2022年中学数学思想方法 .pdf

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1、精品文档精品文档中学数学思想方法教学目的：通过本章的学习， 使学生了解学习中学数学思想方法的重要意义；理解中学数学中常用的思想方法；掌握在中学数学教学中培养中学生数学思想方法的方法和手段。教学重点、难点与关键：中学数学思想方法的理解记载中学数学教学中对学生的培养教学方法：讲授、讨论与阅读讲义和中数教材相结合主要内容： 1、中学数学思想方法概述。2、中学常用的数学思想方法。3、中学数学思想方法与教学。教学程序：第一节中学数学思想方法概述数学思想方法一词无论是在数学、数学教育范围内， 还是在其他学科中， 都已被广为使用。数学基础知识包括数学中的概念、性质、法则、公式、公理、定理等以及它们反映出来的

2、数学思想方法。但是，什么是数学思想、 数学方法以及数学思想方法？这些不能像数学中的概念那样可以明确地给出定义（至少目前不能），而只能给出一种解释或界定。一、浅析数学思想与数学方法方法是一个元概念，它和点、线、面、集合等概念一样，不能逻辑地定义，只能概略地描述。 例如，可把方法说成是人们在认识世界和改造世界的活动中所采取的方式、手段、途径等的统称。人们将学习数学、研究数学、讲授数学和应用数学的活动统称为数学活动。数学方法 ，顾名思义，就是人们从事数学活动所用的方法。数学方法主要牵涉方法论方面的内容，如表示、加工、处理某种现象或形式的手法。 数学方法具有以下三个基本特征：一是高度的抽象性和概括性；

3、二是精确性，即严密的逻辑性以及结论的确定性； 三是普遍的应用性和可操作性。数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：一是提供简洁精确的形式化语言；二是提供定量分析及计算的方法；三是提供逻辑推理的工具。人们常用数学思想来泛指某些有重大意义、内容比较丰富、 体系相当完整的数学成果，例如坐标思想、极限思想、概率统计思想等。可是对这些例子来说，将思想换成方法同样适用。 一般地说， 数学思想 是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。 数学思想既牵扯到认识论方面的内容，如对数学科学的看法， 对数学与外部世界关系的看法，对数学认识过程的看法， 也牵涉方法论方面的内容， 如处理数

4、学问题时的意识， 策略和指向。 数学思想是人们对数学内容的本质认识， 是对数学知识和数学方法进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴。 而数学方法则是解决数学问题的手段，具有行为规则的意义和一定的可操作性。 同一数学成果， 当用它去解决个别问题时， 就称之为方法；当论及它在数学体系中的价值和意义时，就称之为思想。例如极限，用它去求导数、求积分时，人们就是说极限方法；当我们讨论它的价值，即将变化过程趋势用数值加以表示， 使无限向有限转化时， 人们就讲极限思想了。 当将这两重意思合在一起说时， 就有了极限思想方法、 数学思想方法之类的提法。 M.克莱因的巨著古今数学思想，其实说的都是古今数

5、学方法，只不过从数学史角度看，人们更加注重那些数学大师们的思想贡献，文化价值，因而才称之为数学思想。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档相对数学方法而言，数学思想更具有普遍性与可创造性，其抽象程度更高一些，理论的味道更浓一些。 数学方法经常表现为实现某种数学思想的手段，而对于方法的有意识选择，往往体现出对于数学思想的理解深度。尽管存在着这样或那样的区别， 但是数学思想与数学方法之间的总体关系乃是密不

6、可分相互交融的。 我们不可能也没必要把数学思想和数学方法严格区分开来。因此，人们常常对这两者不加区分，而统称为数学思想方法，这样会显得更为方便。数学思想方法是在数学科学的发展中形成的，它伴随着数学知识体系的建立而确立，它是数学知识体系的灵魂。数学思想方法是对数学事实、数学概念、数学原理与数学方法的本质认识。 它从属于哲学思想方法和一般科学思想方法，它是数学中具有奠基性、 总括性的基础部分， 含有传统数学思想方法的精华和现代数学思想方法的基本点， 它的内容是随数学内容的发展而发展的，不是一成不变的。二、中学数学中的数学思想方法数学思想方法，从接受的难易程度可分为三个层次：一是基本具体的数学方法，

7、如配方法、换元法、待定系数法、归纳法与演绎法等；二是科学的逻辑方法，如观察、归纳、类比、抽象概括等方法，以及分析法、综合法与反证法等逻辑方法；三是数学思想，如数形结合的思想、函数与方程的思想、分类讨论的思想及化归与转化的思想。 数学思想方法还可以按其他方式进行分类。例如，胡炯涛认为：最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学教学的内容均遵循着基本数学思想的轨迹而展开。“符号化与变换思想” 、 “集合与对应思想”以及“公理化与结构思想”构成了最高层次的基本数学思想。他认为中学数学基本思想是指：渗透在中学数学知识与方法中具有普遍而强有力适应性的本质思想。归纳为十个方面内容：符号思想、映

8、射思想、化归思想、分解思想、转换思想、参数思想、归纳思想、类比思想、演绎思想、模型思想。除了胡炯涛对数学思想方法的阐述，任子朝在改进高考命题推行素质教育一书中认为数学思想方法包括：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想；逻辑学中的方法：分析法、综合法、反正法、归纳法；具体数学方法：配方法、换元法、待定系数法、同一法等。第二节中学常用的数学思想方法一、字母代表数思想用字母代替数字， 是中学生最先接触到的数学思想，也是初等代数以及整个数学教育最重要、最基础的数学思想。19 世纪以来，代数学已经发展成为关于形式运算的一般学科， 并随着字母意义由数向量矩阵张量旋量超复数等各种形式量的不断拓展

9、，而得到长足的发展。在数学中，由字母代表数， 各种量与量之间进行推理与演算，都是以符号形式来表示的，从而形成一整套形式化的数学语言。 例如， 我们可以用点“M(x,y,z) ”来表示物体所在的空间位置，用“G=f(m)”表示重力与质量的关系，用“=”表示等于，用“”表示属于，用“”表示积分等。对数学而言，只有广泛使用符号，才能有利于问题的陈述、 推理的表达和定量的计算。 符号是人类思维与交流的工具，它能够清晰而简明的表达数学思想和规律。二、建立模型思想模型是相对原型而言的。 原型是指在现实世界中所遇到的客观事物，而模型名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

10、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档则是对客观事物有关属性的模拟。所谓数学模型 ，指的是对现实原型为了某种目的而作抽象、 简化的数学结构。 它是使用数学符号、 数学式子及数量关系对原型作一种简化而本质的刻画， 比如方程、函数等概念都是从客观事物的某种数量关系或空间形式中抽象出来的数学模型。根据原型进行具体构造数学模型的过程称为数学建模。数学建模的活动过程主要包括：（1）问题分析：了解问题的实际背景知识，掌握第一手资料。（2）假设化简： 根据问题的特征和目的，对问题进行化简，

11、并用精确的数学语言来描述。（3）模型建立： 在假设的基础上，利用适当的数学工具、数学知识来刻画变量之间的数量关系，建立其相对应的数学结构。（4）模型求解：对模型进行求解。（5）模型检验：将模型结果与实际情形相比较，以此来验证模型的准确性。如果模型与实际吻合较差， 则应修改假设再次重复建模的过程；如果模型与实际比较吻合，则要对计算的结果给出其实际含义，并进行解释。数学建模就是灵活综合地运用数学知识来处理和解决实际问题，因而它是问题解决的重要方面。 数学问题并不全是模型化了的常规问题，还有大量的非常规问题和客观实际问题。 从普遍意义上说， 实际问题比模型化的纯数学问题更符合问题的本质。 建模思想强

12、调的就是在解决这类数学问题时，首先应有数学建模的自觉意识或观点，这实际上就是数学知识的应用意识。三、化归思想化归是转化和归结的简称。 化归是解决数学问题的一般思想方法，其基本思想是： 人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一个问题， 而得出的新问题是相对容易解决或已有固定解答的问题，且通过对新问题的研究解决可以得出原问题的解答。化归思想的实质是通过事物内部的联系和矛盾运动，在转化中实现问题的规范化（熟悉或易于处理） ，即将待处理问题转化为规范问题，从而得到原问题的解答。例如，学生学了一元一次方程，此时，一元一次方程就是一个数学模式。而将一元二次方程ax2+bx+

13、c=0（a0）通过换元化归为一元一次方程的过程就是模式化。化归思想包含三个要素：化归的对象、化归的目标和化归的方式、方法。在上述例子中， 一元二次方程是化归的对象， 一元一次方程是化归的目标，换元是实施化归的方法。实施化归的关键是实现问题的规范化、模式化。四、分解组合思想当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，可把已知条件涉及的范围分解为若干个子集， 在各个子集中分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得到原问题的解， 这种思想就是分解组合思想，其方法称为分类讨论法。 分解组合是重要的数学思想之一。对于复杂的计算题、作图题、论证题等，运用分解组合的思想方法去处理， 可以帮助学生进行全面严

14、谨的思考和分析，从而获得合理有效的解题途径。在中学数学中， 方程求解、 不等式的证明与求解、 函数单调性的判断与证明以及各种含有参数的问题等， 分解组合是一种行之有效的思想方法。运用分解组合解决问题时， 将所给已知条件的集合进行科学划分是十分重要的，必须遵循划分的规则，防止分解中出现重复或遗漏。五、集合思想引进字母后， 使数学的研究对象不断地扩大丰富，从多项式、行列式、方程、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品

15、文档精品文档不等式、线性变换到概率论中的事件， 对策论中的策略以及计算机上的信号等形式的非纯数学的研究对象越来越多， 迫使人们寻求统一的观点和有力的手段来加以处理，这就是集合思想的基础。集合论作为数学语言来说特别简单，它只有一个最基本的动词：“属于” ，用“”表示，并据此可定义“包含”等概念。从这些概念出发，再加上一些逻辑语言，例如“或”和“且”，就可定义集合之间的并运算（）和交运算（） ，还可以定义差运算、余运算。至此，集合论的基本运算便建立起来了，并且形成一种代数结构。建立集合概念后，就可使一些本来只能用日常语言表达的概念，显得简洁明了，且可使用统一的符号， 这就更有利于理解与研究。 集合

16、论确定后，再通过，=,，等关系和运算， 就能用符号来形式地表达许多数学公式和内容。六、辩证思想从数学辩证思维的角度来看， 矛盾的对立与统一、 事物发展的由量变到质变、静止与运动、矛盾的特殊与一般、真理的相对与绝对、有限与无限等，这些矛盾对，在一定条件下能够统一起来，并能够相互转化。解题就是解决矛盾，自然离不开辩证思想。在许多情况下，解题需要分析矛盾的双方，找出转化的条件，不能单打一、钻牛角尖，要运用辩证思维，在辩证思想的策动下，获得问题解决。辩证思想的运用通常体现为非线性结构与线性结构的转化、已知与未知的转换、常量与变量的转换、正面与反面的转换、静与动的转换、数与形的转换、有限与无限的转化等。

17、七、函数与方程思想函数思想是指变量与变量之间的一种对应思想，或者说是一个集合到另一个集合的一种映射思想。 它是数学从常量数学转入变量数学的枢纽，它能使数学有效地揭示事物运动变化的规律， 反映事物间的相互联系。 而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一体， 是变量与变量互相制约的条件。它反映了已知量和未知量之间的内在联系。第三节中学数学思想方法与教学一、如何贯彻数学思想方法的教学探讨数学思想方法有关问题的最终目的是提高个体的思维品质和各种能力以及提高个体的整体素质，而实现这一目的的主要途径是课堂教学活动。要使学生领悟、理解、掌握、运用数学思想方法，就需要通过精心的教学设计和课

18、堂上的教学活动，在教师的主导，学生的参与下去完成。从原则上来说，数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。一般可以考虑通过以下途径贯彻数学思想方法的教学：（1）充分挖掘教材中的数学思想方法。数学思想方法是隐性的、本质的知识内容，因此教师必须深入钻研教材，充分挖掘有关思想方法。例如：有理数乘法法则的讲述， 在新教材中就充分运用了数形结合和归纳推理的方法，较旧教材中注重的由一般到特殊的演绎推理降低了难度，而又不失科学性， 教师可给学生介绍这两种基本而又常用的思想方法。又如： 在二元一次方程组的应用题部分，教师应强调突出 “整体代入” 这一思想方法的优越性， 因为这种思想方

19、法在以后的学习中将广为使用，同时这也是对字母代替数的更深刻理解。（2）有目的、有意识地渗透、介绍和突出有关的数学思想方法。在进行教学时，一般可以从前面我们对数学特征及中学数学内容分析的数学思想方法中考名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档虑，应渗透、介绍或强调哪些数学思想，要求学生在什么层次上把握数学方法，是了解、理解、掌握还是灵活运用，然后进行合理的教学设计，从教学目标的确定、问题的提出、 情境的创

20、设到教学方法的选择，整个教学过程都要精心设计安排，做到有意识、 有目的地进行数学思想方法教学。例如化归是研究问题的重要思想方法和解决问题的一种策略。 教师可以把它作为一种指导思想渗透在教学过程中，根据具体的教学内容，通过渗透、介绍、强调等不同方式，让学生体验、学习这一思想方法。 解方程时， 一般总是考虑将分式方程化归为整式方程，无理方程化归为有理方程， 超越方程化归为代数方程； 处理立体几何时， 一般可考虑把空间问题化归到某一平面上 （这个平面一般是几何体的某一平面，或某一辅助平面） ，再用平面几何的结论和方法去解决；在解析几何中，一般可考虑通过建立恰当的坐标系， 把几何问题化归为代数问题去处

21、理；有关复数的问题， 可通过其代数形式或三角形式化归为实数问题或三角问题加以解决。教师应指导学生从一招一式的解题方法和对不同题型的反复练习中提炼概括出一般的规律和有关的思想方法。（3）有计划、有步骤地渗透、介绍和突出有关的数学思想方法。例如，在知识形成阶段，可选用观察、实验、比较、分析、抽象、概括等抽象化、模型化的思想方法，字母代替数的思想方法，函数的思想方法，方程的思想方法，统计的思想方法，等等。在知识结论推导阶段和解题教学中，可选用分类讨论、化归、等价转换、特殊化与一般化、归纳、类比等思想方法。在知识的总结性阶段可采用公理化、结构化等思想方法。总之， 由于数学思想方法是基于数学知识而又高于

22、数学知识的一种隐性的数学知识，需要在反复的体验和实践中才能使个体逐渐认识、理解、内化在个体认知结构中。教师要在整个数学活动中展现数学思想方法，减少盲目性和随意性，并且贯彻以下几条原则：主动学习原则，最佳动机原则，可接受性原则，化隐为显原则，螺旋上升原则和数学思想方法的形式与内容相统一的原则。二、中学代数中的基本数学思想方法与教学（一）集合的思想方法集合思想是指应用集合论（主要是朴素集合论的基本知识）的观点来分析问题、认识问题和解决问题。在中学教学中渗透集合思想主要体现在：（1）学习朴素（初等）集合论的最基本的知识，包括集合的概念和运算，映射的概念等。（2）使用集合的语言。例如方程（组）解的集合

23、，轨迹是满足某些条件的点的集合，等等。当使用集合论的语言时， 许多数学概念的形式就变得简单多了，当然也抽象多了。在中学教学中使用集合思想， 可以使我们有可能看出许多表面上不同的一些内容。例如变量、变量的数值函数，几何变换，长度、面积和体积的测度等，用集合与映射的思想可以把它们统一起来。在解方程、解不等式、做关于方程的解、关于方程和不等式的等价命题时，使用集合思想来分析、 认识也是很必要的。 在中学代数中，函数的图像是函数关系的一种几何表示。若给定函数y=f(x)(xA), 则在直角坐标平面Oxy上，对于任何一个 xA，都有一个点 (x,f(x)与它对应，即 x 通过对应关系 f 确定直角坐标平

24、面上的一个点。我们把定义域 A上的所有 x 在直角坐标平面上确定的点的集合C叫做函数 y=f(x) 的图像。用集合语言名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档表达的定义给了我们认识函数图像和运用数形结合思想研究问题的一种启示。（二）函数、映射、对应的思想方法如前所述，函数概念在中学代数的方程、不等式、数列、排列组合等主要内容中起着重要作用。函数思想是客观世界中事物运动变化相互联系、相互制约的普遍规律在数

25、学中的反映。函数思想的本质是变量之间的对应。应用函数思想能从运动变化的过程中寻找联系， 把握特点与规律， 从而选择恰当的数学方法解决问题。初中代数中的正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数，高中代数中的幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数、 反三角函数等， 均是根据定义， 画出函数图像，分析函数性质，然后加以应用， 形成完整的知识体系。 贯彻这一过程始终是函数、映射、对应的思想方法。例如：数列是依照某种规律排列着的一列数： a1 ，a2， an，。数列可以看做是一个定义域为自然数集N或它的有限子集 1,2,3,，n 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值： a1,a2 ，

26、an，记为 an ，也就是说数列是一种特殊的函数。因此研究数列的问题自然就运用了函数的思想、方法以及函数的性质。 如函数的三种表示方法数列均适用，而数列的图像是一串孤立的点， 与我们熟知的函数图像又不尽相同。同函数单调性类似， 数列按各项值的变化情况分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列、等差数列和等比数列等；按定义域来分有有穷数列与无穷数列；按值域来分有有界数列与无界数列。另外，还可以对等差数列的前n 项和求最大值、最小值等。这些充分体现了函数思想。复数是中学代数中的又一重要内容。任意复数z 和复平面内一点Z（a,b ）对应，也可以和以原点为起点，Z(a,b) 为终点的向量 OZ 对应，在

27、这些一一对应下，复数的各种运算，都有特定的几何意义。这就为我们从代数、三角、几何等多角度认识复数提供了可能， 也为复数在代数、 三角、几何方面的应用创造了条件。这说明对应思想的重要作用。（三）数形结合的思想方法代数是研究数量关系的。虽然数字化是很精确的，但若能用图像表示出来，往往比较直观， 变化的趋势更加明确。 所以数形结合思考问题， 能给抽象的数量关系以形象的几何直观，也能把几何图形问题转化成数量关系问题去解决。中学代数中能够体现这一思想方法的内容非常广泛，如集合中有韦恩图； 函数借助于直角坐标系可以得到对应的图像；不等式中一元二次不等式对应一个区间，二元一次不等式组对应一个区域；复数中通过

28、向量与几何结合, 得到|OZ| 表示点到原点的距离， |Z1Z2| 表示两点间的距离等； 在排列组合、 概率统计中也有许多直方图、数图等几何方法。 中学代数中集中反映数形结合特征内容的是函数与图像，方程与曲线，复数与几何。在处理这些问题时要加深领会，可借助于对数量关系的推理论证，对图形的几何特征进行精确刻画（如研究函数图像的性质）；也可借助于函数图像与方程曲线加深对题意的理解，并对所得的解集进行有效的检验（如解不等式）。在复数教学中主要贯穿着两条主线，一条是以代数形式表达复数概念； 另一条是用几何形式描述复数概念。通过在几何、 向量和三角中的有关知识建立联系，复数得到直观、形象的解释。复数运算

29、的几何意义，可使其在几何、向量、三角、方程等方面发挥综合应用的作用。（四）化归的思想方法把未知解法的问题转化为在已有知识和方法的范围内可解的问题是解决各名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档类数学问题的基本思路和途径，是一种重要的数学思想方法。在中学代数中， 运用化归思想进行转化的例子比比皆是。以解方程为例， 由于方程类型不同，解法也各不相同，但基本思想是转化，基本途径是利用消元、降次将超越方程转化成

30、代数方程，无理方程转化成有理方程， 分式方程转化成整式方程，高次方程转化为低次方程，多元方程转化为一元方程，等等。在以上转化中，要求变形前后是同解方程， 这就要在同解原理的指导下进行等价转化，既要无一遗漏地考虑所有制约因素，又要注意它们之间的相互联系。以上所说的是等价转化， 要求转化过程中的前后是充分必要的。这样的转化才能保证转化后所得到的结果仍是原题的结果。而在中学代数中， 也有一些是非等价转化，如不等式的证明中的放缩法就是一例。非等价转化主要是寻找使原题结论成立的充分条件，这样的转化可使推证的过程得以简化。三、中学几何中的基本数学思想方法与教学（一）公理化的思想方法现行的平面几何教材， 从

31、其知识结构来看， 基本上沿用了欧氏几何的不完善公理体系。它从几条不言而喻的，一致公认的事实出发，运用逻辑推理方法，推演出内容丰富、 准确可靠的几何体系。 因此中学的平面几何和立体几何的基本体系都是公理化体系， 并通过公理化体系体现公理化的思想方法。公理化的思想方法在数学乃至科学发展中起着奠基作用。虽然公理化方法对于理论体系的科学性和系统性有着重要的作用，但是，公理化方法的教学要把握一个适当的“度” ，本着严密性和量力性原则，以适合中学生的接受能力为宜。（二）几何变换的思想方法几何学是研究空间图形在变换群下的不变性质的学科，它的研究对象是空间形式。若现实世界的物体是运动变化的， 由此抽象出来的几

32、何图形的位置、 形状、大小也就不断变化。 可见，几何变换的思想对于几何学的研究是非常重要的。几何变换在解决几何证明和作图问题中有广泛的应用。有了几何变换思想， 思考问题就有了方向，从运动的观点来考虑几何问题，使原来静止的图形“动”起来。许多几何问题从已知和结论之间的相互联系看上去似乎不十分密切，通过对称、旋转、平移、相似等几何变换，把图形进行移动，使原来看似联系不密切的图形在新的位置产生了联系，从而使问题得到解决。（三）化归的思想方法中学的几何从研究简单的平面图形性质开始，复杂图形的问题都是通过化归为简单图形来解决的。 例如，三角形是平面几何中的基本图形，在深入研究三角形性质的基础上，对于多边

33、形的研究便可转化为三角形去研究。在几何中化归包含三个基本要素：化归的对象；化归的目标；化归的途径。 如在解决梯形中位线问题时，梯形的中位线是化归的对象，三角形的中位线是化归的目标， 添加辅助线是化归的途径。 在几何化归中一般有如下途径：向基本图形化归；向特殊图形化归；向低层次化归；立体几何问题向平面几何问题化归。如：求多边形的内角和转化为求三角形内角和来解决， 即复杂图形向基本图形化归；研究圆周角的性质， 先从一切一条边经过圆心的圆周角这一特殊情况入手，其他情况都转化成这一特殊情况，即向特殊情况化归； 三维空间的问题往往转化为二维空间的问题，即向低层次化归； 空间两点间距离的计算和二面角的概念

34、， 最终都是转化为平面几何中线段长度的计算和角的概念，即立体几何问题向平面几何问题化归。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档四、平面三角中的基本数学思想方法与教学（一）函数、映射、对应的思想方法如前所述函数、映射、对应的思想方法是一种考虑对应、运动变化、相互关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，它贯穿于研究三角函数的全过程之中。在直角坐标系中，由角的终边上一点

35、引出的三个量x,y,r中任意两个量之比定义任意角三角函数：在建立任意角的三角函数的概念和引入弧度的基本概念基础上，建立角的集合与实数集之间的一一对应，建立正弦函数y=sinx, 余弦函数 y=cosx, 正切函数y=tanx, 余切函数y=cotx ，正割函数y=secx，余割函数y=cscx 的概念，并借助于单位圆和三角函数线（及有向线段），进一步画出每个三角函数的图像，导出三角函数的性质，形成一个完整的三角函数的知识体系。自始至终贯穿了函数、映射、对应的思想方法。反三角函数是各三角函数在其主值区间上的反函数。从研究三角函数的反函数的存在性开始， 到合理寻求各自的主值区间， 直至建立反三角函

36、数的概念，并通过对称变换绘制反三角函数的图像，导出反三角函数的性质， 贯穿始终的基本思想也是函数、映射、对应的思想方法。（二）数形结合的思想方法与研究中学数学中各类函数一样， 研究三角函数定义和性质所采用的基本方法就是数形结合。 数形结合的思想方法在平面三角中体现得最集中，最突出的是三角函数线、三角函数的图像与性质以及解斜三角形等内容。在分析和解决有关比较三角函数值的大小，角的终边位置与三角函数值的符号关系，已知三角函数值求角， 已知三角函数的取值范围确定角的取值范围等问题中，单位圆和三角函数线都可提供简捷、有效的思路和方法， 对理解数形结合的思想方法的实质， 提高利用数形结合的思想方法分析和

37、解决数学问题的能力是十分有用的。三角函数的图像将各个三角函数的定义域和值域，三角函数的单调性、 周期性、奇偶性等性质都直观、 清楚的显现出来， 对三角函数的定义和性质的理解以及识记都发挥了重要的作用。特别是对函数y=Asin( x+) 的图像和性质的讨论，将函数 y=Asin( x+)的解析式中的各个参数（ A, ）的取值与函数的数量特征及图像的几何特征充分的揭示出来，并有机的结合为一个整体， 较为系统的研究了函数图像的平移变换和伸缩变换，在运动和变化的层面上深化了对数形结合的思想方法的认识和应用，有效地提高了学生的数学能力。利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，是在定量的层面上刻画了三角形的确定

38、问题。在平面几何中， 讨论了三角形全等的判定定理和三角形作图，得知已知三边(SSS)，两边及夹角 (SAS)，两角及夹边 (ASA)，两角及对边 (AAS)，可以确定一个三角形的结论；当然，也得出了已知两边及对角(SSA)不一定能确定三角形的结论，这是对三角形的确定在定性层面上的刻画。利用正弦定理和余弦定理解斜三角形，在定量层面上刻画三角形的确定，是指在已知三边（SSS ） ，两边及夹角（SAS ） ，两角及对边（ AAS ） ，两角及夹边（ ASA ）的条件下，可以通过计算求出三角形的其余元素，实现对三角形的确定。而在已知两边及对角（SSA ）的情况下解斜三角形， 可能出现有一解， 有两解和

39、无解的不同情况， 印证了不一定能确定三角形的理论。 这样，就在定性与定量相结合的过程中，深化了数形结合的思想方法的认识和应用。（三）参数的思想方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档参数兼有常数和变数的双重作用，也是数学中的“活泼”元素，用以刻画运动和变化。参数的思想方法在平面三角形中也有突出的体现。在函数y=Asin( x+) 的解析表达式中 （A，）是三个参数， A确定函数的最大值和最小值，即函

40、数图像的最高点和最低点的纵坐标；确定函数的周期； 是函数图像的初相，确定函数图像（正弦曲线）与坐标轴的相对位置（事实上，可以确定函数的奇偶性）。（1） y=f(x)=Asin(x+) (x R)为奇函数f(x)+f(-x)=0Asin( x+)+Asin(- x+)=0 2Asincosx=0sin =0=k (k Z)；（2） y=f(x)=Asin（x+） (x R)为偶函数f(x)-f(-x)=0Asin( x+)-Asin(-x+)=0 2Acossin x=0cos=0=2+k (k Z)。综上可知，函数 y=Asin( x+) (x R)为奇函数的充要条件是=k (k Z)；函数

41、y=Asin( x+) (x R)为偶函数的充要条件是=2+k (k Z)。由此可知函数 y= Asin( x+) (x R)既非奇函数，也非偶函数的充要条件是k2 (k Z)。（四）化归与分类的思想方法除了上述三种在平面三角中应用较多的数学思想方法外，化归的思想方法、分类的思想方法也是经常应用的思想方法。比如针对本单元的知识公式多、 变换多、方法灵活、一题多解的特点，单纯依靠加大训练量，往往会事倍功半。为了有效提高观察能力、运算能力、思维能力，在熟记公式的基础上，运用函数的思想方法，以分析角与角， 各个三角函数间的相互联系和对应关系作为切入点，把握联系各三角函数的三角式的结构特性，寻求解决问

42、题的思路和方法。例如，化简cos( +) 和 cos( +-)+cos( +-)+cos( +-)，只要抓住四个角之间具有的和与差的关系：+=(+)+, +-=(+)- , +-=-( - ), +- =+ （-） ，再用两角和与差的余弦公式展开，就能达到化简的目的（当然，在学习和差化积公式时，还能找到别的化简途径）。又如，计算tan20 +tan40+3tan20tan40 的值，也应抓住 20+40=60的关系，利用两角和的正切公式展开tan(20 +40） 。再如，证明在 ABC 中，tanA2tanB2+tanB2tanC2+tanC2tanA2=1，也应抓住在 ABC中，A2+B2+

43、C2= 2 的关系，从 tanA2=cotB2+C2=1tanB/2+C/2 出发，利用两角和的正切公式， 进行分式与整式的转换， 导出所需的结论。 在利用两角和与差的三角公式解决化简、求值、证明等问题时，需注意常规方法、落实基本要求、淡化特殊技巧，才能结合知识的学习，渗透数学思想方法，收到较好的效果。否则，一味追求变换技巧，大量重复训练，学生负担很重，但效果未必就好。五、平面解析几何中的基本数学思想方法与教学（一）运动与变化的思想方法运动与变化的思想方法形成于17 世纪， 是数学思想史上的一个重要里程碑。变量数学创立的主要标志有两个：笛卡儿的解析几何与牛顿- 莱布尼茨的微积分。之所以认为笛卡

44、儿创立了解析几何理论体系，其主要原因是在于他把运动与变化的思想方法引入了数学。 笛卡儿的贡献在于奠定了从 “动态”的角度去解决一系列复杂的代数问题和几何问题的理论基础。把曲线看成是点运动的轨迹， 用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档代数的语言来说就是，曲线方程f(x,y)=0是由变量 x 与 y 按一定的规律而构成的。于是，一个在代数中看来意义不大的方程f(x,y)=0，由于引进了对一个变量逐次给

45、予确定值去确定另一个变量的变化思想，就形成了表示变量之间关系的函数式。它所产生的数学哲学思想就是：从物体的运动中去看待几何学与代数学，以变量为基础，将几何学与代数学结合起来，因而，解析几何这门课程最重要的思想方法就是运动与变化的思想方法。（二）数形结合的思想方法在平面上建立直角坐标系后， 平面上的点与有序实数对之间建立了一一对应关系。在此基础上，平面上的曲线可以用方程来表示。这样，研究曲线性质的几何问题就可通过研究方程的代数问题来进行。例如，研究椭圆的几何性质可以转化为讨论椭圆的方程x2a2+y2b2=1(ab0)的性质。如果要求椭圆的范围，可以从方程中求得 |x| a,|y|b。由此得出椭圆

46、位于直线x=a 和 y=b 围成的矩形内。由于数与形的结合，可以把图形的位置关系转化为数量关系。例如，可把讨论直线与圆的位置关系转化为讨论圆心到直线的距离与半径的数量关系（这是一种以数助形的做法） 。正是数与形的结合，我们又可以把某些代数问题转化为图形的位置关系来研究。例如，求函数y=f(x)=x2+a2+(x-b)2+c2(其中 a,b,c 是正常数 ) 的最小值。我们剖析解析式的特征，两个根式可视为平面上的两点间的距离，从而可设法借助于几何图形求解。这是一种以形助数的做法。 数与形的有机结合与转化，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，以便化难为易，使问题得以解决。（三）化归思想方法从认识

47、论的角度看， 化归的思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点来认识问题， 通过对原问题的转换， 使之成为另一个问题加以认识。从方法论的角度看，化归是使原问题归结为我们所熟悉的或者是容易解决的问题。解析几何的创立过程是化归思想最有特色的应用之一。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与空间图形联系起来，使它们相互转化， 用其各自的规律与方法分析研究另一类问题。 解析几何中的概念、 定理、公式及其方法本身蕴含着丰富的化归思想。（四）参数的思想方法参数广泛地用于中学的数学问题中， 曲线的参数方程和含参数的曲线方程是解析几何中的重要内容。 “引参思变”是一种重要的思维策略，参数可以把两个变量联系起来

48、， 可以使不同分支的内容相互化归。借助参数来研究问题的关键是恰当地引进参数与合理使用参数。 设定定点和动点的坐标以及曲线的方程都需要合理使用参数， 并处理好常数与变数的联系与转换。参数的思想方法在解析几何的教学中应充分加以重视。六、概率统计中的基本数学思想方法与教学中学概率中的基本数学思想方法是用集合论的语言和思想方法来描述事件与事件之间的关系和运算。 事件的概率是通过具体的概率模型建立的，而计算概率的方法主要是借助排列组合。 加法计数原理和乘法计数原理， 又是它们的基础，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

49、整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档是常用的工具。统计推断是中学统计中的基本数学思想方法，它是指根据样本 （子样）的情况（已知的）来推断总体（母体）的情况（未知的）。例如，通过几次检查（考查、口试、笔试等），推断该学生的学习能力；通过几个学校几个班的检查，推断全区学生的学习情况， 等等。统计推断是数理统计的核心，它的基本内容可以分为两类：统计理论和统计假设检验理论。在人们的生产过程中或是日常生活中，常常有意无意地用到统计推断的思想。例如： 对全区学生的学习进行调查或在日常生活中对一车水果进行评价时，往往都是从中抽取一小部分进行测试，然后再对整体进行评估。思 考 题1. 什么是数学思想方法？什么是数学方法？数学思想和数学方法有什么联系和区别？2. 设计一个教学实例，说明其中蕴含的数学思想方法。3. 在中学数学中有哪些基本的数学思想方法？4. 结合实际，谈谈你对数学思想方法教学的理解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -