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1、 高高 等等 数数 学学 B 吉林大学数学学院 第二章多元函数的微分学及其应用一偏导数二全微分三复合函数的微分法四隐函数微分法五方向导数与梯度六多元微分学的几何应用七多元函数的Taylor公式与极值问题8多元函数的Taylor公式与极值问题8.1多元函数的Taylor公式8.2多元函数的极值问题8.3条件极值问题8.1 多元函数的Taylor公式一元函数)(xf的泰勒公式: 20000!2)()()()(hxfhxfxfhxfnnhnxf!)(0)(10) 1(!) 1()(nnhnxxf) 10(推广多元函数泰勒公式 记号记号 (设下面涉及的偏导数连续): ),()(00yxfykxh),(
2、)(002yxfykxh),()(00yxfykxhm),(),(0000yxfkyxfhyx表示),(),(2),(00200002yxfkyxfkhyxfhyyyxxx),(C000yxyxfkhpmpmpmpmppm 一般地, 表示表示定理定理8.1),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内有直到 n + 1 阶连续偏导数 ,),(00yyxx为此邻域内任 一点, 则有),(),(0000yxfyyxxf),()(00yxfyxyx),()(002!21yxfyxyx),()(00!1yxfyxnyxn),()(001! )1(1yyxxfyxRnyxnn) 10(nR其中称为f 在
3、点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项 .nkkyxkyxfyxyxf100!100),()(,证: 令),10(),()(00tktyhtxft则 ),() 1 (, ),()0(0000kyhxfyxf利用多元复合函数求导法则可得: ),(),()(0000t kyt hxfkt kyt hxfhtyx),()()0(00yxfkhyx),()(002t kyt hxfhtxx ),(200t kyt hxfkhyx),(002t kyt hxfkyy),()()0(002yxfkhyx ykxh,),(C)(000)(t kyt hxyxf
4、khtpmpmpmpmppmm一般地, ),()()0(00)(yxfkhmyxm由 )(t的麦克劳林公式, 得 ) 1 ()() 1(! ) 1(1nn) 10(将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. )0()0()0()0()(!1!21nn 定理定理8.2),(),(00yxyxfz在点设的某一邻域内是 类函数 ,则当),(00yyxxfnnoR其中称为Peano余项,上式称为f(x,y)在(x0,y0)处带有Peano余项的n阶Taylor公式.,),()(,100!100nnkkyxkRyxfyxyxf nC022yx时，有),()(001! ) 1(1kyhxfkhRnyxnn说
5、明说明: 余项估计式. 因 f 的各 n+1 阶偏导数连续, 在某闭邻域其绝对值必有上界 M , ,22kh 令则有1)(! ) 1(nnkhnMRsincoskh11)sincos(! ) 1(nnnM)1(max2 1 , 0 xx利用11)2(! ) 1(nnnM)(no2说明：(1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式:),(),(0000yxfkyhxf),(00kyhxfhx),(00kyhxfky) 10(2) 若函数),(yxfz 在区域D 上的两个一阶偏导数恒为零, .),(常数yxf由中值公式可知在该区域上 定理定理8.1 设n元函数则)()(00 xfxx
6、f,00201021nnxxxxxxxx其中).()(!11)()(0110!1xxfxmxfxmmkkk,1 , 0使 ,0001xUxxxUCxfm.,21nxxxxnxxx,21而上式称为f(x)在x0处带有带有Lagrange余项的余项的n阶阶Taylor公式公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式公式.kniiikxxx1)(,!21111121kiiiinikininnnnxxxxiiik. 1, 2 , 1mk定理定理8.2 设n元函数则当)()(00 xfxxf.)()()(10!10mmkkkoxfxxf0 x时，有 ,0 xUCxfm上式称为f(x)在x0处
7、带有带有Peano余项的余项的n阶阶Taylor公式公式.特别地，当x0=0时，又称为Maclaurin公式公式.例例8.1 求函数yxeyxf),(解:对k=1,2,n+1有 带有Lagrange余项的Maclaurin公式. , 1 , 0kieyxfyxiikk所以 , 10 , 0iikkyxf由公式有 yxeyxf),(,!1! 2112nnRyxnyxyx其中 . 10 ,!111yxnneyxnRxyz定义定义8.1 设n元函数f(x)在点x0的某邻域内有定义，若则称函数在该点取得极大值(极小值).例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0
8、) 无极值.极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. ,0 xxUo2253yxz22yxzyxz xyzxyz8.2 多元函数的极值问题1.极值恒有 ,00 xfxfxfxf定理定理8.3 (函数取极值的必要条件) 设n元函数f(x)在点x0可偏导,证: 以二元函数情况加以证明.的必要条件，有 , 1 , 000nixxfi且在该点取得极值 , 则有即 .00 xf设二元函数f(x,y)在点(x0,y0)可偏导并取得极值，则固定y=y0时，一元函数 0, yxfx 在点x0可导，并取得极值.据一元函数极值 000,xxdxyxdfx同理，有. 0,00yyxf. 0,00 x
9、yxf说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 (或稳定点). 例如, 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.yxz 由定理8.3知，对可偏导的n元函数，极值点必为驻点.偏导数不存在的点也可能是极值点.例如,在点( 0, 0 )取得极值， 但它的两个22yxz偏导数在点( 0, 0 )处不存在.通常把使得函数可能取极值的点称为它的可能极值点.显然，可能极值点未必一定是极值点.推论推论8.1 (函数取极值的充分条件) 设二元函数 ,002yxUCyxf(x0,y0)是f(x,y)的驻点，记,000000yxfCyxfByxfAyyxyxx则(1) 当A0,且 时，f
10、(x0,y0)是极小值；02BAC(2) 当A0,且 时， z= g(x,y)为顶点在P0，02BAC(2) 当A0,y0,z0中满足约束条件（或称约束方程）Vxyz 的极值问题 把条件极值化为无条件极值.2. Lagrange乘子法定理定理8.5设,30000RzyxPzyxP函数 ,01PUC PPf,且 . 00P若P0是目标函数f(P)在约束条件下的极值点，则存在常数使得 0P, , 0, 0, 0000000PPfPPfPPfzzyyxx即 , 000PPf证明：记由方程 所确定的曲面为 ，则点 0P0P设 是 上过点P0的任意一条光滑 tzztyytxx,:曲线，且点P0所对应的参
11、数t=t0, 则按假设fx(t),y(t),z(t)必在t0点取得极值，从而 , 0,0tttztytxfdtd即 . 0000000tzPftyPftxPfzyx记 000,tztytxs 它是曲线 上在点P0的切向量.上式又可写成 , 00sPf即 .0sPf由 的任意性，知向量 垂直于曲面 在点P0的切平面.0Pf又因为 ，知 00P 0000,PPPPnzyx是曲面 在点P0的切平面的法向量，所以向量 与 平行，0Pf 0P故存在常数 ，使得,00PPf即. 000PPf引入辅助函数zyxyyxfzyxL,称为Lagrange函数， 参数 称为Lagrange乘子.则点P0满足Lx=0
12、,Ly=0,Lz=0. 由于是条件极值，点P0还满足. 0,000zyx在定理8.5的条件下，作Lagrange函数. 如果P0(x0,y0,z0)是方程组0, 0, 0, 0,zyxLzyxzyxfLzyxzyxfLzyxzyxfLzzzyyyxxx的解，那么P0(x0,y0,z0)是目标函数f(x,y,z)在约束条件 0,zyx下的可能极值点. 这种方法称为Lagrange乘数法.例例8.5 求函数f(x,y,z)=ax+by+cz在约束条件2222dzyx下的极值点.0, 0,dcba解：作Lagrange函数，,2222dzyxczbyaxzyxL解方程组. 0, 02, 02, 02
13、2222dzyxLzcLybLxaLzyx由前三个方程得,2,2,2czbyax带入约束方程得.2222dcbadcba22221时，驻点为;,2222222221111cbacdcbabdcbaadzyxPdcba22222时，驻点为.,2222222222222cbacdcbabdcbaadzyxP根据问题的实际意义知，P1为条件极小值点；P2为条件极大值点.例例8.6 在椭圆面0,1222222cbaczbyax的第一卦限部分上求一点P，使得P的切平面与三个坐标轴所围城的四面体的体积V最小.解：设P点的坐标为(x,y,z),则过P点的切平面为, 0222zZazyYayxXax即.0,1
14、222zyxczZByYaxX它在三个坐标轴上的截距分别为.,222zcybxa从而切平面与三个坐标轴围成的四面体的体积为.61222xyzcbaV 要使V最小，只要xyz最大. 又点P在椭球面上，故作Lagrange函数.1,222222czbyaxxyzzyxL解方程组. 01, 02, 02, 02222222222czbyaxLczxyLbyxzLaxyzLzyx由前三个方程得,222222czbyax带入约束方程得3,3,3czbyax( 的值已不必求出)这是问题唯一的可能条件极值，根据问题的实际意义知所求最小体积必存在，所以所求体积为最小的点为.3,3,3cbaP定理定理8.5设n
15、元函数 ,01xUC xxf,且 . 00 x若 是目标函数 在 下的极值点，则存在常数使得 0 x, , 000 xxf xf0 x条件极值的可能极值点：1.Lagrang乘子法求出的点；2. 0, 000 xx的解 .Lagrang乘子法：把对f的条件极值转换成L的无条件极值.例例8.7 求坐标原点到曲线0123yx的最短距离.解：记.1,2322yxyxyxL方程组01, 022, 0132232yxLyyLxxLzyx无解.,1,23yxyx点P(x,y)为曲线0,yx上的点. 原点到点P的距离.22yxd要使d最小，只要 最小.22yx 作Lagrange函数由第二个方程得y=0或
16、=1.若y=0，则由约束方程得x=1,而x=1不满足第一个方程；若 =1，则第一个方程无解.为此，我们解另一个方程组. 01, 02, 013,232yxyxyyxxyxyx得唯一可能极值点x=1,y=0. 由于原点到曲线0,yx的最短距离存在，故所求最短距离为. 10 , 1min dd例如三元函数f(x,y,z)在约束条件Lagrange乘子法还可以推广到多个约束条件的情形.0, 0,zyxzyx 下的极值，可作Lagrange函数.,zyxzyxzyxfzyxL其中 为Lagrange乘子. 然后解方程组, 0, 0, 0, 0, 0LLLLLzyx,可求得可能极值点P0(x0,y0,z
17、0).例例8.8 求椭圆0, 123222zyxzyx的长半轴和短半轴之长.解：椭圆的长半轴和短半轴之长即为椭圆的中心点到椭圆上的点(x,y,z)的距离 的最大值与最小值.222zyxdzyxzyxzyxzyxL123,222222作Lagrange函数解方程组. 0, 0123, 022, 02, 0322222zyxLzyxLzzLyyLxxLzyx前三个方程分别乘以x,y,z再相加，得. 02322222222zyxzyxzyx再由两个约束方程，知.222zyx为求极值，只需求.由前三个方程又有zyx222322. t带入最后一个方程，得. 0221213221t显然 ，整理得. 091
18、1320t解得.61311从而.61311,61311minmaxdd即为所求椭圆的长半轴与短半轴之长.1. 求函数)0 , 0()1ln(),(在点yxyxf解: yxyxfyxfyx11),(),(的三阶泰勒公式. 2)1 (1),(),(),(yxyxfyxfyxfyyyxxx333)1 (!2yxyxfpp)3,2, 1 ,0(p444)1 (!3yxyxfpp)4,3,2, 1 ,0(p因此,)0, 0()(fkhyx)0, 0()0, 0(yxfkfhkh)0, 0()(2fkhyx)0, 0()(3fkhyx)0, 0()0, 0(2)0, 0(22yyyxxxfkfkhfh)0
19、 , 0(C333303ppppppyxfkh2)(kh3)(2kh,0)0, 0(f又代入三阶泰勒公式得将ykxh,)1ln(yxyx 2)(21yx 33)(31Ryx其中),()(43khfkhRyx44)1 ()(41yxyxykxh) 10(2.讨论函数及是否取得极值.解: 显然 (0,0) 是它们的驻点 ,在(0,0)点邻域内的取值, 因此 z(0,0) 不是极值.因此,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值.正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)xyzo并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能为0)()0 , 0()0 , 0(222
20、yxz3. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xD为问怎样折法才能使断面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令xAsin24sin4x0cossin2xA解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点, 故此点即为所求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x作业：习题2.8(A) 4, 7;