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1、人教版选修人教版选修人教版选修人教版选修1-11-1第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第第一章导数及其应用第1 1节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数节变化率与导数通过阅读引言我们知道：1.随着对函数的深入研究产生了微积分随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发它是数学发展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑数学史上的里程碑.微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨微积分的创立者是牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的科学家，我们应该认识一下.牛顿（牛顿（Isacc Newton,1642 -1727)Isacc
2、 Newton,1642 -1727)是英国数学是英国数学家、天文学家和物理学家家、天文学家和物理学家是世界上出类拔萃的科学家。是世界上出类拔萃的科学家。莱布尼茨莱布尼茨(1646-1716)德国数学家、哲德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人学家，和牛顿同为微积分的创始人.3.本章我们将要学习的导数是微积分本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一的核心概念之一.打个比喻如果微积分是万丈高楼，打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化率就是地基那么平均变化率就是地基.那么我们这一节课就相当于是那么我们这一节课就相当于是“地基地基”.现在我们就开始现在我们就开始“打造地基打造地基”第一
3、次第二次dmdm观察小新接连两次观察小新接连两次吹气球时，吹气球时，气球的膨胀程度。气球的膨胀程度。问题一问题一:气球膨胀率气球膨胀率 气球的体积气球的体积V(V(单位单位:L):L)与半径与半径r r(单位单位:dm):dm)之间的函数关系是之间的函数关系是 如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数,那么那么 这是一段吹气球的视频，细细体会气球这是一段吹气球的视频，细细体会气球的膨胀过程，你有什么发现？的膨胀过程，你有什么发现？问题一问题一 气球膨胀率气球膨胀率 随着气球内空随着气球内空气容量的增加气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢.怎样从
4、数学角度描述这种现象呢怎样从数学角度描述这种现象呢?操作操作 验证验证可见可见 随着气球体积逐渐变大随着气球体积逐渐变大,气球的平均膨胀率气球的平均膨胀率逐渐变小。逐渐变小。请用用一句话描述得到的结论请用用一句话描述得到的结论这就说明这就说明：当空气容量从当空气容量从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的平均膨胀率是多少平均膨胀率是多少?思考思考问题2 高台跳水 在在高高台台跳跳水水运运动动中中,运运动动员员相相对对于于水水面面的的高高度度 h(单单位位:m)与与起起跳跳后后的的时时间间 t(单单位位:s)存存在在函函数数关系关系:问题问题2 高台跳水高台跳水 在高台跳水运动中在高台跳水运动中
5、,运动员相对于水面的高度运动员相对于水面的高度 h(单位单位:m)与起跳后的时间与起跳后的时间 t(单位单位:s)存在函数关系存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运描述其运动状态动状态,那么那么:在在0 t 这段时间里这段时间里,在在1 t 2这段时间里这段时间里,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并并思考下面的问题思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?探探 究究thO(2)你认为用平均速度描述运动
6、员的运动状态有什么你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗问题吗?平均变化率平均变化率:式子式子 令令x=x2 x1,y=f(x2)f(x1),则则称为函数称为函数 f(x)从从x1到到 x2的平均变化率的平均变化率.平均变化率的定义：1、式子中式子中x、y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0，y 的值可以为的值可以为02、若函数、若函数f(x)为常函数时，为常函数时，y=0 理理解解3、变式变式:观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率
7、y=f(x)例例 (1)计算函数计算函数 f(x)=2 x+1在区间在区间 3,1上的平均变化率上的平均变化率；(2)求函数求函数f(x)=x2+1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f(-1)-f(-3)=4 (2)解：解：y=f(x+x)-f(x)=2 x x+(x)2 x=-1-(-3)=2练习1.已知函数已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点的图象上的一点A(-1,-2)及及临近一点临近一点B(-1+x,-2+y),则则y/x=(D)A.3 B.3x-(x)2 C.3-(x)2 D.3-x l2、求、求y=x2在在x=x0附近的平均变化率附近的平均变化率.2x0+x 小结：小结：1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：求函数的增量：y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率：计算平均变化率：