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1、 数数 学学 选修选修2-21.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 第一章第一章 导数及其应用导数及其应用 1.1.1 1.1.1 变化率问题变化率问题 本节重点：函数的平均变化率的概念本节难点：函数平均变化率的求法1x是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，也可以为负，但不能等于零，而y是相应函数值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以等于零，特别是当函数为常数函数时，y0.问题探究问题探究【背景材料】在吹气球时，随着气球内【背景材料】在吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的速空气容量的增加，气球的半径增加的速度越来越慢度越来越慢.如何从数学的角度描述这如何从数学的角度描述这
2、种现象？设气球的体积为种现象？设气球的体积为V V（单位：（单位：L L），），某一时刻的半径为某一时刻的半径为r r（单位：（单位：dmdm）.当空气容量当空气容量V V从从0 0L L增加到增加到1 1L L时，气球的时，气球的半径增加了多少？可以用哪个数据来半径增加了多少？可以用哪个数据来刻画气球的平均膨胀率？刻画气球的平均膨胀率？当空气容量当空气容量V V从从1 1L L增加到增加到2 2L L时，气球时，气球的半径增加了多少？平均膨胀率是多的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？少？当空气容量当空气容量V V从从V V1 1L L增加到增加到V V2 2L L时，气球时，气球的半径增加了
3、多少？平均膨胀率是多的半径增加了多少？平均膨胀率是多少？少？问题探究问题探究运动员在运动员在0s0s到到0.5s0.5s时段内的平均速度为时段内的平均速度为多少？多少？【背景材料】在高台跳水运动中，运动【背景材料】在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度员相对于水面的高度h h（单位：（单位：m m）与起）与起跳后的时间跳后的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系：）存在函数关系：h(t)h(t)4.9t4.9t2 26.5t6.5t10.10.问题探究问题探究 运动员在运动员在1s1s到到2s2s时段内的平均速时段内的平均速度为多少？度为多少？如何计算运动员在如何计算运动员在t t1
4、 1s s到到t t2 2s s时段内的平时段内的平均速度？均速度？问题探究问题探究 如何计算运动员在如何计算运动员在0s0s到到 s s时段内的平时段内的平均速度？运动员在该时段内是静止吗？均速度？运动员在该时段内是静止吗？问题探究问题探究你认为用平均速度描述运动员的运动状你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？态有什么问题吗？如果将上述两个问题中的函数关系如果将上述两个问题中的函数关系用用y yf(x)f(x)表示，那么平均膨胀率和平表示，那么平均膨胀率和平均速度可用什么代数式表示？均速度可用什么代数式表示？形成结论形成结论把式子把式子 称为函数称为函数y yf(x)f(x)从从
5、x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率形成结论形成结论 习惯上用习惯上用xx表示表示x x2 2x x1 1，用，用yy表示表示f(xf(x2 2)f(xf(x1 1)，则平均变化率可以，则平均变化率可以表示为表示为 .形成结论形成结论那么函数平均变化率的几何意义和那么函数平均变化率的几何意义和物理意义是什么？物理意义是什么？例例1 1 求函数求函数y y5x5x2 26 6在区间在区间22，2 2xx内的平均变化率内的平均变化率.20205x.5x.例题讲解例题讲解 例例2 2 某盏路灯距离地面某盏路灯距离地面高高8m8m，一个身高，一个身高1.7m1.7m的人的人从路灯的正底
6、下出发，以从路灯的正底下出发，以1.4m/s1.4m/s的速度匀速沿某直的速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度线离开路灯，求人影长度的平均变化率的平均变化率.ss1.4t1.4t8 81.71.7例题讲解例题讲解1.1.2 1.1.2 导数的概念导数的概念1.1 1.1 变化率与导数变化率与导数 本节重点：导数的定义本节难点：用导数的定义求函数的导数【背背景景材材料料】在在高高台台跳跳水水运运动动中中，运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度h h（单单位位：m m）与与起起跳跳后后的时间的时间t t（单位：（单位：s s）存在函数关系：）存在函数关系：h(t)h(t)4.9t4.9t2
7、26.5t6.5t10.10.问题探究问题探究 通过计算运动员在通过计算运动员在0s0s到到 s s时段内的时段内的平均速度是平均速度是0.0.你认为用平均速度描述运你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？动员的运动状态有什么问题吗？设设t t2 2时的时间增量为时的时间增量为tt，那么运，那么运动员在动员在tt时间段的平均速度如何计算？时间段的平均速度如何计算？问题探究问题探究 在在t t2 2附近的时段内，当时间间隔附近的时段内，当时间间隔|t|t|无限变小时，平均速度就无限趋无限变小时，平均速度就无限趋近于一个确定的值近于一个确定的值13.1.13.1.13.100 004 9
8、0.000 00113.099 995 10.000 00113.100 0490.000 0113.099 9510.000 0113.100 490.000 113.099 510.000 113.104 90.00113.095 10.00113.1490.0113.0510.01tt函数函数f(x)f(x)在在x xx x0 0处的瞬时变化率是什么？处的瞬时变化率是什么？概念生成概念生成 数学上，函数数学上，函数f(x)f(x)在在x xx x0 0处的处的瞬时变化率叫做函数瞬时变化率叫做函数f(x)f(x)在在x xx x0 0处导处导数，记作数，记作 f f(x(x0 0)或或y
9、y|x=x|x=x0 0，即，即概念生成概念生成对导数的定义要注意：第一：x是自变量x在x0处的改变量，所以x可正可负，但x0；y是函数值的改变量，可以为0；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限因此，它是一个常数而不是变量；如何求函数如何求函数f(x)f(x)x x2 2在在x x1 1处的导数处的导数？新知探究新知探究求函数求函数f(x)f(x)在在x xx x0 0处的导数有哪几个处的导数有哪几个基本步骤？基本步骤？第一步，求函数值增量：第一步，求函数值增量：yyf(xf(xx)x)f(xf(x0 0)；第二步，求平均变化率：第二步，求平均变化率：；第三
10、步，取极限，求导数：第三步，取极限，求导数：.概念生成概念生成 ,分别与分别与f f(x(x0 0)有什有什么关系？么关系？新知探究新知探究 例例3 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热加热.如果在第如果在第xhxh时，原油的温度（单位：时，原油的温度（单位：CC）为）为f(x)f(x)x x2 27x7x1515（0 x80 x8），），计算第计算第2h2h与第与第6h6h时，原油温度的瞬时变化时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义率，并说明它们的意义.f f(2)(2)3 3，说明在第，
11、说明在第2h2h附近，原油温度附近，原油温度大约以大约以3C/h3C/h的速率下降；的速率下降；f f(6)(6)5.5.说明在第说明在第6h6h附近，原油温度大附近，原油温度大约以约以5C/h5C/h的速率上升的速率上升.例题讲解例题讲解例例4 4 求函数求函数 在在x x1 1处的导数处的导数.例例5 5 已知已知f f(x(x0 0)2 2，求求 的值的值.原式原式1 1 例题讲解例题讲解 1.1.函数的平均变化率是函数值增量函数的平均变化率是函数值增量与自变量增量的比值与自变量增量的比值.2.2.自变量增量自变量增量xx的值可以是正数，的值可以是正数，也可以是负数，但也可以是负数，但x
12、0 x0；函数值增；函数值增量量yy可以为任意实数，当可以为任意实数，当yy0 0时，时，平均变化率为零平均变化率为零.课堂小结课堂小结 3.3.函数的平均变化率与自变量的函数的平均变化率与自变量的初始值及其增量有关，它能刻画函初始值及其增量有关，它能刻画函数在某个区间内函数值的平均取值数在某个区间内函数值的平均取值情况，但不能反映函数在区间内各情况，但不能反映函数在区间内各点的函数值点的函数值.课堂小结课堂小结,4.,4.导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如导数可以描述任何事物的瞬时变化率，如生产效率、增长率，气球的瞬时膨胀率，物生产效率、增长率，气球的瞬时膨胀率，物体运动的瞬时速度等，在实际问题中有着广体运动的瞬时速度等，在实际问题中有着广泛的应用泛的应用.5.5.根据导数的定义求导数，就是求平均根据导数的定义求导数，就是求平均变化率的极限，即求变化率的极限，即求 ，其中，其中对平均变化率的恒等变形，是运算的主要内对平均变化率的恒等变形，是运算的主要内容容.课堂小结课堂小结P10P10习题习题1.1A1.1A组：组：1 1，2 2，3 3，4.4.课堂小结课堂小结