《4 多元函数的Taylor公式与极值问题-1 工科数学分析基础.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《4 多元函数的Taylor公式与极值问题-1 工科数学分析基础.pdf（56页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1多元函数的Taylor公式与极值问题中值定理与Taylor公式极值最小二乘法2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2一、中值定理和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式二元函数的中值公式和泰勒公式,与一元函数的拉与一元函数的拉格朗日公式和泰勒公式相仿格朗日公式和泰勒公式相仿,对于对于(2)n n 元函数元函数 也有相同的公式，只是形式上更复杂一些也有相同的公式，只是形式上更复杂一些先介绍凸区域先介绍凸区域 若区域若区域 D 上任意两点的连线都含于上任意两点的连线都含于D,则称则称 D 为凸区域为凸区域(如后图如后图).这就是说这就是说,若若
2、 D 为为凸区域，则对任意两点凸区域，则对任意两点111222(,),(,),P xyP xyD 和和一切一切(01),恒有恒有121121(),().P xxxyyyD +2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3上连续上连续,在在 D 的所有内点都可微的所有内点都可微,则对则对 D 内任意两内任意两点点(,),(,)int,(01),P a bQ ah bkD +使得使得定理定理1 (中值定理中值定理)设设(,)f x y2RD 在凸区域在凸区域 凸凸1P2PPD D 非凸非凸PD1P2PD 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4(,)(,)(,)(,).xyf ah bk
3、f a bfah bk hfah bk k+=+=+(1)证 证 令令 ()(,)tf ath btk=+,它是定义在,它是定义在0,1上上 的一元连续函数的一元连续函数,且在且在(0,1)内可微内可微.根据一元函数根据一元函数 (1)(0)(),=(2)其中其中中值定理，中值定理，(01)，使得，使得()(,)(,).xyfah bk hfah bk k =+(3)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5由于由于 D 为凸区域，因此为凸区域，因此(,)ah bkD +，故由，故由(2),(3)两式即得所要证明的两式即得所要证明的(1)式式注注 若若 D 为严格凸区域，即为严格凸区域，
4、即111222(,),(,)P xyP xy ,(01)D ，都有，都有121121(),()int,P xxxyyyD +则对则对 D 上连续、上连续、intD 内可微的函数内可微的函数f,只要只要,P QD 也存在也存在(0,1)，使，使(1)式成立 式成立 公式公式(1)也称为二元函数也称为二元函数(在凸域上在凸域上)的中值公式的中值公式.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6推论推论 若函数若函数 f 在区域在区域 D 上存在偏导数，且上存在偏导数，且 0,xyff=则则f在区域在区域 D 上为常量函数上为常量函数 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系723 212
5、2(13)(123).=+=+分析分析 将上式改写成将上式改写成23 212(13)(123),2=+=+左边恰好是左边恰好是1(1,0)(0,1)12ff=，故应在两点，故应在两点 21(,)21f x yxxy=+例例1 对应用微分中值定对应用微分中值定理，证明存在某个理，证明存在某个(01),使得使得2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系812(1,0)(0,1)PP与与之间应用微分中值定理之间应用微分中值定理计算偏导数计算偏导数:23 223 2,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy=+=+易知易知xyff与在凸闭域与在凸闭域22(,)|1Dx yxy=+=+上上连续连
6、续,12,P PD.由中值定理由中值定理,(01),使得+证证 首先首先,当当,有再有再11(1,0)(0,1)2ff=2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系923 2(1)12(1)1 =+f000(,)P xy的某邻域的某邻域定理定理2 (泰勒定理泰勒定理)若在点若在点内任一点内任一点00(,),(0,1),xh yk+使得+使得0()U P0()U P内有直到阶的连续偏导数内有直到阶的连续偏导数,则对则对1n+23 2(1)2(1)1+23 2(13)(123).=+=+2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系101001(,),(1)!nnRhkf xh yknxy +=
7、+=+000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy+=+=+001(,),(4)!nnhkf xyRnxy+2001(,)2!hkf xyxy+?+?其中其中2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1100(,)mhkf xyxy+nR为该泰勒公式的为该泰勒公式的余项余项 证证 引入辅助函数引入辅助函数00()(,).tf xth ytk=+(4)式称为式称为0fP在点在点的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,并称其中并称其中00(,)f xy0m=而首项也可看作的情形而首项也可看作的情形.000C(,)mmiim imim iif xyh kxy =(1,2,),mn
8、?=2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12件，于是有件，于是有()00()(,)mmthkf xth ytkxy=+=+由假设，由假设，()0,1t 在在上满足一元函数泰勒公式的条上满足一元函数泰勒公式的条应用复合求导法则应用复合求导法则,可求得可求得()t 的各阶导数如下的各阶导数如下:(0)(0)(1)(0)1!2!?=+=+(5)()(1)(0)()(01).!(1)!nnnn+(0,1,1),mn=+?2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13()00(0)(,)(0,1,),(6)mmhkf xymnxy=+=?=+=?1(1)00()(,).(7)nnhkf x
9、h ykxy+=+=+公式公式(4)注注 1 前面的中值公式前面的中值公式(1)正是泰勒公式正是泰勒公式(4)在在0n=注注 2 若在若在(4)式中只要求式中只要求22()(),nnRohk=+将将(6),(7)两式代入两式代入(4)式式,就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒时的特殊情形时的特殊情形.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14此时的此时的 n 阶泰勒公式可写作阶泰勒公式可写作 例例 2 求求(,)yf x yx=在点在点(1,4)的泰勒公式的泰勒公式(到到二 阶为止阶为止),并用它计算并用它计算3.961.08 解解 由于由于001,4,2,xyn=因此有因此有(,),(1
10、,4)1,yf x yxf=则仅需则仅需0()fU P在在内存在内存在 n 阶的连续偏导数即可阶的连续偏导数即可,000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy=+=+=+(8)?2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系151(,),(1,4)4,yxxfx yyxf=(,)ln,(1,4)0,yyyfx yxxf=222(,)(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf=11(,)ln,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf =+=+=222(,)(ln),(1,4)0.yyyfx yxxf=将它们代入泰勒公式将它们代入泰勒公式(15)，即有，即有
11、2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo=+若略去余项，并让若略去余项，并让1.08,3.96xy=，则有，则有 3.9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552.+=+=2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16例例求函数求函数)1ln(),(yxyxf+=+=的三阶麦克劳林公式.的三阶麦克劳林公式.解解,11),(),(yxyxfyxfyx+=+=,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx+=+=,)1(!2333yxyxfpp+=+=),3,2,1,0(=p,)1(!3444yxyxfpp+=+=),4,3,2,1,0
12、(=p2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17,)0,0()0,0()0,0(yxyfxffyyxxyx+=+=+=+=+,)()0,0()0,0(2)0,0()0,0(2222yxfyxyffxfyyxxyyxyxx+=+=+=+=+,)(2)0,0()0,0(3)0,0(3)0,0()0,0(332233yxfyfxyyfxfxfyyxxyyyxyyxxyxxx+=+=+=+=+2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18又又0)0,0(=f,故,故,)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx+=+=+其中其中).10(,)1()(41),(!414443+=+=的
13、点（、的点（、象限），又含有使象限），又含有使(,)0h x y =现考察关于现考察关于2222(,),xyu vxyxy=+=+的的 连续函数连续函数(仍为一正定二次型仍为一正定二次型)T022(,)(,)(,)()(,),fQxyQ u vu v HPu vxy=+=+0()fHPf首先证明:首先证明:当正定时，在点取得极小当正定时，在点取得极小0P值这是因为，此时对任何值这是因为，此时对任何(,)(0,0),xy恒使恒使2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2622(,)2().Qxyqxy+从而只要从而只要0()U P充分小，且充分小，且0(,)()x yU P，就有，就有 2
14、2220022(,)(,)()()()(1)0,f x yf xyqxyoxyxyqo+=+=+同理可证:同理可证:当当0()fHP负定时负定时,f在点在点00(,)xy取得取得 极大值极大值22(,)1,u vuv+=恒满足=恒满足(,)Q u v由于因此在此有界由于因此在此有界闭域上存在最小值闭域上存在最小值20q，于是有，于是有f00(,)xy即在点取得极小值即在点取得极小值2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27取极值这是因为取极值这是因为,倘若倘若f取极值取极值(设为极大值设为极大值),00,xxtxyyty=+=+=+00(,)(,)()0f x yf xtx ytytt
15、=+=在=+=在亦取亦取极大值由一元函数取极值的充分条件，极大值由一元函数取极值的充分条件，(0)0 (0),t 是不可能的 否则在将取极小值是不可能的 否则在将取极小值=故只能故只能(0)0.而而(),xytfxfy =+则沿着过则沿着过0P的任何直线的任何直线0()fHPf最后证明最后证明:当为不定矩阵时当为不定矩阵时,在点在点0P不不2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2822()2,x xx yy ytfxfxyfy=+=+T0(0)(,)()(,),fxy HPxy=极小值极小值,则将导致则将导致0()fHP必须是正半定的必须是正半定的.也就是也就是说，当说，当f在在0P取
16、得极值时取得极值时,0()fHP必须是正半定必须是正半定的或负半定的，这与假设相矛盾的或负半定的，这与假设相矛盾0()fHPf这表明必须是负半定的这表明必须是负半定的.同理同理,倘若取倘若取系，上述定理又可写成如下比较实用的形式系，上述定理又可写成如下比较实用的形式根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关根据对称矩阵的定号性与其主子行列式之间的关2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系29200()0,()()0,i)xxxxy yx yfPfffPf当时在当时在200()0,(ii)()()0,xxxxy yx yfPfffPf当时在当时在200()()0,;(iii)xxy yx
17、yfffPfP当时在不取极值=200()10,()()200,y yxxy yx yfPfffP=因此因此f在在0P取得极小值取得极小值(3,1)8f=.又因.又因f处处处存在偏导数，故处存在偏导数，故0(3,1)P 为为 f 的惟一极值点的惟一极值点 解解 由由20,0 xyfxyfx=+=+=得原点为稳定点得原点为稳定点0(3,1).fP 解出的稳定点由于解出的稳定点由于例例5 讨论讨论2(,)f x yxxy=+=+是否存在极值是否存在极值2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系31例例 6 讨论讨论22(,)()(2)f x yyxyx=在原点是否取在原点是否取得极值得极值?2(
18、0,0)()0,xxy yx yfff=2(0,0)()10 xxy yx yfff=f因，故原点不是的因，故原点不是的ff极值点极值点.又因处处可微，所以没有极值点又因处处可微，所以没有极值点.解解 容易验证原点是容易验证原点是f的稳定点的稳定点,且且故由定理故由定理4 无法判断无法判断f在原点是否取得极值在原点是否取得极值但因为在原点的任意小邻域内但因为在原点的任意小邻域内,当当222xyx时时2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3222(,)0,2(,)0f x yyxyxf x y而当或时而当或时,所所由极值定义知道由极值定义知道,极值只是函数的一个极值只是函数的一个局部性概
19、念局部性概念.想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值想求出函数在有界闭域上的最大值和最小值,方法方法与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳与一元函数问题一样：需先求出在该区域上所有稳定点、无偏导数点处的函数值定点、无偏导数点处的函数值,还有在区域边界上还有在区域边界上的这类特殊值；然后比较这些值的这类特殊值；然后比较这些值,其中最大其中最大(小小)者者即为问题所求的最大即为问题所求的最大(小小)值值以以 f(0,0)=0 不是极值不是极值(参见后图参见后图)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系33例例7 证明证明:圆的所有外切三角形中圆的所有外切三角形中,以正三角形的以正三角形
20、的面积为最小面积为最小证证 如图所示如图所示,设圆的半径为设圆的半径为 a,任一外切三角任一外切三角2yx=22yx=xyO+ABCa2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系34式为式为2tantantan222Sa =+=+2tantantan,222a+=+=+2221secsec0,222Sa +=其中其中,(0,).为求得稳定点为求得稳定点,令令,2.ABC =其中易知的面积表达其中易知的面积表达形为形为 ABC,三切点处的半径相夹的中心角分别为三切点处的半径相夹的中心角分别为,2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系352221secsec0.222Sa +=在定义域内在
21、定义域内,上述方程组仅有惟一解上述方程组仅有惟一解:22,2().33r =+=为了应用定理为了应用定理 4，求出在点，求出在点22(,),33 =处处 的二阶偏导数的二阶偏导数:2224 3,2 3,4 3.SaSaSa =240,360,SSSSaS =由于因此在=由于因此在2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系36此稳定点处取得极小值正三角形的面积为最小此稳定点处取得极小值正三角形的面积为最小 例例 8 求函数求函数322(,)22f x yxxxyy=+=+的极值的极值 和在和在 2,2 2,2D=上的最大、最小值上的最大、最小值 解解(i)求稳定点：求稳定点：解方程组解方程组
22、2(,)3420,(,)220,xyfx yxxyfx yxy=+=+=+=+=因为因为,面积函数面积函数 S 在定义域中处处存在偏在定义域中处处存在偏=导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以导数，而具体问题存在最小值，故外切三角形中以2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系37642(,),22fxHx y+=并有 并有 42(0,0)(),22fH=正定正定 02(2 3,2 3)(),22fH=不定不定因此因此(0,0)0,(2 3,2 3).ff=为极小值不是极值为极小值不是极值得稳定点得稳定点(0,0)(2 3,2 3).和和(ii)求极值：求极值：由于由于(,)f x
23、y的的Hesse矩阵为矩阵为D 2x=时,=时,(iii)求在上的特殊值求在上的特殊值:当当2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系382(2,)4,2,2,fyyyy=+=+单调增，算出两端值单调增，算出两端值(2,2)4,f =(2,2)12;f =2(2,)164,2,2,fyyyy=+=+单调减，算出两端值单调减，算出两端值(2,2)12,f=(2,2)28;f=32(,2)244,2,2,f xxxxx=+=+22d82(,2)34430,3d3f xxxxx=+=+由=+=+由当当2x=时时，当当2y=时时，2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系392y=当时,当时,
24、32(,2)244,2,2,f xxxxx=+=+由由212d2(,2)3440,2,d3f xxxxxx=+=得+=得 算出算出268(,2)(2,2)12.327ff=与两端值=与两端值(iv)求在求在D上的最大、小值上的最大、小值:将将(iii)中五个特殊值中五个特殊值与与(0,0)0,(2 3,2 3)4 27ff=相比较，便得相比较，便得(2,2)4,f=(2,2)28;f=单调增单调增,算出两端值算出两端值2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系40(,)(,)max(,)(2,2)28,min(,)(2,2)4.x yDx yDf x yff x yf=下页中的图是曲面下页
25、中的图是曲面32222zxxxyy=+=+的的 图形图形,上面的讨论都能在图中清晰地反映出来上面的讨论都能在图中清晰地反映出来一点与一元函数是不相同的，务请注意！一点与一元函数是不相同的，务请注意！注注 本例中的本例中的fD在在上虽然只有惟一极值上虽然只有惟一极值,且为极且为极小值，但它并不因此成为小值，但它并不因此成为fD在在上的最小值这上的最小值这2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系41-2-1012-2-1012-100102030 x y z 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系42在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值在工程问题中，常常需要根据两个变量的
26、几组实验数值实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做经验公式经验公式.问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？三、最小二乘法2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系43例1例1为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：顺序编号顺序编号i
27、 0 1 2 3 4 5 6 7 时间时间it(小时小时)0 1 2 3 4 5 6 7 刀具厚度刀具厚度iy(毫米毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3 试根据上面的试验数据建立试根据上面的试验数据建立y和和t之间的经验公式之间的经验公式)(tfy=.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系44 观察可以认为 观察可以认为)(tfy=是线性函数,并设是线性函数,并设,)(battf+=+=其中其中a和和b是待定常数.是待定常数.tyo1247356824252627如图，在坐标纸上画出这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这
28、样的，使得在处的函数值与实验数据相差都很小如图，在坐标纸上画出这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的，使得在处的函数值与实验数据相差都很小ba,battf+=)(710,ttt?710,yyy?首先确定首先确定)(tf的类型.的类型.解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系45就是要使偏差就是要使偏差)7,2,1,0()(?=itfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数，使得因此可以考虑选取常数，使得ba,=+=+=702)(iiibatyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数的方法叫做最小二乘
29、法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小最小来保证每个偏差的绝对值都很小2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系46M把看成自变量和的一个二元函数，把看成自变量和的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数在那些点处取得最小值那么问题就可归结为求函数在那些点处取得最小值.),(baMM=+=+=+=+=7070;0)(2,0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即=+=+=+=+=7070.0)(,0)(iiiiiiibatytbaty2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系47将括号内各项进
30、行整理合并，并把未知数和分离出来，便得将括号内各项进行整理合并，并把未知数和分离出来，便得ab)1(.8,70707070702=+=+=+=+=iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870=iit,140702=iit,5.20870=iiy0.71770=iiity2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系48代入方程组（代入方程组（1）得）得=+=+=+.5.208828,71728140baba解此方程组，得到解此方程组，得到.125.27,3036.0=ba这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036.0)(+=ttfy由（由（
31、2）式算出的函数值与实测的有一定的偏差）式算出的函数值与实测的有一定的偏差.现列表比较如下：现列表比较如下：)(itfiy2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系49it01234567实测实测iy27.026.826.526.326.125.725.324.3算得算得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏差偏差-0.125-0.021-0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和，它的平方根偏差的平方和，它的平方根108165.0=M329.0=M我们把称为我们把称为均
32、方误差均方误差，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏M2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系50例2 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：12345678369121518212457.641.931.022.716.612.28.96.5ii iy其中表示从实验开始算起的时间，表示时刻反应物的量试定出经验公式其中表示从实验开始算起的时间，表示时刻反应物的量试定出经验公式 y).(fy=解解)(fy=由化学反应速度的理论
33、知道，应是指数函数：由化学反应速度的理论知道，应是指数函数：,mkey=其中和是待定常数其中和是待定常数.km2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系51由于由于所以仿照例所以仿照例1中的讨论中的讨论,通过求方程组通过求方程组)3(lg8,lg81818181812=+=+=+=+=iiiiiiiiiiiybayba的解的解,把确定出来把确定出来.ba,lgbay+=讨论：讨论：通过计算得通过计算得,10881=ii,1836812=ii,3.10lg81=iiy.122lg81=iiiy 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系52将他们代入方程组（将他们代入方程组（3）得）得=
34、+=+=+.3.108108,1221081836baba解这方程组，得解这方程组，得=.8964.1lg,045.04343.0kbma.78.78,1036.0=km因此所求经验公式为因此所求经验公式为.78.781036.0 =ey2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系53练习题练习题的泰勒公式点在一、求函数的泰勒公式点在一、求函数)2,1(5362),(22+=+=yxyxyxyxf的三阶泰勒公式二、求函数的三阶泰勒公式二、求函数)1ln(),(yeyxfx+=阶泰勒公式的三、求函数阶泰勒公式的三、求函数neyxfyx+=),(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系54
35、练习题答案练习题答案一、一、22)2()2)(1()1(25),(+=yyxxyxf24.)233(!31)2(!21)1ln(333222xxeRRyxyyxyxyyye=+=+=+其中二、其中二、.10),()!1()(!1)2(!21)(11111)(1122+=+=+=+=+nnnnyxnnnnnnyxyyxCxneRRyyxCxnyxyxyxe?其中三、其中三、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系55练习题练习题:(%)0的数据如下表与，由实验测得为，其溶解温度为比某种合金的含铅量百分的数据如下表与，由实验测得为，其溶解温度为比某种合金的含铅量百分pCp之间的经验公式与试用最小二乘法建立之间的经验公式与试用最小二乘法建立bapp+=%pC0 9.367.467.631812351972922832708.770.845.872007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系56练习题答案练习题答案.33.95234.2+=p