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1、!,.化率与导数的学习吧开始变题让我们从其中的两个问随处可见丰富多彩的变化率问题 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的直径增加的越来越慢直径增加的越来越慢.吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气吹气球：每次都吹入差不多大小的一口气观察：气球变大的速度观察：气球变大的速度思考：每次吹入差不多大小的气体气球变大的速度一样吗？思考：每次吹入差不多大小的气体气球变大的速度一样吗？ 为什么？为什么？从数学的角度，如何描述这种现象呢？从数学的角度，如何描述这种现象呢？对思考的问题给
2、一个科学的对思考的问题给一个科学的回答，就需要把这个生活现回答，就需要把这个生活现象从数学的角度，用数学语象从数学的角度，用数学语言进行描述，解决问题言进行描述，解决问题对一种生活现象的数学解释对一种生活现象的数学解释随着气球体积的增大，当气球体积随着气球体积的增大，当气球体积_时，时，相应半径的相应半径的_越来越小越来越小.增加量相同增加量相同增加量增加量从而从而:“随着气球体积的增大随着气球体积的增大,比值比值 (即平均膨胀率即平均膨胀率)越来越小越来越小”。( )( )半径的增加量半径的增加量体积的增加量体积的增加量“随着气球内空气容量的增加，气球半径增加的随着气球内空气容量的增加，气球
3、半径增加的越来越慢越来越慢”的意思是：的意思是：气球的体积气球的体积V V（单位：（单位：L L）与半径）与半径 r r（单位：（单位：dmdm）之间的函数关系是之间的函数关系是334)(rrV引导：引导：1 这一现象中，哪些量在改变？这一现象中，哪些量在改变？2.变量的变化情况？变量的变化情况？如果将半径如果将半径 r r 表示为体积表示为体积V V的函数，那么的函数，那么3343( )( )34VV rrr V利用函数图象计算：利用函数图象计算：r(0)=_r(1) _r(2) _r(2.5) _r(4) _所以：所以：r(1)-r(0) 1-0_(dm/L)r(2)-r(1) 2-1_(
4、dm/L)r(2.5)-r(2) 2.5-2_(dm/L)r(4)-r(2.5) 4-2.5_(dm/L)所以，随着气球体积逐渐变大，它的所以，随着气球体积逐渐变大，它的_逐渐变小了。逐渐变小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨胀率平均膨胀率函数函数334Vr(V)=(0V5V5 )的图象为的图象为:气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，当空气球的平均膨胀率是一个特殊的情况，当空气容量从气容量从 V1 增加到增加到 V2 时时,气球的平均膨胀率气球的平均膨胀率是多少是多少?平均膨胀率时一般地,21VV1212)()(VVVrVr 探究活动探究活动 在高台跳水运动中
5、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h(单位：单位：米米)与起跳后的时间与起跳后的时间 t（单位：秒）存在函数关系（单位：秒）存在函数关系:h(t)=-4.9t2+6.5t+10 ，那么运动员在，那么运动员在 0 秒到秒到 0.5 秒时间秒时间段内的平均速度是多少，在段内的平均速度是多少，在1秒到秒到2秒时间段内呢，在秒时间段内呢，在2 秒到秒到 4 秒时间段内呢秒时间段内呢? 在跳水运动中，运动员相对于水面高度在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位（单位:m）与起跳后的）与起跳后的时间时间t(单位单位:s)存在函数关系：存在函数关系：h(t)= - 4.9 t
6、2+6.5 t+10（如图）（如图）h(0.5) - h(0) 0.5 - 0 t:0 0.5时时, v=t:1 2时时, v= 4.05(m/s)h(2) h(1) 2 1= - 8.2(m/s)一般地一般地,t1 t2时时,v=h(t2) h(t1) t2 t1平均速度平均速度在某段时间内，高度相对于时间的变化率用在某段时间内，高度相对于时间的变化率用_描述。描述。问题问题1 1 气球膨胀率气球膨胀率: :气球的体积气球的体积V与半径与半径r之间函数之间函数关系为关系为33()4Vr V2( )4.96.510h ttt 问题问题2 2 某段时间内的平均速度：某段时间内的平均速度：高台跳水
7、运动中，运动高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度员相对于水面的高度h与起跳后时间与起跳后时间t存在函数关系为存在函数关系为如果上述两个问题中的函数关系用如果上述两个问题中的函数关系用y=f(xy=f(x) )表示表示, , ,)()(1212表示用式子那么问题中的变化率可xxxfxf1212)()(VVVrVr1212)()(ttthth函数函数y=f(x)，从，从x1到到x2的的平均变化率平均变化率为：为：1212)()(xxxfxf:,12即表示习惯上用xxx12xxx,1的一个“增量”看作是相对于可把xx;21xxx代替可用即，平均变化率即，平均变化率=yxf(x2) - f(x1)
8、x2 x1f(x1+x) f(x1) x = =注意：注意：.,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx设某个变量设某个变量 f 随随 x 的变化而变化，的变化而变化，从从 x 经过经过 x ，量，量 f 的改变量为的改变量为()()ffxxfx 量量 f 的平均变化率为的平均变化率为()( )ffxxfxxx xxfxxf)(00)(xf你能借助函数的图象说说平均变化率你能借助函数的图象说说平均变化率表示什么吗？请在函数表示什么吗？请在函数图象中画出来图象中画出来OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y121)()f xxx2
9、f(x直线直线AB的斜的斜率率连接函数图象上对应两点的割线的斜率连接函数图象上对应两点的割线的斜率.32)(, 3)(. 13的平均变化率时变到由当求已知函数例xxfxxf求平均变化量的基本步骤：求平均变化量的基本步骤：（1）先求）先求12xxx00()()ff xxf x （2）再求函数的增量）再求函数的增量:；00()()f xxf xfxx（3）求平均变化率）求平均变化率:；练一练练一练.已知函数已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = 2 x, 分别计算在分别计算在下列区间上下列区间上 f (x) 及及 g (x) 的平均变化率的平均变化率.(1) 3 , 1 ; (2
10、) 0 , 5 .例例2： 已知已知f(x)=2x2+1(1)求求: 其从其从x1到到x2的平均变化率；的平均变化率；解解: (1)yxf(x2) f(x1) x2 x1=2(x1+x2)(2x22+1) (2x12+1) x2 x1=(2)yx=f(x0+x) f(x0) (x0+x) x0f(x0+x) f(x0) x=(2(x0+x)2+1) (2x02+1) x=4x0+2xyx= 4x0+2x = 5当当x0=1, x= 时，时，1212(2)求求: 其从其从x0到到x0+xx的平均变化率，并求的平均变化率，并求x0=1, x= x= 时，时， 的平均变化率。的平均变化率。已知一次函
11、数已知一次函数)(xfy 且函数图象过点（且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式。），试求此一次函数的表达式。在区间在区间-1，1上的平均变化率为上的平均变化率为1，例例3.时割线的斜率。作曲线的割线，求出当和上两点过曲线例1 . 0)1 ,1 () 1 ,1 ()(. 42xyxQPxxfy巩固练习巩固练习1.函数函数y=5x2+6在区间在区间2,2+x内平均变化率是内平均变化率是 A.20 B.20 x C.20+5x D.5 x2.函数函数f(x)=-x2+x的图象上一点的图象上一点(-1,-2)及临近点及临近点 (-1+ x,-2+ y),则则 ( ) A.3 B. C. D. 3-x xy2)(3xx 2)(3x 3.求求y=x2在在x=x0附近的平均速度？附近的平均速度？小结：小结： 1.函数的平均变化率函数的平均变化率fx121)()f xxx2f(x 2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算计算平均变化率平均变化率fx121)()f xxx2f(x气球平均膨胀率气球平均膨胀率平均速度平均速度平均变化率定义平均变化率定义平均变化率几何意义平均变化率几何意义