概率论第二章ppt课件.ppt

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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 动机：将随机试验的结果数量化动机：将随机试验的结果数量化 例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况，TeHeeXX,0, 1)(TH,，如果我们引入记号：显然，该试验有两个可能的结果：第一节 随机变量则，我们就可以用1X表示出现的是正面，而用0X表示出现的是反面。就是一个随机变量。X 定义定义 设随机试验E的样本空间为,eS如果对于每一个,Se 都有一个实数)(eX与其对应，这样就得到一个定义在S上的一个单值实函数),(eXX 我们称该函数为随机变量随机变量。 一般的，随机变量用英文字母表后面的大写字母或者希腊字母（可以带下标）表示。如,51,iY

2、XZYX等，都可以表示随机变量。 引入随机变量以后,随机事件就可以用随机变量在某范围的取值来表示. 随机变量的取值随试验的结果而定随机变量的取值随试验的结果而定, , 因此试验之因此试验之前前, ,我们只知道它可能取值的范围我们只知道它可能取值的范围, ,而不能预知它而不能预知它取什么值取什么值, ,由于试验的各个结果的出现有一定的概由于试验的各个结果的出现有一定的概率率, ,因此随机变量取各个值也有一定的概率因此随机变量取各个值也有一定的概率. . 如果我们用X表示某台电视机的寿命,并且规定寿命超过10000小时者为合格品,则该电视机为合格品这一事件就可以表示为10000X 如果用X表示某位

3、同学大学英语四级考试的成绩,则60X表示“该同学通过考试”这一事件，而85X表示“该同学成绩优秀”这一事件.第二节第二节 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律 如果随机变量X只取有限或可列无穷多个值，则称随机变量X为离散型随机变量离散型随机变量. .对于离散型随机变量，关键是要确定：1）所有可能的取值是什么？2）取任意可能值的概率是多少？ 设随机变量X 的可能取值为,21kxxx，且kkpxXP,2, 1k（1）则称（1）式为X的概率分布概率分布或分布律分布律. 分布律（1）也常常写成如下的表格形式. 显然有：1)2;0)11kkkppXkp1x2xkx1p2pkp或者也可以表示为

4、kkpppxxxX2121 例例1 1 掷一颗匀称的骰子，以 表示出现的点数，求 的分布律. XX解解 的可能取值为X,6,5,4,3,2, 1 而由等可能性，它取每一个值的概率均为1/6 ， 故其分布律为6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1,61kkXP 例例设一汽车在开往目的地的路上需经过四盏灯,每盏信号灯以0.5的概率允许或禁止汽车通过,以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数（设各盏信号灯的工作是相互独立的），求其分布律。 解解 以p表示每盏信号灯禁止汽车通过的概率，则X的分布律为432)1 ()1 ()1 ()1 (43210ppppppppX5 . 0p将代入，得062

5、5. 00625. 0125. 025. 05 . 043210X 下面，重点介绍三种离散型随机变量的概率分布。（一）（一）0-1分布分布若X的分布律为1 , 0,)1 (1kppkXPkk或者 0 1 Xkpp1p则称随机变量 服从参数为参数为p的的0-10-1分布分布.X 如果试验的结果只有两个：成功与失败，并且成功的概率为p，则成功的次数 服从参数为p的0-1分布。X（二）二项分布（二）二项分布( (Binomial Distribution) ) 若随机变量X的分布律为：nkppCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,)1 (则称随机变量X服从参数为n ,p的二项分布， 二项分布的背

6、景是伯努利试验二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中成功的概率均为p，则在n重伯努利试验中成功的次数服从参数为n,p的二项分布。注意，当n=1时二项分布就是0-1分布。),(pnBX记为或),(pnbX 例例3 设某批产品共有N件，其中有M 件次品。按如下两种方式从中任选n件产品: (1)一次次从中取出产品，每次取一件，并在观察后放回; (2)从中一次性地任选n件。设取得的次品数为 ，试分别就所述的两种情形，求 的分布律。XX解 (1)由于是有放回的抽取，所以每次抽取时抽到一件次品的概率均为M/N，所以故有nkNMNMCkXPknkkn, 2 , 1 , 0,1),/,(NMnBX (2)

7、在N件产品中任选n件，所有可能的取法有nNC种，而其中恰好有k件次品的取法共有knMNkMCC种，所以有此时我们称X服从超几何分布。nkCCCkXPnNknMNkM, 2 , 1 , 0, 例4 某人进行射击，设每次击中的概率均为0.02,独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解解 将每次射击看成是一次试验,设击中的次数为X，则)02.0 ,400( BX所以有1012XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 直接计算上式比较麻烦，为此需要一个近似计算公式。我们先引入一个重要的分布。(三三) 泊松分布泊松分布(Poisson Distribution)如

8、果随机变量X的分布律为：, 2 , 1 , 0,!kekkXPk则称随机变量X服从参数为的泊松分布。记为)(PX 实例：实例：1）普鲁士骑兵每年被马踢死的人数服从参数为0.61的泊松分布；2）1500年到1932年之间每年发生战争的次数（规模超过50000人）服从参数为0.69的泊松分布。 泊松分布与二项分布之间有密切的联系，这一点由下面的泊松定理所阐述。 泊松定理泊松定理 设随机变量),(nnpnBX),10 (np且,limnnnp则有ekkXPknn!lim证略 因此,由定理,当n很大p很小时，就有ekppCkknkkn!)1 ()(np 泊松定理表明,当n很大(不小于20) p很小(不

9、大于0.05) 时,二项分布可近似的用泊松分布来表示.这实际上也就表明了大量实验中稀有事件发生的次大量实验中稀有事件发生的次数可以用泊松分布来描述数可以用泊松分布来描述.而泊松分布的值可以通过查表得到. 续例4 现在我们运用泊松定理来做近似计算,由于此时,02. 0,400pn故8np,于是8881,0eXPeXP因此997. 081288eeXP 该例题表明,即使是一个命中率很低的射手,在大量的射击中至少击中两次或两次以上概率还是很大的.因此在大数次的试验中在大数次的试验中, ,不能忽略小概率事件不能忽略小概率事件. . 例例5 5 为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人(工人配备多了浪

10、费,配备少了又要影响生产),现有同类型的设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情形),问至少需配备多少工人,才能保证当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01? 解解 设需配备N人,记同一时刻发生故障的设备台数为X,则 XB(300,0.01).所需解决的问题是确定最小的N,使得由泊松定理) 3(npNkkkeNXP03!399. 0NXP(1)于是(1)式化为99. 0!303Nkkke经查表计算知,满足上式最小的N是8.因此,为达到上述要求,至少需配备8个工人. 例例6 6 设有80台同类型设备,各台

11、工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01,且一台机器的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法,其一是由4人维修,每人负责20台;其二是由3人共同维修80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 解解 先考虑第一种方法 以 X 表示第一个人维护的20台机器中同一时刻发生故障的台数,则 XB(20,0.01). 于是,第一个人来不及维修的概率为1012XPXPXP1012XPXPXP0169. 0)99. 0)(01. 0(20)99. 0(11920 设A为“四个人中至少有一个人来不及维修”这一事件，则有0169. 02)(XPAP 以 Y 表示3个人共同维护的

12、80台机器中同一时刻发生故障的台数,则 YB(80,0.01).于是他们来不及维修的概率为314YPYP)(0087. 0e!81830APkkk)(np按第二种方法按第二种方法效率更高！效率更高！ 例例6 6 社会上定期发行某种奖券,中奖率为p.某人每次购买一张奖券,如果没有中奖则下次继续购买1张,直至中奖为止.求该人购买次数的分布律. 解解 设该人购买的次数为X ,则X的可能取值为.,2, 11X表示第一次购买就中奖,其概率为p.2X表示购买两次奖券,但第一次未中奖,其概率为1-p,而第二次中奖,其概率为p.由独立性知,有ppXP)1 (2, 2 , 1)1 (,1kppkXPk(1) 一

13、般的,如果某随机变量的分布律具有(1)的形式,则称该随机变量服从参数为参数为p的几何分布的几何分布.kX表示共购买了k次奖券,其中前k-1次都未中奖,而第k次中奖,因此有ppkXPk 1)1 ( 因此,购买次数 的分布律为X第三节第三节 随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数)(xXPxF称为X的分布函数分布函数. 若已知随机变量 X 的分布函数,则我们就可以确定 X 落在任一子区间,(21xx上的概率:1221xXPxXPxXxP)()(12xFxF分布函数完整地描述了分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性随机变量的统计规律性. .如果

14、将X看成是数轴上随机点的坐标,则)(xF就是X落在区间,(x上的概率.)()(1221xFxFxXxP即有因此可以认为分布函数F(x)的基本性质1) F(x)是一个单调不减单调不减的函数.2)1)(0 xF且0)(lim)(xFFx1)(lim)(xFFx 3)F(x)是右连续右连续的,即)()0(xFxF, 0)()(2112xXxPxFxF)(21xx 事实上,例例1 1 设随机变量X的分布律为Xkp-1 2 3412141求X的分布函数,并求,21XP32 XP解解 由概率的可加性,得所求的分布函数为 3,41214132,214121,411,0)(xxxxxXPxF3,132,4/3

15、21,4/11,0)(xxxxxF即43214312) 2() 3 (32XPFFXP412121FXP又xy-1231 F(x)的图形如图所示为一阶梯形曲线,它在X可能的取值处-1,2,3处发生跳跃，跳跃值为X取该值的概率. 一般,设离散型随机变量X的分布律为kkpxXP,2, 1k则由概率的可加性可得分布函数为xxkxxkkkpxXPxXPxF)(这里和式是对所有满足的k求和. F(x)在处发生跳跃，其跳跃值为.kkxXPpkxx xxk 离散型随机变量的分布函数不是连续函数离散型随机变量的分布函数不是连续函数，并且常见的离散型分布的分布函数都是阶梯函数。例例2 2 向半径为R的圆形靶射击

16、，击中点落在以靶心O为中心,x为半径的圆内的概率与该圆的面积成正比，并且不会发生脱靶的情况.以 表示击中点与靶心O之间的距离，求 的分布函数.XX解解 显然，当0 x时，有0)(xXPxF又由题意，当Rx 时，1)(xXPxF当Rx0时,按题意,有22)(RxxFORXx从而RxRxRxxxF, 10,0, 0)(22 注意注意, ,此分布函数为一连续函数此分布函数为一连续函数. .因此因此, ,存在着存在着与离散型随机变量不同的另一种随机变量与离散型随机变量不同的另一种随机变量. .2)(kxxF由于1)(RF故21Rk 于是 下面我们来分析一下这一类随机变量的一些特征.为此,令其它,00,

17、2)(2RtRttf则有xdttfxF)()(这就是说,该例中的分布函数可以表示为某一非负函数在,(x上的积分.这不是偶然的.事实上,它是一大类随机变量的分布函数所具有的共同特征,这一类随机变量就是我们下面要讲的连续型随机变量.第四节 连续型随机变量的概率密度一一. .概率密度及其性质概率密度及其性质定义 如果随机变量 X 的分布函数可表示成xdttfxF)()(其中)(tf为非负的函数,则称X为连续型随机变量连续型随机变量,f(x)称为X的概率密度函数概率密度函数,简称为概率密度概率密度或密度密度.记作)(xfX概率密度具有如下两条基本性质:0)() 1xf1)()2dxxf另外,连续型随机

18、变量还具有如下性质:2) 在)(xf的连续点处,有)()(xfxFbadxxfbXaP)(1)4) 连续型随机变量取任何一个指定值的概率为0.即,对于任意常数C,有0 CXP5) 若X是连续型随机变量,则bXaPbXaPbXaPbXaP3) 连续型随机变量的分布函数是连续函数.0d )()()(xxfxFxxFxxx因为例例1 1 已知随机变量的X的概率密度为其它, 020,)(xbaxxf且.25. 031 XP试确定常数,ba并求5 . 1XP解解 badxbaxdxxf22)()(120badxbaxdxxfXP23)()(31 25. 02131解方程组得. 1, 5 . 0ba5 .

19、 125 . 10625. 0) 15 . 0()(5 . 1dxxdxxfXP从而. 1, 5 . 0ba 例例2 2 设随机变量 X 和 Y 具有相同的分布函数，X 的概率密度为其它, 020,83)(2xxxf已知事件aXAaYB与相互独立，且求常数a.,43BAP解解 由题设知),()(BPAP)()()(BPAPABP)()(2)()()()(432APAPABPBPAPBAP)()(2)()()()(432APAPABPBPAPBAP解得5 . 0)(AP)8(8183)()(5 .0322adxxdxxfaXPAPaa于是34a又由题设由此可知应有, 20 a二二. . 三种重要

20、的连续型分布三种重要的连续型分布( (一一 ) )均匀分布均匀分布( (Uniform Distribution) )如果随机变量X的概率密度为其它, 0,1)(bxaabxf则称X在a,b上服从均匀分布均匀分布，记为,baUX上式表明,X落在区间a,b中任意等长度的子区间内的概率是相同的.在这个意义上我们说,服从均服从均匀分布的随机变量在其可能取值的区间内具有等匀分布的随机变量在其可能取值的区间内具有等可能性可能性. .设,balcc则lcclccabldxabdxxflcXcP1)( 例例3 3 设随机变量.5 , 2UX现在对X进行三次独立的观测，求至少有两次观测值大于3的概率.解解 由

21、题设知 的概率密度为X其它, 052,31)(Xxf3231)3(53dxXP于是若以Y表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次试验中X3出现的次数),则)32, 3( BY故所求的概率为2720323132)2(333223CCYP二二. .指数分布指数分布( (Exponential Distribution) )如果随机变量X的概率密度为0, 00,1)(xxexfx则称 X 服从参数为参数为的指数分布的指数分布.0（其中是常数）如果随机变量X的概率密度为0, 00,)(xxexfx)(EX0（其中是常数） 注：注：教育部关于研究生入学考试的大纲上对指数分布的定义如下：则称 X 服

22、从参数为参数为的指数分布的指数分布.易知，若),(EX则其分布函数为0, 00,1)(xxexFx 指数分布在排队论和可靠性理论中有广泛的应用，常常用它来作为各种“寿命”的分布的近似.例如,电子元件的寿命,电话的通话时间,微生物的寿命,随机服务系统中的服务时间等都可认为是近似服从指数分布. 指数分布的一个重要性质就是“无后效性无后效性”或“无记忆性无记忆性”.具体叙述如下.),(EX设则对于任意的 s 0, t 0,有|tXPsXtsXP事实上，有,|sXPtsXPsXPsXtsXPsXtsXP)(tXPeeetsts 假如把服从指数分布的随机变量解释为某元件工作的寿命,则上式表明,在该元件已

23、工作了s小时的条件下,它还能继续工作t小时的概率与已经工作过的时间s无关.换句话说,如果元件在时刻s还“活着”,则它的剩余寿命的分布还是原来寿命的分布,而与它已工作了多长的时间无关.所以有时又称指数分布是“永远年轻永远年轻”的.值得指出的是,我们可以证明,指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布指数分布是唯一具有无记忆性的连续型分布. 下面的例子说明了泊松分布和指数分布之间的关系。即 服从参数为 指数分布。X 例4 设某电子元件的寿命X(单位:小时)服从002. 0的指数分布,(1)求该元件使用500小时没有坏的概率; (2)若已知该元件使用了200小时没有坏,求它还可以继续使用500小时的概率

24、.解 设X的分布函数为F(x),则0, 00,1)(002. 0 xxexFx(1) 所求的概率为3679. 0)500(15001eFXP(2)由指数分布的无记忆性,有3679. 0500200|700XPXXP三三.正态分布正态分布(Normal Distribution)若随机变量 X 的概率密度为222)(21)(xexf则称 服从参数为参数为X2,的正态分布.记为).,(2NX 称相应的分布函数为正态分布正态分布,相应的概率密度为正态密度正态密度.服从正态分布的随机变量统称为正态变量正态变量. .正态变量的分布函数为dtexFxt222)(21)( 正态分布是概率论中最重要的一个分布

25、.高斯在研究误差理论时曾用它来刻划误差,所以又称为高斯分布.经验表明,许多实际问题中的随机变量,如测量误差,炮弹落点的分布,人的身高,学生考试的成绩,农作物的产量,产品的尺寸等都可以认为服从正态分布.在理论上,正态分布具有很多优良的性质,许多分布都可以用正态分布来逼近,还有一些分布可以由正态分布来导出.),1 ,0( NX若则称X服从标准正态分布标准正态分布. 其概率密度函数通常用)(x表示,分布函数记作).(x2221)(xexxtdtex2221)()(x的图形如图所示.-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350.4 标准正态密度 的图形)(x-10-8-6

26、-4-2024681000.050.10.150.20.250.30.350.4123正态密度的几何特性正态密度的几何特性： (1)关于直线x对称,;21并在x达到最大值大,图形就扁，(2)反之, 小,图形就尖,这一点可由上图看出.标准正态分布的分布函数)(x可通过查书后的附表得到.但是表中只列出了0 x时的分布函数值,对于0 x时的情形,可利用下面的公式计算)(1)(xx问题问题：对于一般的正态分布),(2N,如何计算其分布函数的值?设),(2NX其分布函数为),(xF则xuxtduedtexF22)(2222121)()(tux于是,有 abbXaP)1)(, 0)( 通常称这个公式为正态

27、概率计算公式正态概率计算公式,它把一般正态变量的概率计算转换为标准正态分布来计算.ba 更进一步的，还有下面的结论。若),(2NX则) 1 , 0( NXZ引理引理 证明证明xXPxZP)(xx设),(2NX,则有%26.68) 1() 1 (|XP%44.95)2()2(2|XP%74.99)3()3(3|XP即, X落在 内几乎是肯定的事.这就是所谓的“ ”法则.)3,3(3 例5 由历史记录知,某地区总降雨量(单位:mm).求(1)明年降雨量在400mm700mm之间的概率；(2)明年降雨量至少为300mm的概率;(3)明年降雨量小于何值的概率为0.1?解 1)6568. 0)33. 1

28、()67. 0(150600400150600700700400 XP)150,600(2N2)15060030013001300XPXP9772. 0)2(1 (1)2(13) 设该值为, a则有, 1 .0)( aXP即1 . 0150600)( aaXP查表得28.1150600a从而mma408第五节第五节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一一. .离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布关键是要确定两点：1) 可能的取值可能的取值; ;2) 取任一值的概率取任一值的概率. . 本节的基本任务本节的基本任务:已知随机变量X的分布(分布律或概率密度),求)(XgY的概率分布.

29、解解 X可能的取值为-3,1,5,9,并且2 . 0) 1() 3(PXP1 . 0) 0() 1(PXP3 . 0) 1() 5(PXP4 . 0) 2() 9(PXP所以 X 的分布律为XP-3 1 5 90.2 0.1 0.3 0.4 例例1 1 设随机变量的概率分布为P-1 0 1 20.2 0.1 0.3 0.4且., 142YX分别求 X , Y 的概率分布.Y 的可能取值为0,1,4,并且1 . 0) 0() 0(PYP5 . 03 . 02 . 0) 1() 1() 1(PPYP4 . 0) 2() 4(PYP所以Y的分布律为PY0 1 40.1 0.5 0.4 例例2 2 设

30、随机变量 X 的分布律为nn21412121并且,2sinXY求Y 的分布律. 解解 Y 的可能取值为-1,0,1,并且111415216118121)14() 1(kkkkXPYP314114121)2()0(112kkkkXPYP所以 15831152101Y158) 0() 1(1) 1(YPYPYP二二.连续型随机变量的分布连续型随机变量的分布基本步骤基本步骤:问题问题: :已知 X 的概率密度 求Y=g(X)的概率密度),(xfX).(yfY1.确定Y的取值范围.如果其取值的范围为区间),(ba则当),( bay时,. 0)(yfY2. 当),( bay时,先求分布函数,)(yYPy

31、FY然后再对分布函数求导即得概率密度. 例例3 3 设随机变量X的概率密度为),(xfX, baXY这里a,b是常数且, 0a求Y的概率密度).(yfY解解 先求分布函数)()(ybaXPyFY对上式两端求导，得0,10,aifabyFabyXPaifabyFabyXPXX0,10,1)(aifabyfaaifabyfayfXXYabyfaX|1 由上式可得如下重要结论：若),(2NX则).,(22abaNbaXY即，即，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量.进一步地,我们还有若),(2NX则) 1 , 0( NX 例例4 4 设随机变量X的概率密度为)

32、,(xfX试求2XY 的概率密度. 解解 显然,当0y时,0)(yfY当0y时,有)()()()(2yXyPyXPyYPyFY)()(yFyFXX求导,得)()(21)()(yfyfyyFyfXXYY所以,有0, 00),()(21)(yyyfyfyyfXXY将本例的结果应用到标准正态分布,有:若) 1 , 0 (NX则2XY 的概率密度为0,00,21)(221yyeyyfyY 我们称具有上述形式概率密度的随机变量服从参数为参数为1 1的的2分布分布. .例例5 5 设随机变量X的概率密度为其它, 00,2)(2xxxf求XYsin的概率密度.) 1 , 0 (y, 0)(yfY解解 显然，时,有而当) 1 , 0(y时,00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91yyarcsinyarcsinsin)(yXPyFY两边求导,得arcsinarcsin0XyPyXP)arcsin()()0()(arcsinyFFFyF)arcsin()(arcsin11)()(2yfyfxyFyfYY)arcsin(2arcsin211222yyy212y所以其它, 010,12)(2yyyfY