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1、 第十一十一章 第八节一、多元函数的无条件极值一、多元函数的无条件极值 二、多元函数的最值二、多元函数的最值三、多元函数的条件极值、三、多元函数的条件极值、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法多元函数的极值与最优化问题一、一、多元函数的无条件极值多元函数的无条件极值1.极值定义极值定义若函数若函数极大值和极小值统称为极大值和极小值统称为极值极值,使函数取得极值的点使函数取得极值的点的某邻域的某邻域则称函数在点则称函数在点 取得取得极大值极大值内有定义且满足内有定义且满足称为称为极值点极值点.推广：推广：n 元函数元函数 f(P),(极小值极小值)定义定义11.10(1)(2)(3)例例2例例3例例12
2、.多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件定理定理11.10(必要条必要条件件)设函数设函数且在该点取得极值，则有且在该点取得极值，则有具有偏导数，具有偏导数，注注.12 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时同时为零为零的点，均称为多元函数的的点，均称为多元函数的驻点驻点.驻点驻点可导函数的极值点可导函数的极值点yxzo问题：问题：如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理11.11(充分条件充分条件)若函数若函数某邻域内某邻域内具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,且且记记则则A0 时是极时是极小小值值.2)当当3)当当时时,不能确定
3、不能确定,需另行讨论需另行讨论.时时,不是极值不是极值.即有即有 例例4例例5-1 求函数求函数解解 第一步第一步 求驻求驻点点.得驻点得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).第二步第二步解方程组解方程组的极值的极值.求求A、B、C的值，并列表判别的值，并列表判别1206极小，极小，72-5解解例例5即即驻点为驻点为)1,1(-P,函数在函数在P有极值有极值.故故二、多元函数的最值二、多元函数的最值函数函数 f 在有界闭区域在有界闭区域D上连续上连续函数函数 f 在该区域在该区域D上一定取得最值上一定取得最值依据依据假设假设:目标函数目标函数可微可微且只有且只有有限个有限个驻点
4、驻点.(这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件这实际上是条件极值问题，边界方程即为条件方程方程)D是有界闭区域，是有界闭区域，求最值的一般方法：求最值的一般方法：例例6 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁板的长方形铁板,把它折起来把它折起来解解 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24做成一个断面为等腰梯形的水槽做成一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,使断面面积最大使断面面积最大.为为问怎样折法才能问怎样折法才能令令解得解得由题意知由题意知,最大值在定义域最大值在定义域D 内达到内达到,而在域而在域D 内只有内只有一个驻点一个驻点,故此点即为所求故此点
5、即为所求.解解如图如图,xyzo例例7实例实例 小王有小王有2000元钱，他决定用来购买元钱，他决定用来购买 两种两种 急需物品：急需物品：CD和和U盘，盘，设他购买设他购买 x 张张CD，y 个个U盘达盘达 到最佳效果，效果函数为：到最佳效果，效果函数为：三、条件极值、拉格朗日乘数法三、条件极值、拉格朗日乘数法设每张设每张CD 28 元，每个元，每个U盘盘 80 元，问他元，问他如何分配这如何分配这 2000 元以达到最佳效果元以达到最佳效果一般地，所谓条件极值，就是求一般地，所谓条件极值，就是求在附加条件：在附加条件：问题的实质：问题的实质：求求求条件极值的方法主要有两种：求条件极值的方法
6、主要有两种：的无条件极值的无条件极值.2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法1.将条件极值转化为无条件极值将条件极值转化为无条件极值下的可能极值点下的可能极值点.1 构造函数构造函数),(),(),(yxyxfyxF+=解出解出 x,y,2 解方程组解方程组3 判断判断，得得极值可疑点：极值可疑点：拉格朗日函数拉格朗日函数(1)拉格朗日乘数拉格朗日乘数 步骤：步骤：注注 拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两 个的情形：个的情形：1 构造拉格朗日函数构造拉格朗日函数如：如：目标函数目标函数得得极值可疑点：极值可疑点：3 判断判断.2 解方程组解方程组例例8解解设长方体位
7、于第一卦设长方体位于第一卦限内的一个顶点的坐限内的一个顶点的坐标为标为(x,y,z),则长方则长方体的长，宽，高分别体的长，宽，高分别为为2x,故长方体的体积故长方体的体积2y,h-z.目标函数目标函数由实际问题存在最大值由实际问题存在最大值,及可疑的极值点唯一及可疑的极值点唯一,有有这种解法具有一般性这种解法具有一般性例例9解解目标函数目标函数约束条件约束条件注意常用解题技巧注意常用解题技巧注注意意常常用用解解题题技技巧巧例例10着点着点 A(1,1,1)到点到点 B(2,0,1)的方向导数的方向导数具有最大值具有最大值.解解目标函数：目标函数：条件：条件：xzoy解方程组：解方程组：(1)
8、(2)(3)(4)由由(1)y (2)x,得得由由(3)，得，得代入代入(4)，得，得极值可疑点：极值可疑点：内容小结内容小结1.1.如何求函数的无条件极值如何求函数的无条件极值第一步第一步 利用必要条件在定义域内找驻点利用必要条件在定义域内找驻点.解方程组解方程组第二步第二步 利用充分条件利用充分条件 判别驻点是否为极值点判别驻点是否为极值点.2.2.如何求函数的条件极值如何求函数的条件极值(1)简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解如对二元函数如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法求解一般问题用拉格朗日乘数法求解先作拉格朗日函数先作拉格朗日函数
9、例如求二元函数例如求二元函数下的极值下的极值,然后解方程组然后解方程组第二步第二步 作拉格朗日函数，求驻点并作拉格朗日函数，求驻点并判别判别 比较驻点及边界点上函数值的大小比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域闭区域)根据问题的实际意义确定最值根据问题的实际意义确定最值(实际问题实际问题)第一步第一步 找目标函数找目标函数,确定定义域确定定义域(及约束条件及约束条件)3.函数的最值应用问题函数的最值应用问题在条件在条件求出驻点求出驻点.已知平面上两定点已知平面上两定点 A(1,3),B(4,2),试在椭圆周试在椭圆周上求一点上求一点 C,使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:设设
10、 C 点坐标为点坐标为(x,y),思考与练习思考与练习则则 作拉格朗日函数作拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知,点点 C 与与 E 重合时重合时,三角三角形形面积最大面积最大.点击图中任意点点击图中任意点动画开始或暂停动画开始或暂停例例5-2解解1 求驻点求驻点 ：当当 a=0 时，时，有唯一驻点：有唯一驻点：(0,0)当当 a 0 时，时，代入代入，2 判断判断(1)当当a 0 时，时，驻点驻点 备用题备用题 例例4-1 讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解 显然显然(0,0)都是它们的驻点都是它们的驻点,在在(0,0)点邻域内的取点邻
11、域内的取值值,因此因此 z(0,0)不是极值不是极值.因此因此为极小值为极小值.正正负负0在在(0,0)点点并且在并且在(0,0)都有都有 可能为可能为(2)当当a=0 时，时，在唯一驻点在唯一驻点(0,0)处，处，充分判别法失效！充分判别法失效！xyo+当当a=0 时，时，-解解例例6根据问题的性质知根据问题的性质知设设(x,y)为该三角形内为该三角形内所求点一定在所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0三直线所围三角形的内部三直线所围三角形的内部.则它到三直线的距离平方和为则它到三直线的距离平方和为:任一点任一点,目标函数目标函数x+2y-16=0(x,y)而驻点唯一而驻点唯一,由问
12、题性质知存在最小值由问题性质知存在最小值,例例6-1解解其次考虑其次考虑f(x,y)在在D的边界上的取值情况的边界上的取值情况.比较上述各点的函数值可知比较上述各点的函数值可知,函数的最大值是函数的最大值是函数的最小值是函数的最小值是例例6-2解解 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x,y m,则高为则高为水箱所用材料的面积为水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2的有盖的有盖长方体水箱长方体水箱,问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省才能使用料最省?根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知
13、最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时,水箱所用材料最省水箱所用材料最省.解解由由例例7-1 无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.解解例例8-1例例8-2解解 设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x,y,z,这三个角所对应的三角形的面积分别为这三个角所对应的三角形的面积分别为作拉格朗日函数作拉格朗日函数求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.则则解方程组解方程组,得得
14、故圆内接正三角形面积最大故圆内接正三角形面积最大,最大面积为最大面积为 为边的面积最大的为边的面积最大的四边形四边形,试列出其目标函数和约束条件试列出其目标函数和约束条件.提示提示:目标函数目标函数:约束条件约束条件:答案答案:即四边形内接于圆时面积最大即四边形内接于圆时面积最大.例例8-3 求平面上以求平面上以设四边形的设四边形的 一对内角分别为一对内角分别为,例例8-4 要设计一个容量为要设计一个容量为则问题为求则问题为求令令解方程组解方程组解解 设设 x,y,z 分别表示长、宽、分别表示长、宽、高高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.x,y,z 使在条件使在条件试问水箱长、宽、高等于多少
15、时所用材料最省？试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱,得唯一驻点得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因此因此,当高为当高为思考思考:1)当水箱封闭时当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何长、宽、高的尺寸如何?提示提示:利用对称性可知利用对称性可知,2)当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价欲使造价最省最省,应如何设拉格朗日函数应如何设拉格朗日函数?长、宽、高尺寸如何长、宽、高尺寸如何?提示提示:长、宽、高尺寸相等长、宽、高尺寸相等.解解则则2x 3y ,得得例例8-5x 3z ,得得代入代入，得，得 x=6,从而从而 y=4,z=2依题意，最大值必存在依题意，最大值必存在即即可得可得例例9-1解解例例9-2解解分析分析得得