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1、学习好资料欢迎下载1、 （2011 年西城一模）23 已知关于x的一元二次方程23(1)230mxmxm()m为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）求证：无论m为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m为整数，且方程的两个根均为正整数，求m的值 . 答案：（1）解：22243(1)4 (23)(3)bacmmmm方程有两个不相等的实数根，2(3)0m且0m3m且0mm的取值范围是3m且0m（2）证明：由求根公式243(1)(3)22bbacmmxam133323322mmmxmmm233312mmxm无论m为何值，方程总有一个固定的根是1 （3）m为整数，且方程的两个根
2、均为正整数132xm必为整数1m或3m当1m时 ，11x；当1m时，15x；当3m时，11x； 当3m时，13x. 1m或3m223. （2009 东城一模）（本 7 分）已知关于x的一元二次方程222(23)41480 xmxmm（1）若0,m求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若 12m40 的整数，且方程有两个整数根，求m的值23.（1）证明：22=2(23)-4414884mmmm（）=0,m840.m方程有两个不相等的实数根。分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
3、第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（2）2(23)84=(23)212mmxmm=方程有两个整数根，必须使21m为整数且 m 为整数又12m40，252181.m521m935216,.2217,24.63218,.2mmmmmm令令令323 （2011 海淀一模） 已知关于x 的一元一次方程kx=x+2 的根为正实数，二次函数y=ax2- bx+kc（c0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1.（1）若方程的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabbkc22)(的值；（3）求证 : 关于 x 的一元二次方程ax2-bx+c=0 必有两个
4、不相等的实数根. 23.（1）解：由kx=x+2，得(k-1) x=2. 依题意k- 10. 12kx. 1 分 方程的根为正整数，k 为整数 , k- 1=1 或 k-1=2. k1= 2, k2=3. 2 分（2）解：依题意，二次函数y=ax2-bx+kc 的图象经过点（1，0） ， 0 =a-b+kc, kc = b-a . 222222222aababbaabbabaabbabakcabbkc)()()(=.122aababa3 分（3）证明：方程的判别式为=(-b)2-4ac= b2- 4ac. 由 a0, c0, 得 ac0. ( i )若 ac0 故=b2-4ac0 此时方程有两
5、个不等的实数根. 4 分( ii ) 证法一 : 若 ac0, 由(2)知 a-b+kc =0, 故 b=a+kc. =b2-4ac= (a+kc)2- 4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2- 2kac+(kc)2+4kac-4ac=(a-kc)2+4ac(k-1). 5 分 方程 kx=x+2 的根为正实数， 方程 (k- 1) x=2 的根为正实数 . 由 x0, 20, 得 k- 10. 6 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页
6、 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载 4ac(k-1)0. (a-kc)20, =(a- kc)2+4ac(k-1)0. 此时方程有两个不相等的实数根. 7 分证法二 : 若 ac0, 抛物线 y=ax2- bx+kc 与 x轴有交点 , 1=(-b)2-4akc =b2- 4akc 0. (b2- 4ac)-( b2-4akc)=4ac(k- 1). 由证法一知k- 10, b2- 4ac b2- 4akc 0. = b2- 4ac0. 此时方程有两个不相等的实数根. 7 分综上 , 方程有两个不相等的实数根. 423 （2011 昌平一模）已知二次函数22(1)(31)
7、2ykxkx523 （2009 崇文一模）（本小题满分7 分）已知：关于 x 的一元二次方程kx2+ （2k3)x+k3 = 0 有两个不相等实数根 （k0） （I）用含 k 的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是1x，2x（其中21xx） ，若一次函数y=(3k1)x+b 与反比例函数y =xb的图像都经过点（x1，kx2） ，求一次函数与反比例函数的解析式623 （本小题满分7 分）解： （I）kx2+（2k3)x+k3 = 0 是关于 x 的一元二次方程9)3(4)32(2kkk由求根公式，得kkx23)23(1x或13kx（II）0k，113k而21xx，11x，13
8、2kx由题意，有.1)13(,31)13(bkkbkkk解之，得85bk一次函数的解析式为816xy，反比例函数的解析式为xy8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载723 （2009 昌平一模）已知：关于x的一元二次方程2220kxxk（1）若原方程有实数根，求k的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为1x，2x当k取哪些整数时，1x，2x均为整数；利用图象，估算关于k的方程1210 xxk的
9、解23解：（1）一元二次方程2220kxxk有实数根，2k0 ,2420.kk 1 分2k0 ,410.kGF当0k时，一元二次方程2220kxxk有实数根2 分（2）由求根公式，得1(1)kxk1221kxkk，21x 3 分要使1x，2x均为整数，2k必为整数，所以，当k取12、时，1x，2x均为整数5 分将121xk，21x代入方程1210 xxk中，得21kk设12yk，21yk，并在同一平面直角坐标系中分别画出12yk与21yk的图象（如图所示） 6 分由图象可得，关于k的方程1210 xxk的解为11k，22k7 分yKO1234-1-2-3-41234-1-2-3-4yKy =
10、k - 1y =2kO1234-1-2-3-41234-1-2-3-4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载823 （2010 崇文一模） 已知 P （3, m)和 Q（1，m）是抛物线221yxbx上的两点（1）求b的值；（2）判断关于x的一元二次方程221xbx=0 是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（ 3）将抛物线221yxbx的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移
11、后的图象与x轴无交点，求k的最小值23解： (1)因为点 P、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等所以，抛物线对称轴3 142bx，所以，4b（2）由（ 1）可知，关于x的一元二次方程为2241xx=0因为，24bac=16-8=80所以，方程有两个不同的实数根，分别是12122bxa，22122bxa（3）由（ 1）可知，抛物线2241yxx的图象向上平移k（k是正整数）个单位后的解析式为2241yxxk若使抛物线2241yxxk的图象与x轴无交点，只需22410 xxk无实数解即可由24bac=168(1)k=88k 0 x或50，04)24()
12、52(42aaaay最小.0)52(4)24(2aaa. 0)13(2a. 而0)13(2a. 只有013a，解得31a. 抛物线的解析式为35343123xxy. 7 分12(2010 西城二模 )23 已知：关于x 的一元二次方程04)4(2mxmx，其中40m （1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示） ；（2）设抛物线cbxxy2与 x 轴交于 A、B 两点（ A 在 B 的左侧），若点D 的坐标为（ 0，-2 ） ，且 ADBD=10，求抛物线的解析式；（3）已知点 E（a，1y） 、F（2a，y2） 、G（3a，y3）都在（ 2）中的抛物线上，是否存在含有1y、y2、y3，
13、且与 a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由解： （1）将原方程整理，得04)4(2mxmx，=2222)4(168)4(4)4(4mmmmmacb0 2)4()4(mmxx y O 图 7 1 2 -1 2 3 1 -2 -1 -2 -6 -5 -3 -4 -3 4 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载mx或4x 2 分（2）由（ 1）知，抛物线cbxxy2与x轴
14、的交点分别为（ m，0） 、 （4,0） ，A 在 B 的左侧，40m.A（m，0） ，B（4,0）.则42222222mmODOAAD，202422222ODOBBDADBD=10， AD2BD2=100. 100)4(202m. 3 分解得1m. 4 分40m， 1m. 51mb，44mc.抛物线的解析式为452xxy. 5 分（3）答：存在含有1y、y2、y3，且与 a 无关的等式，如：4)(3213yyy（答案不唯一）. 6 分证明：由题意可得4521aay，410422aay，415923aay. 左边 =415923aay.右边 =)(321yy4 4)4104()45(322aa
15、aa=41592aa.左边 =右边 . 4)(3213yyy成立 . 7 分13已知：抛物线2(1)22ykxkxk与x轴有两个不同的交点（1）求k的取值范围；（2）当k为整数， 且关于x的方程31xkx的解是负数时，求抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下，若在抛物线和x轴所围成的封闭图形内画出一个最大的正方形，使得正方形的一边在x轴上，其对边的两个端点在抛物线上，试求出这个最大正方形的边长解： （1）244(1)(2)kkk128k，依题意，得1280 ,10.kkk的取值范围是23k且1k2 分（2）解方程31xkx，得13xk 3 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
16、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载1423 （2011 年海淀一模） 已知关于x 的方程2(3)40 xmxm. （1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根大于4 且小于 8，求 m 的取值范围；（3）设抛物线2(3)4yxmxm与y轴交于点M，若抛物线与 x 轴的一个交点关于直线yx的对称点恰好是点M，求 m 的值 . 1523 （2011 房山一模） （本小题满分7 分）已知：关于x的一元二次方程2(32)220mxmxm（1）若
17、方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2） 在 （1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线 y=2(32)22mxmxm总过x轴上的一个固定点；（3）若m为正整数，且关于x的一元二次方程2(32)220mxmxm有两个不相等的整数根，把抛物线y=2(32)22mxmxm向右平移4 个单位长度，求平移后的抛物线的解析式23解：（1）关于x的一元二次方程2(32)220mxmxm有两个不相等的实数根222(32)4(22)44(2)mmmmmm0- 1 分0m且 m 2 -2分（2）证明：令0y得，2(32)22 0mxmxm11x，222mxm-4分抛物线与x 轴的交点坐标为（1,0） ，
18、 （22,0mm）无论 m 取何值抛物线y=2(32)22mxmxm总过 x 轴定点（1,0）5 分（3）1x是整数只需2222mmm是整数 . m是正整数，且0,2mm1m. - 6 分当1m时，抛物线为2yxx把它的图象向右平移4 个单位长度，得到的抛物线解析式为2920yxx-7分yxO1（备图）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -