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1、在上一章中在上一章中, 我们已经介绍了用矩阵的初等我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法变换解线性方程组的方法, 并建立了两个重要定并建立了两个重要定理理, 即即 下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线下面我们用向量组线性相关的理论来讨论线性方程组的解性方程组的解.设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组记记,21212222111211nmnmmnnxxxx,aaaaaaaaaA(1)000221122221211212111,xaxaxa,xaxaxa,xaxaxanmnmmnnnn121111nx则则 (1) 式可写成向量方程式可写成向量方程Ax = 0. (2)若若 x1 = 1
2、1 , x2 = 21 , , xn = n1 为为 (1) 的解的解, 则则称为方程组称为方程组 (1) 的的, 它也就是向量方程它也就是向量方程 (2)的解的解. 只要验证只要验证 1 + 2 1 + A 2 = 0 + 0 = 0. A( k 1) = k(A 1) = k 0 = 0. 把方程把方程 Ax = 0 的全体解所组成的集合记作的全体解所组成的集合记作 S ,如果能求得解集如果能求得解集 S 的一个最大无关组的一个最大无关组 S0 : 1 , 2 , , t，那么，那么方程方程 Ax = 0 的任一解都可由最大无关的任一解都可由最大无关组组 S0 线性表示；线性表示；另一方面
3、，由上述性质另一方面，由上述性质 1、2 可可知，最大无关组知，最大无关组 S0 的任何线性组合的任何线性组合x = k1 1 + k2 2 + + kt t都是方程都是方程 Ax = 0 的解，因此上式便是方程的解，因此上式便是方程 Ax =0 的通解的通解.齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的齐次线性方程组的. 由上面的讨论可由上面的讨论可知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系的基础解系.上一章我们用初等变换的方法求线性方程上一章我们用初等变换的方法求线性方程组的通解，下面我们用同一
4、方法来求齐次线性组的通解，下面我们用同一方法来求齐次线性方程组的基础解系方程组的基础解系.,0000000010011111rr,nrr,nbbbbB 设系数矩阵设系数矩阵 A 的秩为的秩为 r , 并不妨设并不妨设 A 的前的前 r 个个列向量线性无关列向量线性无关, 于是于是 A 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为)3(,1111111nrr,nrrrnr,nrxbxbxxbxbx与与 B 对应对应, 即有方程组即有方程组把把 xr+1 , , xn 作为自由未知量，并令它们依次作为自由未知量，并令它们依次等于等于 c1 , , cn- -r ，可得方程组，可得方程组 (1) 的通解的通解
5、.100010001, 121221111211rnrrnrnrrnrrrbbcbbcbbcxxxxx把上式记作把上式记作x = c1 1 + c2 2 + + cn- -r n- -r ,可知解集可知解集 S 中的任一向量中的任一向量 x 能由能由 1 , 2 , , n- -r线线性表示，又因为矩阵性表示，又因为矩阵 ( 1 , 2 , , n- -r ) 中有中有 n r 阶子式阶子式 | En r | 0 故故 R( 1 , 2 , , n- -r ) = n r ,所以所以 1 , 2 , , n- -r线性无关线性无关. 根据最大无关组根据最大无关组的等价定义，即知的等价定义，即知
6、 1 , 2 , , n- -r是解集是解集 S 的最的最大无关组，即大无关组，即 1 , 2 , , n- -r是方程组是方程组 (1) 的基的基础解系础解系.在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程在上面的讨论中，我们先求出齐次线性方程组的通解，再从通解求得基础解系组的通解，再从通解求得基础解系. 其实我们也其实我们也可先求基础解系，再写出通解可先求基础解系，再写出通解. 这只需在得到方这只需在得到方程组程组,1111111nrr,nrrrnr,nrxbxbxxbxbx( (3)3)以后，令自由未知量以后，令自由未知量 xr+1 , xr+2 , ,xn 取下列取下列 n r 组数：组数：,
7、xxxnrr10001000121由由 (3) 即依次可得即依次可得,bb,bb,bbxxrr,nr,nrrr12121111从而求得从而求得 (3) 也就是也就是 (1) 的的 n r 个解：个解：.bb,bb,bbrr,nr,nrnrr100010001121221111依据以上的讨论，还可推得依据以上的讨论，还可推得 .当当 R( A ) = n 时时,方程组方程组 ( 1 ) 只有零解只有零解,因为没因为没有基础解系有基础解系 (此时解空间此时解空间 S 只含一个零向量只含一个零向量, 为为 0维向量空间维向量空间 ). 而当而当R( A ) = r n 时时,方程组方程组 ( 1 )
8、必必有含有含 n r 个向量的基础解系个向量的基础解系. 因此，由最大无因此，由最大无关组的性质可知，方程组关组的性质可知，方程组 (1) 的任何的任何 n r 个线个线性无关的解都可构成它的基础解系性无关的解都可构成它的基础解系. 并由此可知并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的通解的形式也不是唯一的. 求齐次线性方程组求齐次线性方程组0377023520432143214321xxxx,xxxx,xxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.137723521111A行变换行变换行变换行变换0000747510737
9、201便得便得.xxx,xxx43243174757372对系数矩阵对系数矩阵 A 作初等行变换作初等行变换, 变为行最变为行最简形矩阵简形矩阵, 有有解解解解 设设 AmnBnl = O，证明，证明R(A) + R(B) n . 设设 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax = 0 与与Bx = 0 同解，证明同解，证明 R(A) = R(B) . 证明证明 R(ATA) = R(A) .例例例例 1515证证明明 R(ATA) = R(A).设设 A 为为 mn 矩矩阵阵, x 为为 n 维维列列向向量量.若若 x 满满足足 Ax = 0 ,则则有有 AT(Ax) = 0, 即即(AT
10、A)x =0;若若 x 满满足足(ATA)x = 0, 则则 xT(ATA)x = 0, 即即(Ax)T(Ax) = 0 ,从从而而推推知知 Ax = 0.综综上上可可知知方方程程组组 Ax = 0 与与 (ATA)x = 0 同同解解, 因因此此R(ATA) = R(A). 证证毕毕证证毕毕证证明明证证明明(4)22112222212111212111,bxaxaxa,bxaxaxa,bxaxaxamnmnmmnnnn设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组它也可写成向量方程它也可写成向量方程Ax = b , (5)向量方程向量方程(5) 的解也就是方程组的解也就是方程组(4)的解向量的解向
11、量, 它具它具有有 A( 1 - - 2) = A 1 - - A 2= b - - b = 0,即即 x = 1 - - 2满足方程满足方程 (6).证明证明证明证明证毕证毕证毕证毕 A( + ) = A + A = 0 + b = b ,即即 x = + 满满足足方方程程 (5). 由由性性质质 3 可可知知, 若若求求得得(5)的的一一个个解解 , 则则 (5) 的的任任一一解解总总可可表表示示为为x = + ,x = k1 1+ k2 2+ 贩+ kn- -r n- -r, 则则方方程程(5)的的任任一一解解总总可可表表示示为为其其中中 x = 为为方方程程(6)的的解解, 又又若若方
12、方程程 (6) 的的通通解解为为证证明明证证明明由上述讨论知由上述讨论知, . A( + ) = A + A = 0 + b = b ,即即 x = + 满满足足方方程程 (5). 由由性性质质 3 可可知知, 若若求求得得(5)的的一一个个解解 , 则则 (5) 的的任任一一解解总总可可表表示示为为x = + ,x = k1 1+ k2 2+ 贩+ kn- -r n- -r, 则则方方程程(5)的的任任一一解解总总可可表表示示为为其其中中 x = 为为方方程程(6)的的解解, 又又若若方方程程 (6) 的的通通解解为为证证明明证证明明 设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组.2275532
13、,155432, 722543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx求该方程组的通解求该方程组的通解.例例例例 1616设有非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组.2275532,155432, 722543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx求该方程组的通解求该方程组的通解.用初等行变换将增广矩阵用初等行变换将增广矩阵 B 化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵,解解解解方程组方程组 Ax = b 的解的解, R(A) = 1, 且且 ,111,011,001313221求方程组的通解求方程组的通解. 已知已知 1 , 2 , 3 是三元非齐次线性是三元非齐次线性由题设易得由题设易得)()2(21323211)()()()(2132313221,21021解解解解