3 期李康燮：中学数学中的证明45 的是阿沛尔和哈肯的证明并不是单一的概率论，但概率论却在其中起到了关键性的作用现在我们考
7、虑另一种情形，假定卡尔丹成功地获得了任意给定的整系数3次多项式方程的求根公式，在没有揭示怎样获得给定的3 次整系数多项式方程求根公式的情况下，想证明这个公式的正确性，我们或许能很快地想到这样的问题，可以随便地用 3 次多项式方程向他提出质疑，如果他能向我们提供正确的答案，就说明他的命题是正确的这种类型的讨论与以前的有很大区别，但这并不能说明这种检验方案就“合乎逻辑”然而，我们却能同意这种检验方案是充分的在本文的最后，我们将看到这种思想对发明有效的、被称为“零知识证明”的检验方案是非常重要的，这是有关概率检验方案的又一典型例子通过对欧拉多面体公式以及赛得尔的一致收敛概念等数学问题的具有历史意义的
8、考察，拉卡托斯提出了另外一种有关数学和数学证明的观点，他认为：“非正式的准经验的数学并不是通过数量的单调增加而明确地建立起来的，而是通过连续不断地思索与批判、逻辑证明与反驳改进猜想而建立起来的，这种方法能从回顾牛顿物理学、爱因斯坦物理学、欧姆物理学以及超弦理论的历史中得到解释 ”正如冯 ?诺伊曼所说的那样：“自然法则是近似的，我们首先发现错误的一面，然后发现正确的一面，现在问题是我们怎样才能验证是错误的？”2 概率的作用可以想象到在卡尔丹的检验方案提出之前，他的前人一定泄露了有关证明程序问题方面的非常有意义的信息在信息时代，我们经常需要在不泄露给我们信息机密的前提下证明我们的陈述是正确的，这种
9、情况就导致了另一类型证明的产生现在我们的问题是：在没有泄露任何有意义的信息的前提下是否有可能证明一项陈述（命题）？现代密码学肯定地回答了这一问题，这种类型的证明通常被认为“零知识证明”，从而我们可以了解到获得这种方案时，概率在程序运行过程中的重要性在有关现代密码学的大学教材里，我们能见到许多这方面的例子甚至在现代量子物理学中，概率也扮演着关键的角色我们还能从以下的事实中看到概率的巨大作用：一些计算机程序甚至在根本不知道一个“大数”（比如一个200 位数）的任何因数的情况下证明这个“大数”不是素数在经典数学里，质因数分解问题与素数检验问题是一样的，但在计算机科学里，这 2 个问题是完全不同的概率
10、是其差别的核心，这就意味着在确定性讨论中似乎是不可能的事情而在概率的范例中却是可能的我们将在后面的讨论中再次强调这一例子，这将有助于我们理解证明四色问题和圣经代码的存在问题最近，对数论的概率方法研究得很多，甚至在曲线理论和随机理论的证明中概率方法也起到了非同寻常的作用，随机过程和概率的概念如此巧妙，以致于很难将它们数学地形式化实际上，它们是许多悖论的源泉，在所有的导致有争论的检验方案中，概率都以某种形式存在着随机性是基础数学中的重要概念，Chatin 通过观察解释了为什么随机性能被精确地定义，甚至度量，但一个给定的数却不能被证明是随机的，这个“谜”建立了数学里什么是概率极限的概念正如我们前面提
11、到的，概率在某些类型的证明中扮演着一种强有力的角色，这个事实迫使我们在中学数学有关的检验方案中介绍有关随机性和概率的概念比如在向学生介绍 Monte Carlo法是有好处的，对大多数中学生来说，分析法对大量的普遍性和必然性问题就不再显出优越了，概率方法就像模仿一样不再是最后的手段，有自己的优势是一种方法自己的权利，近些年来，科学的发展已经拓宽了我们对数学的理解，帮助我们克服中学数学的狭隘观点3 各种类型证明的重要性许多中学生都亲身经历过欧氏几何证明的困难，这就是我们为什么提出各种类型的证明方法的原因 1998 年 11 月中学教师杂志特意刊登了有关探讨这类问题的题目然而，我们必须注意到经典类型
12、的证明在现实生活中并不是十全十美的，因为我们必须保护我们的信息安全，有时我们需要另外的， 对我们来说有价值而没有泄露信息（机密）的类型的证明为了理解这一事实，我们需要考虑一些控制空间里的商业信息，在下文中我们将了解到普通的数学证明是不合适的，因为在普通的数学证明中，证明者必须泄露他所有的信息，这将损害我们的商业利益这就是我们为什么提出另外的必须包括在中学数学课程中的各种类型证明的原因，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - -
13、- 46 数学教育学报第 11卷当我们注意到学生能够比较容易地理解这种新型的，带有基本概念的证明方法时，我们对自己能提出这样的问题感到欣慰灵活性思考是提出各种类型检验方案的必要条件，下面我们设计一些锻炼心理灵活性的问题（ 1）在一维空间，能否从点A不经过点 C 而到达点 B？（ 2）如果在多维空间，情况又会怎样？（ 3）A与 B间的最短距离是什么？（ 4）如果是曲面，情况又是怎样？（ 5）在同一平面里，能否不过直线l 从 D 点到E 点？（ 6）在多维空间情况又怎样？（ 7）纽约与华盛顿的最短距离是什么？（ 8）我们生活的宇宙空间是弯曲的吗？（ 9）F 点在球内， G 点在球外，那么F 点能否
14、到达 G 点而不触及球面？（ 10）宇宙空间是多少维空间？4 检验方案中的例子现在我们描述一些不同于经典证明的检验方案的例子（ 1） 设想有一个能容纳5 000 名观众的棒球场，如果进入棒球场的观众人数是4 999，那么我们不用查看具体的座位就可以证明有一个座位是空的在这个例子里，查看空座位的构造性证明并不是一件简单的事，甚至是不可能的，而通过座位与观众人数的关系，我们就可以知道其中有一个座位是空的，这个例子对于使学生理解非构造性证明与构造性证明之间的基本不同点是非常有好处的（ 2）在韩国、中国和日本都有一种非常有意思的游戏，有2种颜色的石子，为每名表演者准备一种颜色的石子，现在我的口袋里装着
15、2 块白色的石子，我的学生都知道我的口袋里装着2 块石子，但是他们不知道这2 块石子的颜色他们知道这2 块石子的颜色有3 种可能： 2 块都是白色， 2 块都是黑色，或者一块白色、一块黑色现在我想不让学生具体地查看口袋里的石子而证明这2 块石子都是白色的我随机地选择一名学生要求他从我的口袋里摸出一块石子，将取出的石子给所有的学生看，它一定是白色的，我重复这一过程多次，比如重复20 次，每次都是只有一块白色石子出现，然后我们就可以算出我口袋里仅有白球的概率，计算结果是20)2/1(1 -，这个结果接近于1通常学生会认为我的观点是正确的注意这不是零知识的证明，而是典型的概率检验方案的例子（3）一些
16、计算机程序甚至可以在不知道一个“大数”的任何因数的情况下证明这个数不是素数，这就意味着在确定性证明中不可能的事情而在概率范例中却是可能的，对于中学生来说，有这种不同的经历是非常必要的，为此我们设计一个短小的题目：为了质因数分解和表达，我们用BASIC语言设计 2 个程序，在二进制系统中输入自然数（如果你不想考验学生的程序设计，你可以提供给学生事先设计好的程序，对质因数分解程序，你与学生一样都会相信用BASIC 语言设计的程序能发现初等数论）运行中的一个程序，在二进制系统里有表达式 2k- 1，1k10（同学们将从这个实验中发现一些事实）解释上一步骤所得的结果通过心理推断发现表达式2k- 1 是
17、素数的必要条件（从给定数的特殊形式，学生能获得一个必要条件）运行上面的一个程序，检验基本的表达式23- 1，25- 1，27- 1，211- 1（如果 k充分大，程序或许不能运行）从上面的结果，你能发现什么事实？（例如学生会发现他们所获得的结果是必要条件而非充分条件）使用一些高级程序来检验基本表达式219- 1，223- 1（学生的程序对某些数不能运行，但有些高级程序对这些数能运行）使用高级程序检验基本表达式211 213- 1，至多运行 5 min 就可以得出结果你怎样理解质因数分解？登陆相关网站，搜索Mersenne 素数（学生可以见到最近发现的最大素数）通过上面的设计方案后，这里充分体现
18、出Monte Carlo方法作为一种强有力的检验方案的优越性，当然计算机在这里起到了关键性的作用（4）运用零知识的检验方案，我们可以在没有泄露任何有意义的信息的前提下证明结论的正确名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 第 3 期李康燮：中学数学中的证明47 性，这是说明概率作用的最典型的例子，这种方案的一般形式是检验的对象间由一些相互作用的循环系统组成我们知道，随机数可以相互替换，从这个事实中可以看到“随机”的作用，遗
19、憾的是这个方案中的大多数规则对中学生来说理解起来是相当困难的然而一些有天赋的中学生会对这些规则产生浓厚的兴趣，因此，我们可以寻找一些中学生可以理解的合适的例子当然，中学生在学习这些规则前需要掌握一些必要的数论知识（ 5）学生也许会对投币实验的各种方法感兴趣，我们可以把这种方法用带有实践性和挑战性的方式介绍给学生，这个检验方案与古典概率有点不同，然而，概率在此同样起到关键的作用5 结论与启示我们生活在一个学校教育制度深刻变化的时代，对待数学，我们需要有新的视野随着社会的发展，数学和数学证明的本质也将继续变化，这就要求我们需要培养新的数学观，即信息时代的中学生要熟悉掌握各种有说服力的数学模型在这篇
20、文章里，我们探讨了在中学数学中不同于经典证明的一些类型的检验方案并举了一些学生易于接受的例子当然，对于数学证明的本质的讨论将继续，我们或许不能期望得到有关这个问题的彻底回答，因为我们在考虑各种类型的方案时，不得不面对我们中学课程里流行的欧几里得几何的证明Proofs in Secondary Schools Kang Suplee1, SUN Lian-ju2, GUO Min2(1. Dankook University, Korea; 2. Department of Mathematics, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130
21、024, China) Abstract: In the information age, we needed various types of scheme of verification. We noted that only one type of verification scheme that was usually called proof was in the current curriculum for secondary school mathematics. In this article, we surveyed a variety of types of verific
22、ation schemes that would be useful in real life. We proposed some types of verification scheme that need to be in our secondary school mathematics curriculum. We emphasized that probability plays an important role in this proposes schemes of verification. Key words: structuralism; non-structuralism;
23、 verification scheme; random 责任编校：陈汉君 分形几何课程实验研讨会在南昌召开2002 年 6 月 9 日，江西省分形几何初步进入普通高中数学课程的可行性实验研究课题组在南昌大学学术交流中心召开“分形几何课程实验”研讨会，参与实验研究的全省7 个城市 8 所学校江西师大附中、修水一中、上饶二中、南昌十五中、吉安敦厚中学、宜丰二中、上犹中学、上犹县教师进修学校的 11 名代表出席了会议，就分形几何课程实验有关问题进行了研讨本实验研究被江西省课程办2002 年 4 月审批立项，后又被立项为国家高中数学课程标准实验项目，主要研究在国家高中数学课程标准的框架设想中被列为“数学A”的一个专题“分形”教学的可行性等问题研讨会的召开得到有关领导的关心和指示，通过与会代表的努力取得了预期的效果，为实验目标的达成铺平了道路（江西省上犹县教师进修学校舒昌勇供稿）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -